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1、 習(xí)題一 向量及其線性運(yùn)算 一、填空題： 1． 下列等式何時(shí)成立： 1），當(dāng)； 2），當(dāng)； 3），當(dāng)； 4），，當(dāng)。 2．，當(dāng)。 3．指出下列向量組是線性相關(guān)還是線性無關(guān)： 1）是 線性相關(guān) ； 2）不平行，是 線性無關(guān) ； 3）共面，是 線性相關(guān) ; 4），不共面，是 線性無關(guān) 。 二、用幾何作圖證明： 1） 2） 證明： 三、設(shè)為線段上任一點(diǎn)，證明：存在數(shù)，使得 。 證明： 與平行，可設(shè) 所以，。 四、已知向

2、量，問向量是否共面？如果共面，寫出它們的線性表示式。 解：因?yàn)? （1） 所以向量共面。線性表示式為（1）式。 習(xí)題二 空間直角坐標(biāo)系 一、填空題： 1．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是；關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)是；關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)是；關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是。 2．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是；關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)是 ；關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)是。 3．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在平面上的投影點(diǎn)坐標(biāo)是；在平面上的投影點(diǎn)是；在平面上的投影點(diǎn)是；在軸上的投影點(diǎn)是；在軸上的投影點(diǎn)是；在軸上的投影點(diǎn)是。 4．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)平面的距離是 3 ；到平面的距離

3、是 2 ；到平面的距離是 1 ；到原點(diǎn)的距離是；到軸的距離是；到軸的距離是；到軸的距離是。 二、 已知點(diǎn)，點(diǎn)在連接、的直線上，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)。 解：設(shè)的坐標(biāo)為，則有由條件， 。 三、 已知向量，求的方向余弦及與平行的單位向量。 解：設(shè)的方向余弦為，則 。 四、 設(shè)，計(jì)算。 解：。 五、 設(shè)三力作用于一點(diǎn)，求合力的大小和方向余弦。 解：合力方向余弦為： 。 習(xí)題三 向量的內(nèi)積和外積 一、判斷題： 1．若，且，則。 （ 錯(cuò)

4、 ） 2．共面的充分必要條件是。 （ 對(duì) ） 3．。 （ 錯(cuò) ） 4． （ 對(duì) ） 二、已知向量，試計(jì)算 1． 2． 3． 解：1）； 2） 3）。 三、證明：向量和向量垂直。 證明：由于，所以 與垂直。 四、已知垂直，且，計(jì)算： 1．； 2．。 解：1）因?yàn)榕c都垂直，所以與也垂直，因此， =。 注：因?yàn)榇怪?，所以? 2）。 五、已知向量

5、不共線，證明：的充要條件是。 證明： 類似可證。 ，若 于，平行于 ，從而共線，矛盾，所以。 六、已知：。問： 1）為何值時(shí)，與平行； 2）為何值時(shí)，與垂直。 解1），當(dāng)與平行時(shí)，與平行時(shí)， ，。 2）， 因?yàn)榕c垂直，所以。 七、 已知：，求。 解：， 因此，。 八、若與垂直，垂直，求的夾角。 解：由題設(shè)， 由（1）、（2）可得：。 九、已知，其中，求三角形的面積。 解： 習(xí)題四 向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示及其運(yùn)算 一、填空題： 1．平行于軸的向量一般表示式是；平行于軸的向量一般表

6、示式是；平行于軸的向量一般表示式是。 2．向量，，它們的夾角。 3．向量，，當(dāng)=與=時(shí)，平行。 二、設(shè)三力，，作用于一質(zhì)點(diǎn)，使質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生的位移向量，求合力所做的功。 解：合力。 一、 若向量的起點(diǎn)和點(diǎn)重合，試確定它的終點(diǎn)的坐標(biāo)。 解：設(shè)的坐標(biāo)為，則， 所以，。 二、 從點(diǎn)作向量，使，其中，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)。 解：設(shè)的坐標(biāo)為，則，由于平行于，所以不妨設(shè)， 則，由知： ， ，所以或。 三、 向量上的投影向量。 解：向量上的投影向量為 。 四、 求單位向量，使它和向量都垂直。 解：顯然同

7、時(shí)垂直于，，所以所求單位向量為 。 五、 三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為，求其面積。 解：。 六、 （1）向量是否共面？若不共面，試計(jì)算以這三個(gè)向量為棱所作的平行六面體體積。 解：因?yàn)樗圆还裁?，以這三個(gè)向量為棱所作的 平行六面體體積。 （2）已知以向量為棱所作的平行六面體體積等于4，求的值。 解：因?yàn)? 所以，所以。 習(xí)題五 平面及其方程 一、填空題： 1． 平行于平面且與此平面的距離為3的平面方程是 。 2．如果平面與平行，則2；若垂直，則 -10 。 二、求滿足下列條件的平面方程： 1．過原點(diǎn)引平面的垂線，垂

8、足是點(diǎn)的平面方程。 解：平面的法向量，故由平面的點(diǎn)法式方程知平面方程為： 即。 2． 通過點(diǎn)且平行于向量的平面方程。 解：平面的法向量可取為，由點(diǎn)法式知平面方程為： 即。 3． 通過點(diǎn)和且平行于軸的平面方程。 解：，由題設(shè)可取平面的法向量， 所以所求平面方程為，即。 4． 通過點(diǎn)且在軸上截距相等的平面方程。 解：設(shè)所求平面方程為由條件得： ，因此，所求平面方程為。 5． 求通過三點(diǎn)的平面方程。 解：解：由三點(diǎn)式方程可得所求平面方程為： 化簡(jiǎn)得：。 三、求過軸且垂直于平面的平面方程。 解：所求平面的法向量可取為，由于

9、平面過原點(diǎn)，所以所求 平面方程為即。 四、求過點(diǎn)且垂直于平面的平面方程。 解：平面的法向量可取為，所以所求平面方程為： ，即。 五、已知兩平面，求平分它們所夾二面角的平面方程。 解：設(shè)為所求平面上任一點(diǎn)，則到兩平面的距離相等，因此， 即， 化簡(jiǎn)可得：或。 習(xí)題六 空間直線及其方程 一、 填空題： 1．過點(diǎn)的直線方程是。 2．過點(diǎn)且垂直于直線的平面方程是。 3．過點(diǎn)且垂直于平面的直線方程是 ，點(diǎn)在此平面上的投影點(diǎn)坐標(biāo)是；點(diǎn)關(guān)于此平面的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是。 4．求下列各組中的直線和平面的關(guān)系（相交、平行、垂直或直線在平面上）： （1）

10、， 平行 ； （2）， 垂直 ； （3）， 直線在平面上 。 二、求直線的對(duì)稱式與參數(shù)式方程。 解：在直線上取一點(diǎn)直線的方向向量可取為： ， 所以，直線的對(duì)稱式方程為 直線的參數(shù)式方程為為參數(shù)。 三、求過點(diǎn)且通過直線的平面方程。 解：設(shè)所給點(diǎn)為在直線上取一點(diǎn)直線的方向向量為 所求平面的法向量可取為所以所求平面 方程為：即。 四、求點(diǎn)到直線的距離。 解：設(shè)所給點(diǎn)為在直線上取一點(diǎn)直線的方向向量可取為 與的夾角 所以點(diǎn)到所給直線的距離為。 五、求過點(diǎn)且與直線和直線都垂直的直線方

11、程。 解：第一條直線的方向向量為 第而條直線的方向向量為所以所求直線的方向向量可取為： ， 因此，所求直線方程為：。 六、 求垂直于平面，并通過從點(diǎn)的垂線的平面方程。 解：直線的方向向量可取為過點(diǎn)且垂直于直線的平面 的方程為即，該平面與直線的交點(diǎn)為 點(diǎn)的垂線的方程為，由于所求平面垂直于平面，且通過 直線，故其法向量可取為，從而所求平面的方程為： 即。 七、 過點(diǎn)引直線，使它平行于平面且與直線相交，求該直線的方程。 解：設(shè)所求直線的方向向量為由題設(shè)：由于與平行，所以 在直線上取一點(diǎn)，由于

12、所求直線過點(diǎn)且與直線相交，所以向量與直線的方向向量直線的方向向量共面，因此， 即 由（1）、（2）得所以所求直線方程為 。 八、 判斷兩直線：，：是否在同一平面內(nèi)？若是，是否平行？若相交，求它們的交點(diǎn)坐標(biāo)。 解：在直線上取一點(diǎn)在直線上取一點(diǎn)，直線的方向向量 直線的方向向量，由于 =0，所以與共面。由于，故與不平行，因此相交。 設(shè)其交點(diǎn)為，則 解得故所求交點(diǎn)為。 習(xí)題七 矩陣的概念及代數(shù)運(yùn)算 一、 填空題： 1．取，，若，則3；1；9；-3。 2．設(shè)，，則13；。 3

13、．設(shè)，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，。 4．的充分必要條件是。 二、設(shè)，，試計(jì)算：1）；2）； 3）；4）。 解：1） 2） 3） 4）。 三、設(shè)，，試計(jì)算：；及（為正整數(shù)）。 解： 。 四、計(jì)算： 1） 設(shè)，求。 解：； 。 2） 設(shè)，求（為正整數(shù)）。 解： 。 五、設(shè)，，，試求（為正整數(shù)）。 解：其中 一般地，當(dāng)時(shí)， 。 六、 設(shè)，，，計(jì)算：；；；。 解： ；。 七、 1）設(shè)、為階方陣，且為對(duì)稱矩陣，則也是對(duì)稱矩陣。 2）設(shè)、均為階對(duì)稱矩陣，則是對(duì)稱矩陣的充分必要條件是。 證明：1），所以也是對(duì)稱矩陣。 2）已知、均

14、為階對(duì)稱矩陣，則是對(duì)稱矩陣 。 八、 設(shè)、為階矩陣，且滿足，及，證明：。 證明：因?yàn)?，，所以? 這樣， ， 因此，所以，。 習(xí)題八 行列式 一、 填空題： 1．設(shè)，則。 2．設(shè)，則。 3．設(shè)，則。 4．設(shè)，則 0 ， 0 。 二、計(jì)算下列行列式： 1） 2） ==100 = =2000。 。 3） 4） 。 。 5） 6） 5） 。 6） =。 三、解下列方程： 1） 2） 解1）左邊= 解2）注意方程的左邊是Vandermonde行列式，故 左邊= ，。 。 四、設(shè)，是中元素的代數(shù)余子式。求的值。 解：=。 五、設(shè)均為可微函數(shù)。證明： 證明：左邊 +=右邊。 16