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1、第二篇 專題能力突破 專題一 規(guī)律探索問題 A組　2015年全國中考題組 一、選擇題 1．(2015·湖北黃岡中學自主招生，9，3分)兩列數如下： 7，10，13，16，19，22，25，28，31… 7，11，15，19，23，27，31，35，39… 第1個相同的數是7，第10個相同的數是 (　　) A．115 B．127 C．139 D．151 解析　第一組數7，10，13，16，19，22，25，28，31，… 第m個數為：3m＋4； 第二組數7，11，15，19，23，27，31，35，39，… 第n個數為：4n＋3. ∵3與4的最小公

2、倍數為12， ∴這兩組數中相同的數組成的數列中兩個相鄰的數的差值為12. ∵第一個相同的數為7， ∴相同的數組成的數列的通式為12n－5. 第10個相同的數是：12×10－5＝120－5＝115. 答案　A 2．(2015·重慶(B)，8，3分)下列圖形都是由幾個黑色和白色的正方形按一定規(guī)律組成，圖1中有2個黑色正方形，圖2中有5個黑色正方形，圖3中有8個黑色正方形，圖4中有11個黑色正方形，…，依此規(guī)律，圖11中黑色正方形的個數是 (　　) A．32 B．29 C．28 D．26 解析　觀察圖形發(fā)現： 圖1中有2個黑色正方形， 圖2中有2＋3×(2

3、－1)＝5個黑色正方形， 圖3中有2＋3×(3－1)＝8個黑色正方形， 圖4中有2＋3×(4－1)＝11個黑色正方形， …， 圖n中有2＋3×(n－1)＝3n－1個黑色的正方形， 當n＝11時，2＋3×(11－1)＝32. 答案　A 3．(2015·重慶(A)，8，3分)下列圖形中都是由同樣大小的小圓圈按一定規(guī)律組成的，其中第1個圖形中一共有6個小圓圈，第2個圖形中一共有9個小圓圈，第3個圖形中一共有12個小圓圈，…，按此規(guī)律排列，則第7個圖形中小圓圈的個數為 (　　) A．21 B．24 C．27 D．30 解析　觀察圖形得： 第1個圖形有3＋3×

4、1＝6個圓圈， 第2個圖形有3＋3×2＝9個圓圈， 第3個圖形有3＋3×3＝12個圓圈， …， 第n個圖形有3＋3n＝3(n＋1)個圓圈． 當n＝7時，3×(7＋1)＝24，故選B. 答案　B 4．(2015·浙江寧波，10，3分)一列數b0，b1，b2，…，具有下面的規(guī)律，b2n＋1＝bn，b2n＋2＝bn＋bn＋1，若b0＝1，則b2 015的值是 (　　) A．1 B．6 C．9 D．19 解析　∵b2n＋1＝bn，b2n＋2＝bn＋bn＋1，∴b2 015＝b1 007＝b503＝b251＝b125＝b62＝b30＋b31＝b14＋b15＋b15＝b

5、6＋b7＋2b7＝3b3＋b2＋b3＝4b3＋b0＋b1＝5b1＋b0＝6b0. ∵b0＝1，∴b2 015的值是6. 答案　B 5．(2015·山東德州，5，4分)一組數1，1，2，x，5，y，…滿足“從第三個數起，每個數都等于它前面的兩個數之和”，那么這組數中y表示的數為 (　　) A．8 B．9 C．13 D．15 解析　∵每個數都等于它前面的兩個數之和， ∴x＝1＋2＝3，∴y＝x＋5＝3＋5＝8， 即這組數中y表示的數為8.故選A. 答案　A 二、填空題 6．(2015·廣東深圳，9，4分)觀察下列圖形，它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第5個圖形有

6、________個太陽． 解析　第一行小太陽的個數為1，2，3，4，…，第5個圖形有5個太陽，第二行小太陽的個數是1，2，4，8，…，2n－1，第5個圖形有24＝16個太陽，所以第5個圖形共有5＋16＝21個太陽． 答案　21 7．(2015·浙江湖州，16，4分)已知正方形ABC1D1的邊長為1，延長C1D1到A1，以A1C1為邊向右作正方形A1C1C2D2，延長C2D2到A2，以A2C2為邊向右作正方形A2C2C3D3，(如圖所示)，以此類推…，若A1C1＝2，過點A，D2，D3，…D10都在同一直線上，則正方形A9C9C10D10的邊長是________． 解析　設A1C

7、1交AD10于點E，根據正方形的排放規(guī)律，可知， △AD1E∽△D2A1E，∴＝，解得A1E＝； △D2A1E∽△D3A2D2，∴＝，解得A2D3＝3， △A2D2D3∽△A3D3D4，∴＝，解得A3D4＝； △A3D3D4∽△A4D4D5，∴＝，解得A4D5＝；∴AnDn＋1＝，A9D10＝(或)． 答案　(或) 三、解答題 8．(2015·四川自貢，22，12分)觀察下表： 我們把某格中各字母的和所得多項式稱為“特征多項式”．例如，第1格的“特征多項式”為4a＋b.回答下列問題： (1)第3格的“特征多項式”為________，第4格的“特征多項式”為______

8、__，第n格的“特征多項式”為________； (2)若第1格的“特征多項式”的值為－10，第2格的“特征多項式”的值為－16，求a，b的值． 解　(1)觀察圖形發(fā)現： 第1格的“特征多項式”為 4a＋b， 第2格的“特征多項式”為 8a＋4b， 第3格的“特征多項式”為 12a＋9b， 第4格的“特征多項式”為16a＋16b， … 第n格的“特征多項式”為4na＋n2b； 故填12a＋9b　16a＋16b　4na＋n2b. (2)∵第1格的“特征多項式”的值為－10，第2格的“特征多項式”的值為－16，∴解得：a＝－3； b＝2，∴a，b的值分別為－3和2. B組　

9、2014～2011年全國中考題組 一、選擇題 1．(2012·浙江麗水，10，3分)小明用棋子擺放圖形來研究數的規(guī)律，圖1中棋子圍成三角形，其顆數3，6，9，12，…稱為三角形數，類似地，圖2中的4，8，12，16，…稱為正方形數，下列數中既是三角形數又是正方形數的是(　　) 圖1　　　　　　　　　　　圖2 A．2 010 B．2 012 C．2 014 D．2 016 解析　∵圖1中各三角形的棋子數分別是3，6，9，12，…，顯然都是3的倍數，圖2中各正方形棋子數分別是4，8，12，16，…，顯然都是4的倍數，∴既是三角形數又是正方形數的棋子數必能被

10、12整除，而2 010，2 012，2 014，2 016四個數中，只有2 016能被12整除，故答案選D. 答案　D 2．(2013·山東日照，11，4分)如圖，下列各圖形中的三個數之間均具有相同的規(guī)律．根據此規(guī)律，圖形中M與m，n的關系是 (　　) A．M＝mn B．M＝n(m＋1) C．M＝mn＋1 D．M＝m(n＋1) 解析　方法一：驗證法：A中等式不滿足第一個圖形，故排除A；B中等式不滿足第一個圖形，故排除B；C中等式不滿足第二個圖形，故排除C；故選D.方法二：觀察三個圖形中數字的變化，可知1×(2＋1)＝3，3×(4＋1)＝15，5×(6＋1)＝35，故

11、M與m，n的關系是M＝m(n＋1)，故選D. 答案　D 3．(2014·重慶，10，4分)下列圖形都是按照一定規(guī)律組成，第一個圖形中共有2個三角形，第二個圖形中共有8個三角形，第三個圖形中共有14個三角形，…，依此規(guī)律，第五個圖形中三角形的個數是 (　　) A．22 B．24 C．26 D．28 解析　已知三個圖形中三角形的數目為：2，8，14，求差為：8－2＝6，14－8＝6，差相等，所以各個數據可以看作：2＝6－4，8＝6×2－4，14＝6×3－4，則第五個圖形中三角形的個數是：6×5－4＝26，故選C. 答案　C 4．(2012·浙江紹興，10，4分)如圖，

12、直角三角形紙片ABC中，AB＝3，AC＝4，D為斜邊BC中點．第1次將紙片折疊，使點A與點D重合，折痕與AD交于點P1；設P1D的中點為D1，第2次將紙片折疊，使點A與點D1重合，折痕與AD交于點P2；設P2D1的中點為D2，第3次將紙片折疊，使點A與點D2重合，折痕與AD交于點P3；……；設Pn－1Dn－2的中點為Dn－1，第n次將紙片折疊，使點A與點Dn－1重合，折痕與AD交于點Pn(n>2)．則AP6的長為 (　　) A. B. C. D. 解析　在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝3，所以BC＝5.又D是BC的中點，所以AD＝.因為點A，D是一組對稱點，所以A

13、P1＝×.因為D1是DP1的中點，所以AD1＝××，∴AP2＝×××，同理AP3＝××(×)2，…，APn＝××(×)n－1，所以AP6＝××(×)6－1＝××(×)5＝，故應選A. 答案　A 5．(2014·山東威海，12，3分)如圖，在平面直角坐標系xOy中，Rt△OA1C1，Rt△OA2C2，Rt△OA3C3，…的斜邊都在坐標軸上，∠A1OC1＝∠A2OC2＝∠A3OC3＝∠A4OC4＝…＝30°.若點A1的坐標為(3，0)，OA1＝OC2，OA2＝OC3，OA3＝OC4，…則依此規(guī)律，點A2 014的縱坐標為(　　) A．0 B．－3×()2 014 C．(2)2 014

14、 D．3×()2 013 解析　OA2＝＝＝＝3×.同理可求：OA3＝3×()2；OA4＝3×()3......以此類推OAn＝3×()n－1.又因為2 014÷4＝503…2，所以點A2 014與點A2在同一半軸上，故點A2 014的縱坐標為3×()2 013，故選D. 答案　D 二、填空題 6．★(2013·江西，11，3分)觀察下列圖形中點的個數，若按其規(guī)律再畫下去，可以得到第n個圖形中所有點的個數為________(用含n的代數式表示)． 解析　第一個圖形共有4個點，第二個圖形共有9個點，第三個圖形共有16個點，4，9，16都是完全平方數，故可看作4＝(1＋1)2，9＝

15、(2＋1)2，16＝(3＋1)2，則第n個圖形中所有點的個數為(n＋1)2. 答案　(n＋1)2 7．(2013·浙江湖州，15，4分)將連續(xù)的正整數按以下規(guī)律排列，則位于第七行、第七列的數x是________． 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第六列 第七列 … 　第一行 1 3 6 10 15 21 28 　第二行 2 5

16、9 14 20 27 　第三行 4 8 13 19 26 … 　第四行 7 12 18 25 … 　第五行 11 17 24 …

17、 　第六行 16 23 … 　第七行 22 … x … … 解析　第一行的第一列與第二列相差2，第二列與第三列相差3，第三列與第四列相差4，…第六列與第七列相差7，第二行的第一列與第二列相差3，第二列與第三列相差4，第三列與第四列相差5，…第五列與第六列相差7，第三行的第一列與第二列相差4，第二列與第三列相差5，第

18、三列與第四列相差6，第四列與第五列相差7，…第七行的第一列與第二列相差8，是30，第二列與第三列相差9，是39，第三列與第四列相差10，是49，第四列與第五列相差11，是60，第五列與第六列相差12，是72，第六列與第七列相差13，是85；故答案為85. 答案　85 8．(2014·貴州畢節(jié)，18，5分)觀察下列一組數：，，，，…，它們是按一定規(guī)律排列的，那么這一組數據的第n個數是________． 解析　分子依次為1，3，5，7，9，…，可表示為2n－1；分母依次為22，32，42，52，62，…，可表示為(n＋1)2，所以第n個數是. 答案　 9．(2012·浙江湖州，16，4分

19、)如圖，將正△ABC分割成m個邊長為1的小正三角形和一個黑色菱形，這個黑色菱形可分割成n個邊長為1的小正三角形，若＝，則正△ABC的邊長是________． 解析　設正△ABC的邊長為x，則高為x，S△ABC＝x·x＝x2.∵所分成的都是正三角形， ∴結合圖形可得黑色菱形的較長的對角線為x－， 較短的對角線為(x－)＝x－1， ∴黑色菱形的面積＝＝(x－2)2， ∴＝＝， 整理得，11x2－144x＋144＝0，解得x1＝(不符合題意，舍去)，x2＝12.∴△ABC的邊長是12. 答案　12 10．(2014·江蘇揚州，18，3分)設a1，a2，…，a2 014是從1，

20、0，－1這三個數中取值的一列數，若a1＋a2＋…＋a2 014＝69，(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋…＋(a2 014＋1)2＝4 001，則a1，a2，…，a2 014中為0的個數是________． 解析　設這些數中0的個數為a，則由a1＋a2＋a3＋…＋a2 014＝69可知：1的個數比－1的個數要多69，即1的個數為，而－1的個數為；再考慮到另一個等式(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋…＋(a2 014＋1)2＝4 001，得到每個數＋1后，其中平方后為4的數有個，1有a個，其余都是0，可知4·＋a＝4 001，解得a＝165. 答案　165 三、解答題 11．(2013·浙江

21、紹興，19，8分)如圖，矩形ABCD中，AB＝6.第1次平移矩形ABCD沿AB的方向向右平移5個單位，得到矩形A1B1C1D1；第2次平移矩形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5個單位，得到矩形A2B2C2D2；…；第n次平移矩形An－1Bn－1Cn－1Dn－1沿An－1Bn－1的方向向右平移5個單位，得到矩形AnBnCnDn(n≥2)． (1)求AB1和AB2的長； (2)若ABn的長為56，求n. 解　(1)由題意可得，B點向右平移5個單位到達B1點，故AB1＝6＋5＝11；B1點再向右平移5個單位到達B2點，所以AB2＝11＋5＝16； (2)由(1)知AB1＝6＋5，AB2＝6＋2×5，依此類推，AB3＝6＋3×5，…，ABn＝6＋5n，∴ABn＝6＋5n＝56，n＝10. 第11頁