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2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 常用邏輯用語(yǔ) 2 充分條件與必要條件學(xué)案 北師大版選修1-1

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1、 §2 充分條件與必要條件 充分條件與必要條件 古時(shí)候有個(gè)賣油郎叫洛孝,一天他在賣油回家的路上撿到30兩銀子,回家后其母親叫洛孝把銀子還給失主.當(dāng)洛孝把銀子還給失主時(shí),失主卻說(shuō)自己丟了50兩銀子,叫洛孝拿出自己私留的20兩銀子.兩人為此爭(zhēng)執(zhí)不休,告到縣衙,縣官聽(tīng)了兩人的供述后,把銀子判給洛孝,失主含羞離去. 設(shè): A:洛孝主動(dòng)歸還所拾銀兩. B:洛孝無(wú)賴銀之情. C:洛孝拾到30兩銀子,失主丟失50兩銀子. D:洛孝所拾銀子不是失主所丟. 問(wèn)題1:縣官得到結(jié)論B的依據(jù)是什么?它是B的什么條件? 提示:A,充分條件. 問(wèn)題2:縣官由C得出什么結(jié)論?

2、它是C的什么條件? 提示:D,必要條件. 充分條件和必要條件 如果“若p,則q”形式的命題為真命題,即p?q,稱p是q的充分條件,同時(shí)稱q是p的必要條件. 充要條件 已知:p:前年在倫敦舉行第30屆夏季奧運(yùn)會(huì). q:前年是2012年. 問(wèn)題1:“若p,則q”為真命題嗎?p是q的什么條件? 提示:是真命題,充分條件. 問(wèn)題2:“若q,則p”是真命題嗎?p是q的什么條件? 提示:是真命題,必要條件. 問(wèn)題3:p是q的什么條件?q是p的什么條件? 提示:充要條件,充要條件. 充要條件 (1)如果既有p?q,又有q?p,通常記作p?q,則稱p是q的充分必要條

3、件,簡(jiǎn)稱充要條件. (2)p是q的充要條件也可以說(shuō)成:p成立當(dāng)且僅當(dāng)q成立. (3)如果p,q分別表示兩個(gè)命題,且它們互為充要條件,我們稱命題p和命題q是兩個(gè)相互等價(jià)的命題. (4)若p?q,但q?/ p,則p是q的充分不必要條件,q是p的必要不充分條件. (5)若p?/ q,且q?/ p,則p是q的既不充分也不必要條件. 充分條件與必要條件的判斷,即對(duì)命題“若p,則q”與“若q,則p”進(jìn)行真假判斷,若是一真一假則p是q的充分不必要條件或必要不充分條件;若是兩真則p是q的充要條件;若是兩假則p是q的即不充分又不必要條件. 充分條件、必要條件的判斷 [例1

4、] 下列各題中,p是q的什么條件? (1)p:a,b,c三數(shù)成等比數(shù)列,q:b=; (2)p:y+x>4,q:x>1,y>3; (3)p:a>b,q:2a>2b; (4)p:△ABC是直角三角形,q:△ABC為等腰三角形. [思路點(diǎn)撥] 可先看p成立時(shí),q是否成立,再反過(guò)來(lái)若q成立時(shí),p是否成立,從而判定p,q間的關(guān)系. [精解詳析] (1)若a,b,c成等比數(shù)列,則b2=ac,b=±,則p?/ q;若b=,當(dāng)a=0,b=0時(shí),a,b,c不成等比數(shù)列,即q?/ p,故p是q的既不充分也不必要條件. (2)y+x>4不能得出x>1,y>3,即p?/ q,而x>1,y>3可得x+y>

5、4,即q?p,故p是q的必要不充分條件. (3)當(dāng)a>b時(shí),有2a>2b,即p?q,當(dāng)2a>2b時(shí),可得a>b,即q?p,故p是q的充要條件. (4)法一:若△ABC是直角三角形不能得出△ABC為等腰三角形,即p?/ q;若△ABC為等腰三角形也不能得出△ABC為直角三角形,即q?/ p,故p是q的既不充分也不必要條件. 法二:如圖所示:p,q對(duì)應(yīng)集合間無(wú)包含關(guān)系,故p是q的既不充分也不必要條件. [一點(diǎn)通]  充分必要條件判斷的常用方法: (1)定義法:分清條件和結(jié)論,利用定義判斷. (2)等價(jià)法:將不易判斷的命題轉(zhuǎn)化為它的逆否命題判斷. (3)集合法: 設(shè)A={x|p

6、(x)},B={x|q(x)},若x具有性質(zhì)p,則x∈A;若x具有性質(zhì)q,則x∈B. ①若AB,則p是q的充分不必要條件; ②若BA,則p是q的必要不充分條件; ③若A=B,則p是q的充要條件; ④若A?B且B?A,則p是q的既不充分又不必要條件. 1.設(shè)集合A={x|≤0},集合B={x||x-2|≤1},那么“m∈A”是“m∈B”的(  ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件 解析:集合A={x|0≤x<3},集合B={x|1≤x≤3},則由“m∈A”得不到“m∈B”,反之由“m∈B”也得不到“m∈A”,故選D. 答

7、案:D 2.對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b,c給出下列命題: ①“a=b”是“ac=bc”的充要條件; ②“a+5是無(wú)理數(shù)”是“a是無(wú)理數(shù)”的充要條件; ③“a>b”是“a2>b2”的充分條件; ④“a<5”是“a<3”的必要條件. 其中,真命題的序號(hào)是________. 解析:①由a=b可得ac=bc.但ac=bc時(shí)不一定有a=b,故①為假命題;②由“a+5為無(wú)理數(shù)”可得“a為無(wú)理數(shù)”,由“a為無(wú)理數(shù)”可得“a+5為無(wú)理數(shù)”,②為真命題;③由“a>b”不能得出a2>b2,如a=1,b=-2,③為假命題;④“由a<5”不能得“a<3”,而由“a<3”可得“a<5”,④為真命題. 答案:②④

8、 3.指出下列各組命題中p是q的什么條件,q是p的什么條件,并說(shuō)明理由. (1)p:|x|=|y|,q:x=y(tǒng); (2)在△ABC中,p:sin A>,q:A>. 解:(1)因?yàn)閨x|=|y|?x=y(tǒng)或x=-y,但x=y(tǒng)?|x|=|y|,所以p是q的必要不充分條件,q是p的充分不必要條件. (2)因?yàn)?<A<π時(shí),sin A∈(0,1],且A∈(0,]時(shí),sin A單調(diào)遞增,A∈[,π)時(shí),sin A單調(diào)遞減,所以sin A>?A>,但A>?/ sin A>. 所以p是q的充分不必要條件,q是p的必要不充分條件. 充要條件的證明和求解   [例2] 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和

9、Sn=pn+q(p≠0且p≠1), 求證:數(shù)列{an}為等比數(shù)列的充要條件為q=-1. [思路點(diǎn)撥] 本題可分充分性和必要性兩種情況證明,即由q=-1推證數(shù)列{an}為等比數(shù)列和由數(shù)列{an}滿足Sn=pn+q(p≠0且p≠1)為等比數(shù)列推證q=-1. [精解詳析] (充分性)當(dāng)q=-1時(shí),a1=S1=p-1;當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1),且n=1時(shí)也成立.于是==p(p≠0且p≠1),即{an}為等比數(shù)列. (必要性)當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=p+q; 當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1). 因?yàn)閜≠0且p≠1,所以當(dāng)n≥2時(shí),==p,可知等

10、比數(shù)列{an}的公比為p. 故==p,即p-1=p+q,求得q=-1. 綜上可知,q=-1是數(shù)列{an}為等比數(shù)列的充要條件. [一點(diǎn)通]  充要條件的證明問(wèn)題,要證明兩個(gè)方面,一是充分性,二是必要性.為此必須要搞清條件,在“A是B的充要條件”中,A?B是充分性,B?A是必要性;在“A的充要條件是B”中,A?B是必要性,B?A是充分性. 4.不等式x2-ax+1>0的解集為R的充要條件是____________. 解析:若x2-ax+1>0的解集為R,則Δ=a2-4<0,即-20的解集為R,故不等式x2-ax+1

11、>0的解集為R的充要條件是-2

12、×1+c=0,即a+b+c=0. ∴必要性成立. 再證充分性:∵a+b+c=0,∴c=-a-b. 代入方程ax2+bx+c=0中可得: ax2+bx-a-b=0,即(x-1)(ax+b+a)=0. 故方程ax2+bx+c=0有一個(gè)根為1. 故關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0有一個(gè)根為1的充要條件是a+b+c=0. 充分條件、必要條件的應(yīng)用 [例3] 已知p:關(guān)于x的不等式<x<,q:x(x-3)<0,若p是q的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)m的取值范圍. [思路點(diǎn)撥] 求出q對(duì)應(yīng)的集合,然后把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為集合間的包含關(guān)系求解. [精解詳析] 記A={x|<x<},B= {x|x

13、(x-3)<0}={x|0<x<3}, 若p是q的充分不必要條件,則AB. 注意到B={x|0<x<3}≠?,分兩種情況討論: (1)若A=?,即≥,解得m≤0,此時(shí)AB,符合題意; (2)若A≠?,即<,解得m>0, 要使AB,應(yīng)有 綜上可得,實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-∞,3). [一點(diǎn)通]  將充分、必要條件轉(zhuǎn)化為集合的包含關(guān)系,是解決該類問(wèn)題的一種有效的方法,關(guān)鍵是準(zhǔn)確把p,q用集合表示,借助數(shù)軸,利用數(shù)形結(jié)合的方法建立方程或不等式,求參數(shù)的范圍. 7.已知條件p:x2+x-6=0,條件q:mx+1=0(m≠0),且q是p的充分不必要條件,求m的值. 解:解x2

14、+x-6=0得x=2或x=-3, 令A(yù)={2,-3},B=, ∵q是p的充分不必要條件,∴B A. 當(dāng)-=2時(shí),m=-;當(dāng)-=-3時(shí),m=. 所以m=-或m=. 8.已知M={x|(x-a)2<1},N={x|x2-5x-24<0},若x∈M是x∈N的充分條件,求a的取值范圍. 解:由(x-a)2<1得 x2-2ax+(a-1)(a+1)<0, ∴a-1

15、.充分必要條件與四種命題之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系; (1)若p是q的充分條件,則原命題“若p,則q”及它的逆否命題都是真命題; (2)若p是q的必要條件,則逆命題及否命題為真命題; (3)若p是q的充要條件,則四種命題均為真命題. 2.涉及利用充分條件、必要條件、充要條件求參數(shù)的取值范圍時(shí),常利用命題的等價(jià)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化,從集合的包含、相等關(guān)系上來(lái)考慮制約關(guān)系. 1.“1<x<2”是“x<2”成立的(  ) A.充分不必要條件   B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 解析:當(dāng)1<x<2時(shí),必有x<2;而x<2時(shí),如x=0,推不出1<x<2,所

16、以“1<x<2”是“x<2”的充分不必要條件. 答案:A 2.函數(shù)f(x)=x2+mx+1的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱的充要條件是(  ) A.m=-2 B.m=2 C.m=-1 D.m=1 解析:函數(shù)f(x)=x2+mx+1的圖像關(guān)于x=1對(duì)稱?-=1?m=-2. 答案:A 3.已知命題p:“a,b,c成等差數(shù)列”,命題q:“+=2”,則命題p是命題q的(  ) A.必要不充分條件 B.充分不必要條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 解析:若+=2,則a+c=2b,由此可得a,b,c成等差數(shù)列;當(dāng)a,b,c成等差數(shù)列時(shí),可得a+c=2b,但不一定得出+

17、=2,如a=-1,b=0,c=1.所以命題p是命題q的必要不充分條件,故選A. 答案:A 4.“a>3”是“函數(shù)f(x)=ax+2在區(qū)間[-1,2]上存在零點(diǎn)”的(  ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 解析:當(dāng)a>3時(shí),f(-1)f(2)=(-a+2)(2a+2)<0,即函數(shù)f(x)=ax+2在區(qū)間[-1,2]上存在零點(diǎn);但當(dāng)函數(shù)f(x)=ax+2在區(qū)間[-1,2]上存在零點(diǎn);不一定是a>3,如當(dāng)a=-3時(shí),函數(shù)f(x)=ax+2=-3x+2在區(qū)間[-1,2]上存在零點(diǎn).所以“a>3”是“函數(shù)f(x)=ax+2在區(qū)間[-1,2

18、]上存在零點(diǎn)”的充分不必要條件,故選A. 答案:A 5.直線l:x-y+m=0與圓C:(x+1)2+y2=2有公共點(diǎn)的充要條件是________. 解析:直線l與圓C有公共點(diǎn)?≤?|m-1|≤2?-1≤m≤3. 答案:m∈[-1,3] 6.在下列各項(xiàng)中選擇一項(xiàng)填空: ①充分不必要條件 ②必要不充分條件 ③充要條件 ④既不充分也不必要條件 (1)記集合A={-1,p,2},B={2,3},則“p=3”是“A∩B=B”的________; (2)“a=1”是“函數(shù)f(x)=|2x-a|在區(qū)間上為增函數(shù)”的________. 解析:(1)當(dāng)p=3時(shí),A={-1,2,3},此時(shí)

19、A∩B=B;若A∩B=B,則必有p=3.因此“p=3”是“A∩B=B”的充要條件.(2)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=|2x-a|=|2x-1|在上是增函數(shù);但由f(x)=|2x-a|在區(qū)間[,+∞)上是增函數(shù)不能得到a=1,如當(dāng)a=0時(shí),函數(shù)f(x)=|2x-a|=|2x|在區(qū)間上是增函數(shù).因此“a=1”是“函數(shù)f(x)=|2x-a|在區(qū)間[,+∞)上為增函數(shù)”的充分不必要條件. 答案:(1)③ (2)① 7.指出下列各組命題中,p是q的什么條件(充分不必要條件,必要不充分條件,充要條件,既不充分也不必要條件)? (1)p:△ABC中,b2>a2+c2,q:△ABC為鈍角三角形; (2)p:

20、△ABC有兩個(gè)角相等,q:△ABC是正三角形; (3)若a,b∈R,p:a2+b2=0,q:a=b=0; (4)p:△ABC中,A≠30°,q:sin A≠. 解:(1)△ABC中,∵b2>a2+c2,∴cos B=<0, ∴B為鈍角,即△ABC為鈍角三角形,反之若△ABC為鈍角三角形,B可能為銳角,這時(shí)b2<a2+c2. ∴p?q,q?/ p,故p是q的充分不必要條件. (2)有兩個(gè)角相等不一定是等邊三角形,反之一定成立, ∴p?/ q,q?p,故p是q的必要不充分條件. (3)若a2+b2=0,則a=b=0,故p?q;若a=b=0,則a2+b2=0,即q?p,所以p是q的充要條件. (4)轉(zhuǎn)化為△ABC中sin A=是A=30°的什么條件. ∵A=30°?sin A=,但是sin A=?/ A=30°, ∴△ABC中sin A=是A=30°的必要不充分條件. 即p是q的必要不充分條件. 8.求方程ax2+2x+1=0有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根的充要條件. 解:①當(dāng)a=0時(shí),方程為一元一次方程,其根為x=-,不符合要求; ②當(dāng)a≠0時(shí),方程ax2+2x+1=0為一元二次方程,有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根的充要條件為 解得0

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