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2017-2018版高中數(shù)學 第3章 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 3.3 復數(shù)的幾何意義學案 蘇教版選修1-2

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1、 3.3 復數(shù)的幾何意義 學習目標 1.了解復數(shù)的幾何意義,會用復平面上的點表示復數(shù).2.了解復數(shù)的加減運算的幾何意義.3.掌握用向量的模來表示復數(shù)的模的方法. 知識點一 復數(shù)的幾何意義 思考1 復數(shù)z=a+bi(a,b∈R)與有序數(shù)對(a,b)有怎樣的對應關系?     思考2 有序實數(shù)對與直角坐標平面內的點有怎樣的對應關系?     思考3 復數(shù)集與平面直角坐標系中的點集之間能一一對應嗎?     思考4 復數(shù)z=a+bi、復平面內的點Z(a,b)、向量三者有何關系?     1.復平面 建立了直角坐標系來表示復數(shù)的

2、平面叫做__________,x軸叫做________,y軸叫做________. 2.復數(shù)的幾何意義 復數(shù)z=a+bi(a,b∈R)復平面內的點Z(a,b)向量. 知識點二 復數(shù)的模及意義 1.定義:向量的模叫做復數(shù)z=a+bi的模,記為|z|. 2.公式:|z|=. 3.幾何意義:復數(shù)z對應點Z到原點O的距離. 知識點三 復數(shù)加減法的幾何意義 思考1 復數(shù)與復平面內的向量一一對應,你能從向量加法的幾何意義出發(fā)討論復數(shù)加法的幾何意義嗎?         思考2 怎樣作出與復數(shù)z1-z2對應的向量?           思考

3、3 類比絕對值|x-x0|的幾何意義,說明|z-z0|(z,z0∈C)的幾何意義.       1.如圖所示,設向量,分別與復數(shù)z1=a+bi,z2=c+di對應,且和不共線,以,為鄰邊畫平行四邊形OZ1ZZ2.則向量與復數(shù)__________________相對應;向量與復數(shù)________________相對應. 2.|z1-z2|=,即兩個復數(shù)的差的模就是復平面內與這兩個復數(shù)對應的兩點間的距離. 類型一 復數(shù)與復平面內點的對應 例1 在復平面內,若復數(shù)z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i對應的點(1)在虛軸上;(2)在第二象限;(3)在直線y=x上,分

4、別求實數(shù)m的取值范圍.                     反思與感悟 按照復數(shù)和復平面內所有點所成的集合之間的一一對應關系,每一個復數(shù)都對應著一個有序實數(shù)對,只要在復平面內找出這個有序實數(shù)對所表示的點,就可根據(jù)點的位置判斷復數(shù)實部、虛部的取值. 跟蹤訓練1 設復數(shù)z=(m∈R)在復平面內對應的點為Z. (1)若點Z在虛軸上,求m的值; (2)若點Z位于第一象限,求m的取值范圍.             類型二 復數(shù)的模及其幾何意義 例2 已知復數(shù)z1=-i,z2=-+i. (

5、1)求|z1|及|z2|的值并比較大??; (2)設z∈C,滿足|z2|≤|z|≤|z1|的點Z的集合是什么圖形?                   反思與感悟 (1)復數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的模即向量的模,復數(shù)的??梢员容^大小. (2)復數(shù)的模的意義是表示復數(shù)對應的點到原點的距離,這可以類比實數(shù)的絕對值,也可類比以原點為起點的向量的模來加深理解. 跟蹤訓練2 (1)已知0

6、              類型三 復數(shù)加減法的幾何意義 例3 在復平面內,A,B,C分別對應復數(shù)z1=1+i,z2=5+i,z3=3+3i,以AB、AC為鄰邊作一個平行四邊形ABDC,求點D對應的復數(shù)z4及AD的長.           反思與感悟 (1)根據(jù)復數(shù)加減運算的幾何意義可以把復數(shù)的加減運算轉化為向量的坐標運算,同樣滿足三角形和平行四邊形法則. (2)復數(shù)加減運算的幾何意義為應用數(shù)形結合思想解決復數(shù)問題提供了可靠. 跟蹤訓練3 已知|z1|=|z2|=|z1-z2|=1,求|z1+z2|.  

7、             1.設z=(2-i)2(i為虛數(shù)單位),則復數(shù)z的模為________. 2.復數(shù)z=-1在復平面內,則z所對應的點在第________象限. 3.復數(shù)4+3i與-2-5i分別表示向量與,則向量表示的復數(shù)是____________. 4.在復平面內表示復數(shù)z=(m-3)+2i的點在直線y=x上,則實數(shù)m的值為________. 1.復數(shù)的幾何意義 這種對應關系架起了復數(shù)與解析幾何之間的橋梁,使得復數(shù)問題可以用幾何方法解決.復數(shù)幾何意義的應用,關鍵是抓住復數(shù)與點的一一對應. 2.復數(shù)的模 (1)復數(shù)z=a+bi

8、(a,b∈R)的模|z|=; (2)從幾何意義上理解,表示點Z和原點間的距離,類比向量的??蛇M一步引申:|z1-z2|表示點Z1和點Z2之間的距離. 答案精析 問題導學 知識點一 思考1 一一對應. 思考2 一一對應. 思考3 能一一對應. 思考4 復數(shù)z=a+bi可以用復平面內的點Z(a,b)來表示,也可以用向量來表示,三者的關系是一一對應的. 1.復平面 實軸 虛軸 知識點三 思考1  如圖,設,分別與復數(shù)a+bi,c+di對應,則有=(a,b),=(c,d),由向量加法的幾何意義+=(a+c,b+d),所以+與復數(shù)(a+c)+(b+d)i對應,復數(shù)的加法可以按

9、照向量的加法來進行. 思考2  z1-z2可以看作z1+(-z2).因為復數(shù)的加法可以按照向量的加法來進行,所以可以按照平行四邊形法則或三角形法則作出與z1-z2對應的向量(如圖).圖中對應復數(shù)z1,對應復數(shù)z2,則對應復數(shù)z1-z2. 思考3 |z-z0|(z,z0∈C)的幾何意義是復平面內點Z到點Z0的距離. 1.z1+z2 z1-z2 題型探究 例1 解 復數(shù)z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i的實部為m2-m-2,虛部為m2-3m+2. (1)由題意得m2-m-2=0. 解得m=2或m=-1. (2)由題意得 ∴ ∴-1

10、m-2=m2-3m+2, 故m=2. 跟蹤訓練1 解 z===+i, (1)∵點Z在虛軸上, ∴=0,則m=-2. (2)點Z位于第一象限,則m+2>0且1-2m>0, 解得-2|z2|. (2)設z=x+yi(x,y∈R),則1≤|z|≤2. ∴1≤x2+y2≤4. 因為x2+y2≥1表示圓x2+y2=1及其外部所有點組成的集合,x2+y2≤4表示圓x2+y2=4及其內部所有點組成的集合. ∴滿足條件的點Z(x,y)的集合是

11、以O為圓心,以1和2為半徑的圓所夾的圓環(huán),如圖所示. 跟蹤訓練2 解 (1)由題意得z=a+i,根據(jù)復數(shù)的模的定義可得|z|=. 因為0

12、=7+3i, ∴AD的長為||=|z4-z1|=|(7+3i)-(1+i)| =|6+2i|=2. 跟蹤訓練3 解 方法一 設z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R), ∵|z1|=|z2|=|z1-z2|=1, ∴a2+b2=c2+d2=1,① (a-c)2+(b-d)2=1.② 由①②得2ac+2bd=1, ∴|z1+z2|= ==. 方法二 設O為坐標原點, z1、z2、z1+z2在復平面內對應的點分別為A、B、C. ∵|z1|=|z2|=|z1-z2|=1, ∴△OAB是邊長為1的正三角形, ∴四邊形OACB是一個內角為60°,邊長為1的菱形,且|z1+z2|是菱形的較長的對角線OC的長, ∴|z1+z2|=|OC| ==. 達標檢測 1.5 解析 z=(2-i)2=3-4i,所以|z|=|3-4i|==5. 2.二 解析 ∵z=-1=i-1, ∴復數(shù)z對應的點為(-1,1)在第二象限. 3.-6-8i 解析 因為復數(shù)4+3i與-2-5i分別表示向量與,所以=(4,3),=(-2,-5),又=-=(-2,-5)-(4,3)=(-6,-8),所以向量表示的復數(shù)是-6-8i. 4.9 解析 ∵z=(m-3)+2i表示的點在直線y=x上, ∴m-3=2,解得m=9. 11

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