《2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第3章 數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入 3.2 復(fù)數(shù)的四則運算(二)學(xué)案 蘇教版選修1-2》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第3章 數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入 3.2 復(fù)數(shù)的四則運算(二)學(xué)案 蘇教版選修1-2(8頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
3.2 復(fù)數(shù)的四則運算(二)
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.進一步熟練掌握復(fù)數(shù)的乘法運算,了解復(fù)數(shù)的乘方,正整數(shù)指數(shù)冪的運算律在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)仍成立.2.理解復(fù)數(shù)商的定義,能夠進行復(fù)數(shù)除法運算.3.了解i冪的周期性.
知識點一 復(fù)數(shù)的乘方與in(n∈N*)的周期性
思考 計算i5,i6,i7,i8的值,你能推測in(n∈N*)的值有什么規(guī)律嗎?
1.復(fù)數(shù)范圍內(nèi)正整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)
對任何z,z1,z2∈C及m,n∈N*,有zmzn=zm+n,(zm)n=________,(z1z2)n=zz.
2.虛數(shù)單位in(n∈N*)的周期性
i4n=__________
2、,i4n+1=__________,i4n+2=__________,i4n+3=__________.
知識點二 復(fù)數(shù)的除法
思考 如何規(guī)定兩復(fù)數(shù)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R,c+di≠0)相除?
把滿足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的復(fù)數(shù)x+yi(x,y∈R)叫做復(fù)數(shù)a+bi除以復(fù)數(shù)c+di的商.且x+yi==+i.
類型一 i的運算性質(zhì)
例1 計算下列各式的值.
(1)1+i+i2+…+i2 017.(2)(1-)2 014+(1-i)2 014.(3)(-+i)3.
3、
反思與感悟 (1)虛數(shù)單位i的性質(zhì):
①i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1(n∈N*).
②i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈N*).
(2)復(fù)數(shù)的乘方運算,要充分運用(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i,=-i等一些重要結(jié)論簡化運算.
(3)設(shè)ω=-+i,則ω3=1,ω2+ω+1=0,ω2=.
跟蹤訓(xùn)練1 計算下列各式:
(1)i2 006+(+i)8-()50.
(2)(-1-i)3+(-1+i)3.
類型二 復(fù)數(shù)的除法
例2 (1)設(shè)z=1+i(i是虛數(shù)單位
4、),則+z2=__________.
(2)復(fù)數(shù)z=的共軛復(fù)數(shù)是____________.
反思與感悟 (1)這類問題求解的關(guān)鍵在于“分母實數(shù)化”類似于根式除法的分母“有理化”.
(2)復(fù)數(shù)除法的運算結(jié)果一般寫成實部與虛部分開的形式.
跟蹤訓(xùn)練2 (1)設(shè)i是虛數(shù)單位,則=________.
(2)復(fù)數(shù)z滿足(1+2i)=4+3i,則z=________.
類型三 復(fù)數(shù)四則運算的綜合應(yīng)用
例3 計算下列各式:
(1)+(5+i2)-()2;
(2).
反思與感悟 (1)進行復(fù)數(shù)四則混合運算時,要先算乘方,再
5、算乘除,最后計算加減.
(2)復(fù)數(shù)乘法、除法運算中注意一些結(jié)論的應(yīng)用.
①===i.利用此法可將一些特殊類型的計算過程簡化;
②記住一些簡單結(jié)論如=-i,=i,=-i,(1±i)2=±2i等.
跟蹤訓(xùn)練3 復(fù)數(shù)z=,若z2+<0,求純虛數(shù)a.
1.設(shè)i為虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)=____________.
2.+=______________.
3.如果復(fù)數(shù)的實部與虛部互為相反數(shù),那么實數(shù)b=________.
4.設(shè)z1=i+i2+i3+…+i11,z2=i1·i2…i12,則z1·z2=________.
5.計算:(1)若=-
6、i,求實數(shù)a的值;
(2)若復(fù)數(shù)z=,求+3i.
1.熟練掌握乘除法運算規(guī)則.求解運算時要靈活運用in的周期性.此外,實數(shù)運算中的平方差公式,兩數(shù)和、差的平方公式在復(fù)數(shù)運算中仍然成立.
2.在進行復(fù)數(shù)四則運算時,我們既要做到會做、會解,更要做到快速解答.在這里需要掌握一些常用的結(jié)論,如(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i,=-i,=i,-b+ai=i(a+bi).利用這些結(jié)論,我們可以更有效地簡化計算,提高計算速度且不易出錯.
3.在進行復(fù)數(shù)運算時,要理解好i的性質(zhì),切記不要出現(xiàn)如“i2=1”,“i4=-1”.
7、
答案精析
問題導(dǎo)學(xué)
知識點一
思考 i5=i,i6=-1,i7=-i,i8=1,推測i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1(n∈N*).
1.zmn
2.1 i?。? -i
知識點二
思考 通常先把(a+bi)÷(c+di)寫成的形式再把分子與分母都乘c-di,化簡后可得結(jié)果.
題型探究
例1 解 (1)原式===1+i.
(2)1-=1+=1+i且(1±i)2=±2i.
∴原式=(1+i)2 014+[(1-i)2]1 007
=(2i)1 007+(-2i)1 007=21 007i3-21 007i3=0.
(3)(-+i)3=(-+i
8、)2(-+i)
=(--i)(-+i)=1.
跟蹤訓(xùn)練1 解 (1)i2 006+(+i)8-()50
=i4×501+2+[2(1+i)2]4-[]25
=i2+(4i)4-i25=-1+256-i=255-i.
(2)原式=23(--i)3+23(-+i)3
=23×1+23×1=16.
例2 (1)1+i (2)-1-i
解析 (1)+z2=+(1+i)2=+2i=1+i.
(2)∵z====-1+i,
∴z的共軛復(fù)數(shù)=-1-i.
跟蹤訓(xùn)練2 (1)-1 (2)2+i
解析 (1)∵===-i,
∴=i3(-i)=-i4=-1.
(2)∵====2-i,
∴
9、復(fù)數(shù)z=2+i.
例3 解 (1)+(5+i2)-()2
=+(5-1)-=i+4-i=4.
(2)原式==
==·(2i)2·i=-4i.
跟蹤訓(xùn)練3 解?。?
===1-i.
∵a是純虛數(shù),設(shè)a=mi(m∈R,且m≠0),則
z2+=(1-i)2+
=-2i+=-2i+
=-+(-2)i<0,
∴得m=4,
∴a=4i.
達標(biāo)檢測
1.-6-5i
解析?。剑剑?5i-6i2)=-(5i+6)=-6-5i.
2.+i
解析 原式=+
=+=+i=+i.
3.-
解析 ===-i.由題意知,2-2b=4+b,得b=-.
4.1
解析 z1=(i+i2+i3+i4+…+i8)+(i9+i10+i11)=0-1=-1.
z2=i1+2+…+12=i78=-1,∴z1z2=1.
5.解 (1)依題意,得2+ai=-i(1+i)=2-i,
∴a=-.
(2)∵z==
=i(1+i)=-1+i,
∴=-1-i,
∴+3i=-1+2i.
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