《2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.1.3 導(dǎo)數(shù)的幾何意義學(xué)案 新人教B版選修2-2》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.1.3 導(dǎo)數(shù)的幾何意義學(xué)案 新人教B版選修2-2(6頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
1.1.3 導(dǎo)數(shù)的幾何意義
明目標(biāo)、知重點 1.理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.2.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,會求曲線上某點處的切線方程.
1.割線斜率與切線斜率
設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示,AB是過點A(x0,f(x0))與點B(x0+Δx,f(x0+Δx))的一條割線,此割線的斜率是=.
當(dāng)點B沿曲線趨近于點A時,割線AB繞點A轉(zhuǎn)動,它的極限位置為直線AD,這條直線AD叫做此曲線在點A處的切線.于是,當(dāng)Δx→0時,割線AB的斜率無限趨近于過點A的切線AD的斜率k,即k=f′(x0)= .
2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義
函數(shù)y=f(x)在點x=x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線y=f(x)在點P(x
2、0,f(x0))處的切線的斜率.也就是說,曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線的斜率是f′(x0).相應(yīng)地,切線方程為y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).
[情境導(dǎo)學(xué)]
如果一個函數(shù)是路程關(guān)于時間的函數(shù),那么函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)就是瞬時速度,這是函數(shù)的實際意義,那么從函數(shù)的圖象上來考察函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù),它具有怎樣的幾何意義呢?這就是本節(jié)我們要研究的主要內(nèi)容.
探究點一 導(dǎo)數(shù)的幾何意義
思考1 如圖,當(dāng)點Pn(xn,f(xn))(n=1,2,3,4)沿著曲線f(x)趨近于點P(x0,f(x0))時,割線PPn的變化趨勢是什么?
答 當(dāng)點Pn趨近于點P時,
3、割線PPn趨近于確定的位置,這個確定位置的直線PT稱為點P處的切線.
思考2 曲線的切線是不是一定和曲線只有一個交點?
答 不一定.曲線的切線和曲線不一定只有一個交點,和曲線只有一個交點的直線和曲線也不一定相切.如圖,曲線的切線是通過逼近將割線趨于確定位置的直線.
例1 如圖,它表示跳水運動中高度隨時間變化的函數(shù)h(t)=-4.9t2+6.5t+10的圖象.根據(jù)圖象,請描述、比較曲線h(t)在t0,t1,t2附近的變化情況.
解 我們用曲線h(t)在t0,t1,t2處的切線,刻畫曲線h(t)在上述三個時刻附近的變化情況.
(1)當(dāng)t=t0時,曲線h(t)在t0處的切線l0平行于t
4、軸.所以,在t=t0附近曲線比較平坦,幾乎沒有升降.
(2)當(dāng)t=t1時,曲線h(t)在t1處的切線l1的斜率h′(t1)<0.所以,在t=t1附近曲線下降,即函數(shù)h(t)在t=t1附近單調(diào)遞減.
(3)當(dāng)t=t2時,曲線h(t)在t2處的切線l2的斜率h′(t2)<0.所以,在t=t2附近曲線下降,即函數(shù)h(t)在t=t2附近也單調(diào)遞減.
從圖中可以看出,直線l1的傾斜程度小于直線l2的傾斜程度,這說明曲線h(t)在t1附近比在t2附近下降得緩慢.
反思與感悟 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖象升降的關(guān)系:
若函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)存在且f′(x0)>0(即切線的斜率大于零),則函數(shù)y=f
5、(x)在x=x0附近的圖象是上升的;若f′(x0)<0(即切線的斜率小于零),則函數(shù)y=f(x)在x=x0附近的圖象是下降的.導(dǎo)數(shù)絕對值的大小反映了曲線上升和下降的快慢.
跟蹤訓(xùn)練1 (1)根據(jù)例1的圖象,描述函數(shù)h(t)在t3和t4附近增(減)以及增(減)快慢的情況.
解 函數(shù)h(t)在t3、t4處的切線的斜率h′(t)>0,所以,在t=t3,t=t4附近單調(diào)遞增,且曲線h(t)在t3附近比在t4附近遞增得快.
(2)若函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間[a,b]上是增函數(shù),則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象可能是( )
答案 A
解析 依題意,y=f′(x)在[a,
6、b]上是增函數(shù),則在函數(shù)f(x)的圖象上,各點的切線的斜率隨著x的增大而增大,觀察四個選項的圖象,只有A滿足.
探究點二 求切線的方程
思考1 怎樣求曲線f(x)在點(x0,f(x0))處的切線方程?
答 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,求出函數(shù)y=f(x)在點(x0,f(x0))處的導(dǎo)數(shù),即曲線在該點處的切線的斜率,再由直線方程的點斜式求出切線方程.
思考2 曲線f(x)在點(x0,f(x0))處的切線與曲線過某點(x0,y0)的切線有何不同?
答 曲線f(x)在點(x0,f(x0))處的切線,點(x0,f(x0))一定是切點,只要求出k=f′(x0),利用點斜式寫出切線即可;而曲線f(x)過
7、某點(x0,y0)的切線,給出的點(x0,y0)不一定在曲線上,即使在曲線上也不一定是切點.
例2 已知曲線y=x2,求:
(1)曲線在點P(1,1)處的切線方程;
(2)曲線過點P(3,5)的切線方程.
解 (1)設(shè)切點為(x0,y0),
∵y′|x=x0=
= =2x0,∴斜率k=2.
∴曲線在點P(1,1)處的切線方程為
y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.
(2)點P(3,5)不在曲線y=x2上,
設(shè)切點為(x0,y0)
由(1)知,k=2x0,
∴切線方程為y-y0=2x0(x-x0),
由P(3,5)在所求直線上得5-y0=2x0(3-x0)①
8、再由A(x0,y0)在曲線y=x2上得y0=x②
聯(lián)立①,②得,x0=1或x0=5.
從而切點A的坐標(biāo)為(1,1)或(5,25)
當(dāng)切點為(1,1)時,切線的斜率為k1=2x0=2,
此時切線方程為y-1=2(x-1),即2x-y-1=0,
當(dāng)切點為(5,25)時,切線的斜率為k2=2x0=10,
此時切線方程為y-25=10(x-5),
即10x-y-25=0.
綜上所述,過點P(3,5)且與曲線y=x2相切的直線方程為2x-y-1=0或10x-y-25=0.
反思與感悟 求曲線上某點處的切線方程,可以直接利用導(dǎo)數(shù)求出曲線上此點處的斜率,然后利用點斜式寫出切線方程;求曲線過
9、某點的切線方程,要先求出切點坐標(biāo).
跟蹤訓(xùn)練2 已知直線l:y=4x+a和曲線C:y=f(x)=x3-2x2+3相切,求a的值及切點坐標(biāo).
解 設(shè)直線l與曲線C相切于點P(x0,y0),
∵f′(x)=
=
=3x2-4x,
∴k=f′(x0)=3x-4x0.
由題意可知k=4,即3x-4x0=4,
解得x0=-或x0=2,
∴切點的坐標(biāo)為(-,)或(2,3).
當(dāng)切點為(-,)時,有=4×(-)+a,
解得a=.
當(dāng)切點為(2,3)時,有3=4×2+a,解得a=-5.
∴當(dāng)a=時,切點坐標(biāo)為(-,);
當(dāng)a=-5時,切點坐標(biāo)為(2,3).
1.已知曲線f
10、(x)=2x2上一點A(2,8),則點A處的切線斜率為( )
A.4 B.16 C.8 D.2
答案 C
解析 f′(2)=
= = (8+2Δx)=8,即k=8.
2.若曲線y=x2+ax+b在點(0,b)處的切線方程是x-y+1=0,則( )
A.a(chǎn)=1,b=1 B.a(chǎn)=-1,b=1
C.a(chǎn)=1,b=-1 D.a(chǎn)=-1,b=-1
答案 A
解析 由題意,
知k= =1,
∴a=1.
又(0,b)在切線上,∴b=1,故選A.
3.已知曲線y=f(x)=2x2+4x在點P處的切線斜率為16,則P點坐標(biāo)為________.
答案 (3,30)
解
11、析 設(shè)點P(x0,2x+4x0),
則f′(x0)=
= =4x0+4,
令4x0+4=16得x0=3,
∴P(3,30).
[呈重點、現(xiàn)規(guī)律]
1.導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))處的切線的斜率,即k= =f′(x0),物理意義是運動物體在某一時刻的瞬時速度.
2.“函數(shù)f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)”是一個數(shù)值,不是變數(shù),“導(dǎo)函數(shù)”是一個函數(shù),二者有本質(zhì)的區(qū)別,但又有密切關(guān)系,f′(x0)是其導(dǎo)數(shù)y=f′(x)在x=x0處的一個函數(shù)值.
3.利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程,要注意已知點是否在曲線上.如果已知點在曲線上,則以該點為切點的切線方程為y-f(x0)=f′(x0)(x-x0);若已知點不在切線上,則設(shè)出切點(x0,f(x0)),表示出切線方程,然后求出切點.
6