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2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第一章 數(shù)列 2.2 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和(二)學(xué)案 北師大版必修5

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1、 2.2 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和(二) 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.進(jìn)一步熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式.2.會(huì)解等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題.3.理解an與Sn的關(guān)系,能根據(jù)Sn求an. 知識(shí)點(diǎn)一 數(shù)列中an與Sn的關(guān)系 思考 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2,怎樣求a1,an?  梳理 對(duì)任意數(shù)列{an},Sn與an的關(guān)系可以表示為 an= 知識(shí)點(diǎn)二 等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值 思考 我們已經(jīng)知道,當(dāng)公差d≠0時(shí),等差數(shù)列前n項(xiàng)和是關(guān)于n的二次函數(shù)Sn=n2+(a1-)n,類(lèi)比二次函數(shù)的最值情況,等差數(shù)列的Sn何時(shí)有最大值?何時(shí)有最小值? 梳理 等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值與{Sn}

2、的單調(diào)性有關(guān). (1)若a1>0,d<0,則數(shù)列的前面若干項(xiàng)為正項(xiàng)(或0),所以將這些項(xiàng)相加即得{Sn}的最大值. (2)若a1<0,d>0,則數(shù)列的前面若干項(xiàng)為負(fù)項(xiàng)(或0),所以將這些項(xiàng)相加即得{Sn}的最小值. (3)若a1>0,d>0,則{Sn}是遞增數(shù)列,S1是{Sn}的最小值;若a1<0,d<0,則{Sn}是遞減數(shù)列,S1是{Sn}的最大值. 類(lèi)型一 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn求an 引申探究 例1中前n項(xiàng)和改為Sn=n2+n+1,求通項(xiàng)公式. 例1 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=n2+n,求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎?如果是,它的首項(xiàng)與公差分

3、別是什么?  反思與感悟 已知前n項(xiàng)和Sn求通項(xiàng)an,先由n=1時(shí),a1=S1求得a1,再由n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1求得an,最后驗(yàn)證a1是否符合an,若符合則統(tǒng)一用一個(gè)解析式表示. 跟蹤訓(xùn)練1 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=3n,求an. 類(lèi)型二 等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值 例2 已知等差數(shù)列5,4,3,…的前n項(xiàng)和為Sn,求當(dāng)Sn取得最大值時(shí)n的值. 反思與感悟 在等差數(shù)列中,求Sn的最大(小)值,其思路是找出某一項(xiàng),使這項(xiàng)及它前面的項(xiàng)皆取正(負(fù))值或零,而它后面的各項(xiàng)皆取負(fù)(正)值,則從第1項(xiàng)起到該項(xiàng)的各項(xiàng)的和為最大(小).由于Sn為關(guān)于n的二次函數(shù),也可借助二次函數(shù)的圖像

4、或性質(zhì)求解. 跟蹤訓(xùn)練2 在等差數(shù)列{an}中,an=2n-14,試用兩種方法求該數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的最小值. 類(lèi)型三 求等差數(shù)列前n項(xiàng)的絕對(duì)值之和 例3 若等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=13,d=-4,記Tn=|a1|+|a2|+…+|an|,求Tn.  反思與感悟 求等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)的絕對(duì)值之和,根據(jù)絕對(duì)值的意義,應(yīng)首先分清這個(gè)數(shù)列的哪些項(xiàng)是負(fù)的,哪些項(xiàng)是非負(fù)的,然后再分段求出前n項(xiàng)的絕對(duì)值之和. 跟蹤訓(xùn)練3 已知數(shù)列{an}中,Sn=-n2+10n,數(shù)列{bn}的每一項(xiàng)都有bn=|an|,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn的表達(dá)式. 1.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2+

5、n,則an等于(  ) A.4n-2 B.n2 C.2n+1 D.2n 2.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,它的前n項(xiàng)和為Sn,若Sn=(n+1)2+λ,則λ的值是(  ) A.-2 B.-1 C.0 D.1 3.首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列,前n項(xiàng)和為Sn,且S3=S8,當(dāng)n=________時(shí),Sn取到最大值. 4.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=3+2n,求an.  1.因?yàn)閍n=Sn-Sn-1只有n≥2時(shí)才有意義,所以由Sn求通項(xiàng)公式an=f(n)時(shí),要分n=1和n≥2兩種情況分別計(jì)算,然后驗(yàn)證兩種情況可否用統(tǒng)一解析式表示,若不能,則用分段函數(shù)的形式表示. 2.求等差

6、數(shù)列前n項(xiàng)和最值的方法: (1)二次函數(shù)法:用求二次函數(shù)的最值方法來(lái)求其前n項(xiàng)和的最值,但要注意n∈N+,結(jié)合二次函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性來(lái)確定n的值,更加直觀(guān). (2)通項(xiàng)法:當(dāng)a1>0,d<0,時(shí),Sn取得最大值;當(dāng)a1<0,d>0,時(shí),Sn取得最小值. 3.求等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)的絕對(duì)值之和,關(guān)鍵是找到數(shù)列{an}的正負(fù)項(xiàng)的分界點(diǎn). 答案精析 問(wèn)題導(dǎo)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)一 思考 a1=S1=1; 當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1, 又n=1時(shí)也適合上式,所以an=2n-1,n∈N+. 梳理 S1 Sn-Sn-1 知識(shí)點(diǎn)二 思考 由二次函數(shù)的性質(zhì)可以得

7、出:當(dāng)a1<0,d>0時(shí),Sn先減后增,有最小值;當(dāng)a1>0,d<0時(shí),Sn先增后減,有最大值;且n取最接近對(duì)稱(chēng)軸的正整數(shù)時(shí),Sn取到最值. 題型探究 例1 解 根據(jù)Sn=a1+a2+…+an-1+an可知Sn-1=a1+a2+…+an-1(n>1,n∈N+), 當(dāng)n>1時(shí),an=Sn-Sn-1=n2+n-[(n-1)2+(n-1)]=2n-,① 當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=12+×1=,也滿(mǎn)足①式. ∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-. 故數(shù)列{an}是以為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列. 引申探究 解 當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1 =(n2+n+1)-[(n-1)2+(n-

8、1)+1] =2n-. ① 當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=12++1=不符合①式. ∴an= 跟蹤訓(xùn)練1 解 當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=3; 當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=3n-3n-1=2·3n-1. 當(dāng)n=1時(shí),代入an=2·3n-1得a1=2≠3. ∴an= 例2 解 方法一 由題意知,等差數(shù)列5,4,3,…的公差為-, 所以Sn=5n+(-) =-(n-)2+. 于是,當(dāng)n取與最接近的整數(shù)即7或8時(shí),Sn取得最大值. 方法二 an=a1+(n-1)d=5+(n-1)× =-n+. 令an=-n+≤0,解得n≥8,且a8=0,a9<0. 故前n項(xiàng)和

9、是從第9項(xiàng)開(kāi)始減小,而第8項(xiàng)為0, 所以前7項(xiàng)或前8項(xiàng)的和最大. 跟蹤訓(xùn)練2 解 方法一 ∵an=2n-14,∴a1=-12,d=2. ∴a1

10、n+×(-4) =15n-2n2; 當(dāng)n≥5時(shí),Tn=|a1|+|a2|+…+|an| =(a1+a2+a3+a4)-(a5+a6+…+an) =S4-(Sn-S4)=2S4-Sn =2×-(15n-2n2) =56+2n2-15n. ∴Tn= 跟蹤訓(xùn)練3 解 由Sn=-n2+10n得an=Sn-Sn-1=11-2n(n≥2,n∈N+). 驗(yàn)證a1=9也符合上式.∴an=11-2n,n∈N+. ∴當(dāng)n≤5時(shí),an>0,此時(shí)Tn=Sn=-n2+10n; 當(dāng)n>5時(shí),an<0,此時(shí)Tn=2S5-Sn=n2-10n+50. 即Tn= 當(dāng)堂訓(xùn)練 1.D 2.B 3.5或6 4.a(chǎn)n= 5

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