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2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第一單元 常用邏輯用語 1.1.2 量詞教學(xué)案 新人教B版選修1-1

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1、 1.1.2 量 詞 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.通過生活和數(shù)學(xué)中的豐富實(shí)例理解全稱量詞與存在量詞的含義,熟悉常見的全稱量詞和存在量詞.2.了解含有量詞的全稱命題和存在性命題的含義,并能用數(shù)學(xué)符號(hào)表示含有量詞的命題及判斷其命題的真假性.                    知識(shí)點(diǎn)一 全稱量詞與全稱命題 思考 觀察下列命題: ①每一個(gè)三角形都有內(nèi)切圓; ②所有實(shí)數(shù)都有算術(shù)平方根; ③對(duì)一切有理數(shù)x,5x+2還是有理數(shù). 以上三個(gè)命題中分別使用了什么量詞?根據(jù)命題的實(shí)際含義能否判斷命題的真假.    梳理 (1) 全稱量詞 “所有”、“每一個(gè)”、“任何”、“任意”、“一

2、切”、“任給”、“全部” 符號(hào) ? 全稱命題p 含有________________的命題 形式 “對(duì)M中任意一個(gè)x,有p(x)成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為________________ (2)判斷全稱命題真假性的方法:對(duì)于全稱命題“?x∈M,p(x)”,要判斷它為真,需要對(duì)集合M中的每個(gè)元素x,證明p(x)成立;要判斷它為假,只需在M中找到一個(gè)x=x0,使p(x0)不成立即可. 知識(shí)點(diǎn)二 存在量詞與存在性命題 思考 觀察下列命題: ①有些矩形是正方形; ②存在實(shí)數(shù)x,使x>5; ③至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x,使x2-2x+2<0. 以上三個(gè)命題分別使用了什么量詞?根據(jù)命題的實(shí)際含義

3、能否判斷命題的真假.    梳理 (1) 存在量詞 “有些”、“有一個(gè)”、“存在”、“某個(gè)”、“有的” 符號(hào) ? 存在性命題 含有________________的命題 形式 “存在M中的一個(gè)x,使q(x)成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為____________ (2)判斷存在性命題真假性的方法:要判斷一個(gè)存在性命題是真命題,只要在限定集合M中,至少能找到一個(gè)x=x0,使q(x0)成立即可,否則,這一存在性命題是假命題. 類型一 全稱命題與存在性命題的識(shí)別 例1 判斷下列語句是全稱命題,還是存在性命題. (1)凸多邊形的外角和等于360°; (2)有些實(shí)數(shù)a,b能使|

4、a-b|=|a|+|b|; (3)對(duì)任意a,b∈R,若a>b,則<; (4)有一個(gè)函數(shù),既是奇函數(shù),又是偶函數(shù).      反思與感悟 (1)判斷語句是否為命題,若不是命題,就當(dāng)然不是全稱命題或存在性命題. (2)若是命題,再分析命題中所含的量詞,含有全稱量詞的命題是全稱命題,含有存在量詞的命題是存在性命題. (3)當(dāng)命題中不含量詞時(shí),要注意理解命題含義的實(shí)質(zhì). 跟蹤訓(xùn)練1 判斷下列命題是全稱命題還是存在性命題,并用符號(hào)“?”或“?”表示下列命題. (1)自然數(shù)的平方大于或等于零; (2)對(duì)每一個(gè)無理數(shù)x,x2也是無理數(shù); (3)有的函數(shù)既是奇函數(shù)又是增函數(shù);

5、(4)對(duì)于數(shù)列,總存在正整數(shù)n,使得an與1之差的絕對(duì)值小于0.01.      類型二 全稱命題與存在性命題的真假的判斷 例2 判斷下列命題的真假: (1)在平面直角坐標(biāo)系中,任意有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)都對(duì)應(yīng)一點(diǎn)P; (2)存在一個(gè)函數(shù),既是偶函數(shù)又是奇函數(shù); (3)每一條線段的長(zhǎng)度都能用正有理數(shù)來表示; (4)存在一個(gè)實(shí)數(shù)x,使得等式x2+x+8=0成立; (5)?x∈R,x2-3x+2=0; (6)?x∈R,x2-3x+2=0.      反思與感悟 要判定全稱命題“?x∈M,p(x)”是真命題,需要對(duì)集合M中每個(gè)元素x,證明p(x)都成立;如果在

6、集合M中找到一個(gè)元素x0,使得p(x0)不成立,那么這個(gè)全稱命題就是假命題. 要判定存在性命題“?x∈M,q(x)”是真命題,只需在集合M中找到一個(gè)元素x0,使q(x0)成立即可;如果在集合M中,使q(x)成立的元素x不存在,那么這個(gè)存在性命題就是假命題. 跟蹤訓(xùn)練2 有下列四個(gè)命題:①?x∈R,2x2-3x+4>0;②?x∈{1,-1,0},2x+1>0;③?x∈N,x2≤x;④?x∈N+,x為29的約數(shù),其中真命題的個(gè)數(shù)為(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 類型三 全稱命題與存在性命題的應(yīng)用 例3 已知函數(shù)f(x)=x2-2x+5. (1)是否存在實(shí)數(shù)m,使不等

7、式m+f(x)>0對(duì)于任意x∈R恒成立,并說明理由; (2)若至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)x,使不等式m-f(x)>0成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.      反思與感悟 (1)一般地,對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,a>f(x)恒成立,只需a>f(x)max,若存在一個(gè)實(shí)數(shù)x,使a>f(x)成立,只需a>f(x)min. (2)有關(guān)一元二次不等式ax2+bx+c>0(<0)恒成立的問題,一是轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的圖象運(yùn)用數(shù)形結(jié)合求解,二是分離參數(shù)法求解.前者主要運(yùn)用Δ=b2-4ac的符號(hào),轉(zhuǎn)化為解不等式或不等式組,后者常常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大(小)值. 跟蹤訓(xùn)練3 (1)已知關(guān)于x的不等式x2+(2a+1)x+

8、a2+2≤0的解集非空,求實(shí)數(shù)a的取值范圍; (2)令p(x):ax2+2x+1>0,若對(duì)?x∈R,p(x)是真命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 1.下列命題中,不是全稱命題的是(  ) A.任何一個(gè)實(shí)數(shù)乘以0都等于0 B.自然數(shù)都是正整數(shù) C.每一個(gè)向量都有大小 D.一定存在沒有最大值的二次函數(shù) 2.下列命題是真命題的是(  ) A.a(chǎn)>b是ac2>bc2的充要條件 B.a(chǎn)>1,b>1是ab>1的充分條件 C.?x∈R,2x>x2 D.?x∈R,ex<0 3.下列存在性命題是假命題的是(  ) A.存在x∈Q,使2x-x3=0 B.存在x∈R,使x2+x+1=0

9、 C.有的素?cái)?shù)是偶數(shù) D.有的有理數(shù)沒有倒數(shù) 4.若?x∈[0,],tan x≤m是真命題,則實(shí)數(shù)m的最小值為________. 5.用量詞符號(hào)“?”“?”表述下列命題,并判斷真假. (1)所有的實(shí)數(shù)x都能使x2+x+1>0成立; (2)對(duì)所有實(shí)數(shù)a,b,方程ax+b=0恰有一個(gè)解; (3)一定有整數(shù)x,y,使得3x-2y=10成立; (4)所有的有理數(shù)x都能使x2+x+1是有理數(shù).     1.判斷全稱命題的關(guān)鍵:一是先判斷是不是命題;二是看是否含有全稱量詞. 2判定全稱命題的真假的方法.定義法:對(duì)給定的集合的每一個(gè)元素x,p(x)都為真;代入法:在給定的

10、集合內(nèi)找出一個(gè)x0,使p(x0)為假,則全稱命題為假. 3.判定存在性命題真假的方法.代入法:在給定的集合中找到一個(gè)元素x0,使命題q(x0)為真,否則命題為假. 答案精析 問題導(dǎo)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)一 思考 命題①②③分別使用量詞“每一個(gè)”“所有”“一切”. 命題①③是真命題,命題②是假命題,三個(gè)命題中的“每一個(gè)”“所有”“一切”都有全部、所有的意義,要求命題對(duì)某個(gè)集合的所有元素都成立,而負(fù)實(shí)數(shù)沒有算術(shù)平方根,故命題②為假命題. 梳理 (1)全稱量詞 ?x∈M,p(x) 知識(shí)點(diǎn)二 思考 命題①②③分別使用了量詞“有些”“存在”“至少有一個(gè)”.命題①②是真命題,命題③是假命題.三個(gè)命題

11、中的“有些”“存在”“至少有一個(gè)”等詞都是對(duì)某個(gè)集合內(nèi)的個(gè)別元素而言,要說明這些命題是真命題,只要舉出一個(gè)例子即可.所以命題①②是真命題,而任意實(shí)數(shù)x,x2-2x+2都大于0,所以命題③為假命題. 梳理 (1)存在量詞 ?x∈M,q(x) 題型探究 例1 解 (1)可以改寫為“所有的凸多邊形的外角和都等于360°”,是全稱命題. (2)含有存在量詞“有些”,故是存在性命題. (3)含有全稱量詞“任意”,故是全稱命題. (4)含有存在量詞“有一個(gè)”,是存在性命題. 跟蹤訓(xùn)練1 解 (1)是全稱命題,表示為?x∈N,x2≥0. (2)是全稱命題,?x∈{x|x是無理數(shù)},x2是無理

12、數(shù). (3)是存在性命題,?f(x)∈{函數(shù)},f(x)既是奇函數(shù)又是增函數(shù). (4)是存在性命題,?n∈N+,|an-1|<0.01,其中an=. 例2 解 (1)真命題. (2)真命題,如函數(shù)f(x)=0,既是偶函數(shù)又是奇函數(shù). (3)假命題,如邊長(zhǎng)為1的正方形,其對(duì)角線的長(zhǎng)度為,就不能用正有理數(shù)表示. (4)假命題,方程x2+x+8=0的判別式Δ=-31<0,故方程無實(shí)數(shù)解. (5)假命題,只有x=2或x=1時(shí),等式x2-3x+2=0才成立. (6)真命題,x=2或x=1,都使得等式x2-3x+2=0成立. 跟蹤訓(xùn)練2 C 例3 解 方法一 (1)不等式m+f(x)>

13、0可化為 m>-f(x), 即m>-x2+2x-5=-(x-1)2-4. 要使m>-(x-1)2-4對(duì)于任意x∈R恒成立, 只需m>-4即可. 故存在實(shí)數(shù)m使不等式m+f(x)>0對(duì)于任意x∈R恒成立,此時(shí)需m>-4. (2)不等式m-f(x)>0, 可化為m>f(x), 若至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)x使不等式m>f(x)成立,只需m>f(x)min. 又f(x)=(x-1)2+4,所以f(x)min=4,所以m>4. 所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(4,+∞). 方法二 (1)要使不等式m+f(x)>0對(duì)?x∈R恒成立,即x2-2x+5+m>0對(duì)?x∈R恒成立. 所以Δ=(-2)2-4

14、(5+m)<0,解得m>-4, 所以當(dāng)m>-4時(shí),m+f(x)>0對(duì)于任意x∈R恒成立. (2)若至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)x, 使m-f(x)>0成立, 即x2-2x+5-m<0成立. 只需Δ=(-2)2-4(5-m)>0即可, 解得m>4. 所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(4,+∞). 跟蹤訓(xùn)練3 解 (1)∵關(guān)于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空,∴Δ=(2a+1)2-4(a2+2)≥0, 即4a-7≥0, 解得a≥,∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為. (2)∵對(duì)?x∈R,p(x)是真命題. ∴對(duì)?x∈R,ax2+2x+1>0恒成立, 當(dāng)a=0時(shí),不等式為2x+1>0不恒成立, 當(dāng)a≠0時(shí),若不等式恒成立,則∴a>1. 當(dāng)堂訓(xùn)練 1.D 2.B 3.B 4.1 5.解 (1)?x∈R,x2+x+1>0,真命題. (2)?a,b∈R,ax+b=0恰有一解,假命題. (3)?x,y∈Z,3x-2y=10,真命題. (4)?x∈Q,x2+x+1是有理數(shù),真命題. 7

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