《2017-2018版高中數(shù)學 第一章 三角函數(shù) 4.4 單位圓的對稱性與誘導公式(一)學案 北師大版必修4》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2017-2018版高中數(shù)學 第一章 三角函數(shù) 4.4 單位圓的對稱性與誘導公式(一)學案 北師大版必修4(7頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
4.4 單位圓的對稱性與誘導公式(一)
學習目標 1.了解三角函數(shù)的誘導公式的意義和作用.2.理解誘導公式的推導過程.3.能運用有關(guān)的誘導公式解決一些三角函數(shù)的求值、化簡和證明問題.
知識點 2kπ±α,-α,π±α的誘導公式
思考1 設α為任意角,則2kπ+α,π+α,-α,2kπ-α,π-α的終邊與α的終邊有怎樣的對應關(guān)系?
思考2 2kπ+α,π+α,-α,2kπ-α,π-α終邊和單位圓的交點與α的終邊和單位圓的交點有怎樣的對稱關(guān)系?試據(jù)此分析角α與-α的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的關(guān)系.
梳理 對任意角α,有下列關(guān)系式成立:
sin(2kπ+α)=s
2、in α, cos(2kπ+α)=cos α (1.8)
sin(-α)=-sin α, cos(-α)=cos α (1.9)
sin(2π-α)=-sin α, cos(2π-α)=cos α (1.10)
sin(π-α)=sin α, cos(π-α)=-cos α (1.11)
sin(π+α)=-sin α, cos(π+α)=-cos α (1.12)
公式1.8~1.12叫作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的誘導公式.
這五組誘導公式的記憶口訣是“____________________________”.其含義是誘導公式兩邊的函數(shù)名稱________,符號則是將α看
3、成________時原角所在象限的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)值的符號.
類型一 給角求值問題
例1 求下列各三角函數(shù)式的值.
(1)cos 210°;(2)sin ;
(3)sin(-);(4)cos(-1 920°).
反思與感悟 利用誘導公式求任意角三角函數(shù)值的步驟
(1)“負化正”:用公式一或三來轉(zhuǎn)化.
(2)“大化小”:用公式一將角化為0°到360°間的角.
(3)“角化銳”:用公式二或四將大于90°的角轉(zhuǎn)化為銳角.
(4)“銳求值”:得到銳角的三角函數(shù)后求值.
跟蹤訓練1 求下列各三角函數(shù)式的值.
(1)sin 1 320°; (2)cos.
類型二
4、給值(式)求值問題
例2 (1)已知sin(π+α)=-0.3,則sin(2π-α)=________.
(2)已知cos(-α)=,則cos(+α)=________.
反思與感悟 解決此類問題的關(guān)鍵是抓住已知角與所求角之間的關(guān)系,從而靈活選擇誘導公式求解,一般可從兩角的和、差的關(guān)系入手分析,解題時注意整體思想的運用.
跟蹤訓練2 已知cos=,則cos=________.
類型三 利用誘導公式化簡
例3 化簡下列各式.
(1);
(2).
引申探究
若本例(1)改為:(n∈Z),請化簡.
反思與感悟 利用誘導公式進行化簡,主要是進行角的轉(zhuǎn)化,最終達
5、到角的統(tǒng)一,能求值的要求出值.
跟蹤訓練3 化簡:.
1.sin 585°的值為( )
A.- B. C.- D.
2.cos(-)+sin(-)的值為( )
A.- B.
C. D.
3.如果α+β=180°,那么下列等式中成立的是( )
A.cos α=cos β B.cos α=-cos β
C.sin α=-sin β D.sin α=cos β
4.sin 750°=________.
5.化簡:.
1.明確各誘導公式的作用
誘導公式
作用
公式1.8
將角轉(zhuǎn)化為0~2π之間的角求值
公式1.12
將
6、0~2π內(nèi)的角轉(zhuǎn)化為0~π之間的角求值
公式1.9
將負角轉(zhuǎn)化為正角求值
公式1.11
將角轉(zhuǎn)化為0~之間的角求值
2.誘導公式的記憶
這四組誘導公式的記憶口訣是“函數(shù)名不變,符號看象限”.其含義是誘導公式兩邊的函數(shù)名稱一致,符號則是將α看成銳角時原角所在象限的三角函數(shù)值的符號,α看成銳角,只是公式記憶的方便,實際上α可以是任意角.
答案精析
問題導學
知識點
思考1 它們的對應關(guān)系如表:
相關(guān)角
終邊之間的對稱關(guān)系
2kπ+α與α
終邊相同
π+α與α
關(guān)于原點對稱
-α與α
關(guān)于x軸對稱
2π-α與α
關(guān)于x軸對稱
π-α與α
關(guān)于y軸對稱
7、
思考2 它們交點間對稱關(guān)系如表:
相關(guān)角
終邊與單位圓的交點間對稱關(guān)系
2kπ+α與α
重合
π+α與α
關(guān)于原點對稱
-α與α
關(guān)于x軸對稱
2π-α與α
關(guān)于x軸對稱
π-α與α
關(guān)于y軸對稱
設角α與角-α終邊與單位圓的交點分別為P和P′,因為P和P′關(guān)于x軸對稱,所以點P和P′的橫坐標相等,縱坐標的絕對值相等且符號相反,即sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α.
梳理 函數(shù)名不變,符號看象限 一致 銳角
題型探究
例1 解 (1)cos 210°=cos(180°+30°)
=-cos 30°=-.
(2)sin=sin(
8、2π+)
=sin=sin(π-)
=sin=.
(3)sin(-)=-sin(6π+)
=-sin=-sin(π+)
=sin=.
(4)cos(-1 920°)=cos 1 920°
=cos(5×360°+120°)
=cos 120°=cos(180°-60°)
=-cos 60°=-.
跟蹤訓練1 解 (1)方法一 sin 1 320°=sin(3×360°+240°)
=sin 240°=sin(180°+60°)
=-sin 60°=-.
方法二 sin 1 320°=sin(4×360°-120°)=sin(-120°)
=-sin(180°-60°)=-sin 60°=-.
(2)方法一 cos=cos
=cos
=cos(π+)=-cos =-.
方法二 cos
=cos
=cos=-cos=-.
例2 (1)-0.3 (2)-
跟蹤訓練2 -
例3 解 (1)原式=
==1.
(2)原式
=
=
=
==-1.
引申探究
解 當n=2k時,
原式==1;
當n=2k+1時,
原式==1.
綜上,原式=1.
跟蹤訓練3 解 原式
=
==1.
當堂訓練
1.A 2.C 3.B 4.
5.解 原式=
=
==1.
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