《2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第一章 計數(shù)原理 4 簡單計數(shù)問題學(xué)案 北師大版選修2-3》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第一章 計數(shù)原理 4 簡單計數(shù)問題學(xué)案 北師大版選修2-3(7頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
4 簡單計數(shù)問題
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.進(jìn)一步理解和掌握分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理.2.進(jìn)一步深化排列與組合的概念.3.能綜合運(yùn)用排列、組合解決計數(shù)問題.
知識點一 兩個計數(shù)原理
1.分類加法計數(shù)原理(加法原理)
完成一件事,可以有n類辦法,在第一類辦法中有m1種方法,在第二類辦法中有m2種方法,……,在第n類辦法中有mn種方法,那么,完成這件事共有N=__________種方法.
2.分步乘法計數(shù)原理(乘法原理)
完成一件事需要經(jīng)過n個步驟,缺一不可,做第一步有m1種方法,做第二步有m2種方法,……,做第n步有mn種方法,那么,完成這件事共有N=____________
2、種方法.
3.分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理,都涉及完成一件事的不同方法的種數(shù).它們的區(qū)別在于:分類加法計數(shù)原理與分類有關(guān),各種方法相互獨立,用其中的任一種方法都可以完成這件事;分步乘法計數(shù)原理與分步有關(guān),各個步驟相互依存,只有各個步驟都完成了,這件事才算完成.
知識點二 排列
1.排列
從n個________的元素中取出m(m≤n)個元素,按照一定的________排成一列,叫作從n個不同的元素中任意取出m個元素的一個排列.
2.排列數(shù)
排列數(shù)定義及表示
從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有排列的個數(shù),叫作從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù),記作________
3、____
排列數(shù)公式
乘積式
A=____________
階乘式
A=________________________
排列數(shù)的性質(zhì)
A=________;A=________,0!=1
知識點三 組合
1.組合
一般地,從n個不同的元素中,任取m(m≤n)個元素為一組,叫作從n個不同的元素中取出m個元素的一個組合.
2.組合數(shù)
(1)組合數(shù)定義:從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的____________,叫作從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù),用符號________表示.
(2)組合數(shù)公式
組合數(shù)公式
乘積形式
C==______________
4、
階乘形式
C=
備注
n,m∈N+,且m≤n,規(guī)定C=________
特別提醒:1.排列組合綜合題的一般解法
一般堅持先組后排的原則,即先選元素后排列,同時注意按元素性質(zhì)分類或按事件的發(fā)生過程分類.
2.解決有限制條件的排列、組合問題的一般策略
(1)特殊元素優(yōu)先安排的策略.
(2)正難則反,等價轉(zhuǎn)化的策略.
(3)相鄰問題捆綁處理的策略.
(4)不相鄰問題插空處理的策略.
(5)定序問題除法處理的策略.
(6)“小集團(tuán)”排列問題中先整體后局部的策略.
(7)平均分組問題,除法處理的策略.
(8)構(gòu)造模型的策略.
類型一 兩個計數(shù)原理的應(yīng)用
命題角
5、度1 “類中有步”的計數(shù)問題
例1 電視臺在某節(jié)目中拿出兩個信箱,其中存放著先后兩次競猜中成績優(yōu)秀的觀眾來信,甲信箱中有30封,乙信箱中有20封,現(xiàn)由主持人抽獎確定幸運(yùn)觀眾,若先確定一名幸運(yùn)之星,再從兩信箱中各確定一名幸運(yùn)伙伴,有________種不同的結(jié)果.
反思與感悟 用流程圖描述計數(shù)問題,類中有步的情形如圖所示:
具體意義如下:
從A到B算作一件事的完成,完成這件事有兩類辦法,在第1類辦法中有3步,在第2類辦法中有2步,每步的方法數(shù)如圖所示.
所以,完成這件事的方法數(shù)為m1m2m3+m4m5,
“類”與“步”可進(jìn)一步地理解為:
“類”用“+”號連接,“步”用“×”號連接
6、,“類”獨立,“步”連續(xù),“類”標(biāo)志一件事的完成,“步”缺一不可.
跟蹤訓(xùn)練1 現(xiàn)有4種不同顏色,要對如圖所示的四個部分進(jìn)行著色,要求有公共邊界的兩部分不能用同一種顏色,則不同的著色方法共有( )
A.24種 B.30種 C.36種 D.48種
命題角度2 “步中有類”的計數(shù)問題
例2 有4位同學(xué)在同一天的上、下午參加“身高與體重”、“立定跳遠(yuǎn)”、“肺活量”、“握力”、“臺階”五個項目的測試,每位同學(xué)上、下午各測試一個項目,且不重復(fù).若上午不測“握力”項目,下午不測“臺階”項目,其余項目上、下午都各測一人,則不同的安排方式共有________種.(用數(shù)字作答)
反思與感
7、悟 用流程圖描述計數(shù)問題,步中有類的情形如圖所示:
從計數(shù)的角度看,由A到D算作完成一件事,可簡單地記為A→D.
完成A→D這件事,需要經(jīng)歷三步,即A→B,B→C,C→D.其中B→C這步又分為三類,這就是步中有類.
其中mi(i=1,2,3,4,5)表示相應(yīng)步的方法數(shù).
完成A→D這件事的方法數(shù)為m1(m2+m3+m4)m5.
以上給出了處理步中有類問題的一般方法.
跟蹤訓(xùn)練2 如圖所示,使電路接通,開關(guān)不同的開閉方式共有( )
A.11 B.12 C.20 D.21
類型二 排列與組合的綜合應(yīng)用
命題角度1 不同元素的排列、組合問題
例3 有4張分別標(biāo)有數(shù)
8、字1,2,3,4的紅色卡片和4張分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4的藍(lán)色卡片,從這8張卡片中取出4張卡片排成一行.如果取出的4張卡片所標(biāo)的數(shù)字之和等于10,則不同的排法共有多少種?
反思與感悟 (1)解排列、組合綜合問題的一般思路是“先選后排”,也就是先把符合題意的元素都選出來,再對元素或位置進(jìn)行排列.
(2)解排列、組合綜合問題時的注意點
①元素是否有序是區(qū)分排列與組合的基本方法,無序的問題是組合問題,有序的問題是排列問題.
②對于有多個限制條件的復(fù)雜問題,應(yīng)認(rèn)真分析每個限制條件,然后再考慮是分類還是分步,這是處理排列、組合綜合問題的一般方法.
跟蹤訓(xùn)練3 從
9、1,3,5,7,9中任取3個數(shù)字,從0,2,4,6,8中任取2個數(shù)字,一共可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)?
命題角度2 含有相同元素的排列、組合問題
例4 今有2個紅球、3個黃球、4個白球,同色球不加區(qū)分,將這9個球排成一列,有________種不同的方法.
反思與感悟 針對對部分元素相同的n個不同元素進(jìn)行排列的問題,有兩種解決方法:(1)先把這些元素看作全不相同的元素進(jìn)行排列,再設(shè)法消去相同元素的順序.(2)從位置進(jìn)行分析,因為位置全不相同,可以分別給相同的每一類元素找位置.
跟蹤訓(xùn)練4 為減輕學(xué)生經(jīng)濟(jì)負(fù)擔(dān)且又能滿足學(xué)生求知要求,某班級
10、利用班費買了4本相同的數(shù)學(xué)資料書、3本相同的外語資料書、2本相同的物理資料書作為班級圖書供同學(xué)們學(xué)習(xí)使用.現(xiàn)有8人去借閱圖書,每人只能借閱一本,則有多少種借閱方法?
1.李芳有4件不同顏色的襯衣,3件不同花樣的裙子,另有兩套不同樣式的連衣裙.“五一”節(jié)需選擇一套服裝參加歌舞演出,則李芳的不同的選擇方式有( )
A.24種 B.14種
C.10種 D.9種
2.設(shè)4名學(xué)生報名參加同一時間安排的3項課外活動的可能結(jié)果有a種,這4名學(xué)生在運(yùn)動會上共同爭奪100米、跳遠(yuǎn)、鉛球3項比賽的冠軍的可能結(jié)果有b種,則(a,b)為( )
A.(3
11、4,34) B.(43,34)
C.(34,43) D.(A,A)
3.三位數(shù)中,如果十位上的數(shù)字比百位上的數(shù)字和個位上的數(shù)字都小,則稱這個數(shù)為凹數(shù),如524,746等都是凹數(shù),那么,各個數(shù)位上無重復(fù)數(shù)字的三位凹數(shù)有( )
A.72個 B.120個
C.240個 D.360個
4.某電視臺連續(xù)播放5個廣告,其中有3個不同的商業(yè)廣告和2個不同的公益宣傳廣告,要求最后播放的必須是公益宣傳廣告,且2個公益宣傳廣告不能連續(xù)播放,則不同的播放方式有________種.
5.已知xi∈{-1,0,1},i=1,2,3,4,5,6,則滿足x1+x2+x3+x4+x5+x6=2的
12、數(shù)組(x1,x2,x3,x4,x5,x6)的個數(shù)為________.
1.解排列、組合綜合題一般是先選元素、后排元素,或充分利用元素的性質(zhì)進(jìn)行分類、分步,再利用兩個基本計數(shù)原理作最后處理.
2.對于較難直接解決的問題則可用間接法,但應(yīng)做到不重不漏.
3.對于分配問題,解題的關(guān)鍵是要搞清楚事件是否與順序有關(guān),對于平均分組問題更要注意順序,避免計數(shù)的重復(fù)或遺漏.
答案精析
知識梳理
知識點一
1.m1+m2+…+mn
2.m1×m2×…×mn
知識點二
1.不同 順序
2.A n(n-1)(n-2)…(n-m+1) (n,m∈N+,m≤n) n! 1
知識點三
2
13、.(1)所有組合的個數(shù) C
(2) 1
題型探究
例1 28 800
解析 在甲箱或乙箱中抽取幸運(yùn)之星,決定了后邊選幸運(yùn)伙伴是不同的,故要分兩類分別計算:(1)幸運(yùn)之星在甲箱中抽,先確定幸運(yùn)之星,再在兩箱中各確定一名幸運(yùn)伙伴,有30×29×20=17 400(種)結(jié)果;(2)幸運(yùn)之星在乙箱中抽,同理有20×19×30=11 400(種)結(jié)果.因此共有17 400+11 400=28 800(種)不同結(jié)果.
跟蹤訓(xùn)練1 D
例2 264
跟蹤訓(xùn)練2 D
例3 解 分三類:
第一類,當(dāng)取出的4張卡片分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4時,不同的排法有C·C·C·C·A種.
第二類,當(dāng)取出
14、的4張卡片分別標(biāo)有數(shù)字1,1,4,4時,不同的排法有C·C·A種.
第三類,當(dāng)取出的4張卡片分別標(biāo)有數(shù)字2,2,3,3時,不同的排法有C·C·A種.
故滿足題意的所有不同的排法種數(shù)為C·C·C·C·A+2C·C·A=432.
跟蹤訓(xùn)練3 解 (1)五位數(shù)中不含數(shù)字0.
第1步,選出5個數(shù)字,共有CC種選法.
第2步,排成偶數(shù)——先排末位數(shù),有A種排法,再排其他四位數(shù)字,有A種排法.
所以N1=C·C·A·A.
(2)五位數(shù)中含有數(shù)字0.
第1步,選出5個數(shù)字,共有C·C種選法.
第2步,排順序又可分為兩小類:
①末位排0,有A·A種排列方法;
②末位不排0.這時末位數(shù)有C
15、種選法,而因為0不能排在首位,所以首位有A種排法,其余3個數(shù)字則有A種排法.
所以N2=C·C(A·A+A·A).
所以符合條件的偶數(shù)個數(shù)為
N=N1+N2=CCAA+CC(AA+AA)
=4 560.
例4 1 260
跟蹤訓(xùn)練4 解 第一類:剩下的一本書是數(shù)學(xué)資料書,此時相當(dāng)于把8個人分成個數(shù)分別為3,3,2的三堆,這三堆分別借閱數(shù)學(xué)、外語、物理資料書,其借法共有CCC=560(種).
第二類:剩下的一本書是外語資料書,此時相當(dāng)于把8個人分成個數(shù)分別為4,2,2的三堆,這三堆分別借閱數(shù)學(xué)、外語、物理資料書,其借法共有CCC=420(種).
第三類:剩下的一本書是物理資料書,此時相當(dāng)于把8個人分成個數(shù)分別為4,3,1的三堆,這三堆分別借閱數(shù)學(xué)、外語、物理資料書,其借法共有CCC=280(種).
根據(jù)分類加法計數(shù)原理,可得借閱方法共有560+420+280=1 260(種).
當(dāng)堂訓(xùn)練
1.B 2.C 3.C 4.36 5.90
7