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2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第一章 統(tǒng)計(jì) 8 最小二乘估計(jì)學(xué)案 北師大版必修3

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1、 8 最小二乘估計(jì) 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.了解用最小二乘法建立線性回歸方程的思想,會(huì)用給出的公式建立線性回歸方程.2.理解回歸直線與觀測(cè)數(shù)據(jù)的關(guān)系,能用線性回歸方程進(jìn)行估計(jì)和預(yù)測(cè). 知識(shí)點(diǎn)一 最小二乘法 思考 具有線性相關(guān)關(guān)系的散點(diǎn)大致分布在一條直線附近.如何確定這條直線比較合理?       知識(shí)點(diǎn)二 線性回歸方程 思考 數(shù)學(xué)上的“回歸”是什么意思?       梳理 用最小二乘法得到的直線方程稱為_(kāi)_________,a,b是線性回歸方程的系數(shù). 如果用表示,用表示,則可以求得 b= =. a=________. 類(lèi)型一 線性

2、回歸方程的求法 例1 下表為某地近幾年機(jī)動(dòng)車(chē)輛數(shù)與交通事故數(shù)的統(tǒng)計(jì)資料. 機(jī)動(dòng)車(chē)輛數(shù)x/千臺(tái) 95 110 112 120 129 135 150 180 交通事故數(shù)y/千件 6.2 7.5 7.7 8.5 8.7 9.8 10.2 13 (1)請(qǐng)判斷機(jī)動(dòng)車(chē)輛數(shù)與交通事故數(shù)之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系,如果不具有線性相關(guān)關(guān)系,請(qǐng)說(shuō)明理由; (2)如果具有線性相關(guān)關(guān)系,求出線性回歸方程.           反思與感悟 即使散點(diǎn)圖呈餅狀,也可利用公式求出線性回歸方程,但這種方程顯然沒(méi)什么價(jià)值.故應(yīng)先畫(huà)出散點(diǎn)圖,看是否呈直線

3、形,再求方程. 跟蹤訓(xùn)練1 以下是某地搜集到的新房屋的銷(xiāo)售價(jià)格y和房屋的面積x的數(shù)據(jù): 房屋面積x(m2) 115 110 80 135 105 銷(xiāo)售價(jià)格y(萬(wàn)元) 24.8 21.6 18.4 29.2 22 (1)畫(huà)出數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖; (2)求線性回歸方程,并在散點(diǎn)圖中加上回歸直線.       類(lèi)型二 線性回歸方程的應(yīng)用 例2 有一個(gè)同學(xué)家開(kāi)了一個(gè)小賣(mài)部,他為了研究氣溫對(duì)熱飲銷(xiāo)售的影響,經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì),得到一個(gè)賣(mài)出的熱飲杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對(duì)比表: 攝氏溫度/℃ -5 0 4 7 12 15 19 23 27 31

4、 36 熱飲杯數(shù) 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54 (1)畫(huà)出散點(diǎn)圖; (2)從散點(diǎn)圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與熱飲銷(xiāo)售杯數(shù)之間有什么關(guān)系; (3)求線性回歸方程; (4)如果某天的氣溫是2℃,預(yù)測(cè)這天賣(mài)出的熱飲杯數(shù); (5) 氣溫為2℃時(shí),小賣(mài)部一定能夠賣(mài)出143杯左右熱飲嗎?為什么?         反思與感悟 線性回歸方程主要用于預(yù)測(cè),但這種預(yù)測(cè)類(lèi)似于天氣預(yù)報(bào),不一定與實(shí)際數(shù)據(jù)完全吻合. 跟蹤訓(xùn)練2 有人統(tǒng)計(jì)了同一個(gè)省的6個(gè)城市某一年的人均國(guó)民生產(chǎn)總值(即人均GDP)和這一年各城市患白血病的兒

5、童數(shù),如下表: 人均GDP/萬(wàn)元 10 8 6 4 3 1 患白血病的兒童數(shù)/人 351 312 207 175 132 180 (1)畫(huà)出散點(diǎn)圖,并判定這兩個(gè)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系; (2)通過(guò)計(jì)算可知這兩個(gè)變量的線性回歸方程為y=23.25x+102.15,假如一個(gè)城市的人均GDP為12萬(wàn)元,那么可以斷言,這個(gè)城市患白血病的兒童一定超過(guò)380人,請(qǐng)問(wèn)這個(gè)斷言是否正確?       1.下列有關(guān)線性回歸的說(shuō)法,不正確的是(  ) A.自變量取值一定時(shí),因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系 B.在平面直

6、角坐標(biāo)系中用描點(diǎn)的方法得到表示具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的一組數(shù)據(jù)的圖形叫作散點(diǎn)圖 C.線性回歸方程最能代表觀測(cè)值x、y之間的線性關(guān)系 D.任何一組觀測(cè)值都能得到具有代表意義的線性回歸方程 2.已知回歸直線的斜率的估計(jì)值是1.23,樣本點(diǎn)中心(即(,))為(4,5),(  ) A.y=1.23x+4 B.y=1.23x+5 C.y=1.23x+0.08 D.y=0.08x+1.23 3.某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷(xiāo)售額y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表: 廣告費(fèi)用x(萬(wàn)元) 4 2 3 5 銷(xiāo)售額y(萬(wàn)元) 49 26 39 54 根據(jù)上表可得線性回歸方程y=bx+a中的b為9

7、.4,據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為6萬(wàn)元時(shí)銷(xiāo)售額為(  ) A.63.6萬(wàn)元 B.65.5萬(wàn)元 C.67.7萬(wàn)元 D.72.0萬(wàn)元 4.設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位:kg)與身高x(單位:cm)具有線性相關(guān)關(guān)系,根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的線性回歸方程為y=0.85x-85.71,則下列結(jié)論中不正確的是(  ) A.y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系 B.回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心(,) C.若該大學(xué)某女生身高增加1 cm,則其體重約增加0.85 kg D.若該大學(xué)某女生身高為170 cm,則可判定其體重必為58.79 kg 1.求線性回歸方程時(shí)

8、應(yīng)注意的問(wèn)題 (1)知道x與y成線性相關(guān)關(guān)系,無(wú)需進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn),否則應(yīng)首先進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn),如果兩個(gè)變量之間本身不具有相關(guān)關(guān)系,或者說(shuō),它們之間的相關(guān)關(guān)系不顯著,即使求出線性回歸方程也是毫無(wú)意義的,而且用其估計(jì)和預(yù)測(cè)的量也是不可信的. (2)用公式計(jì)算a、b的值時(shí),要先計(jì)算b,然后才能算出a. 2.利用線性回歸方程,我們可以進(jìn)行估計(jì)和預(yù)測(cè).若線性回歸方程為y=bx+a,則x=x0處的估計(jì)值為y0=bx0+a. 答案精析 問(wèn)題導(dǎo)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)一 思考 應(yīng)該使散點(diǎn)整體上最接近這條直線.最小二乘法是一種求回歸直線的方法,用這種方法求得的回歸直線能使樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的距離

9、 [y1-(a+bx1)]2+[y2-(a+bx2)]2+…+[yn-(a+bxn)]2最?。? 知識(shí)點(diǎn)二 思考 “回歸”一詞最早由英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家(Francils Galton)提出的,本意是子女的身高會(huì)向一般人的均值靠攏.現(xiàn)在這個(gè)概念引伸到隨機(jī)變量有向回歸線集中的趨勢(shì). 梳理  線性回歸方程?。璪 題型探究 例1 解 (1)在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖,如圖. 直觀判斷散點(diǎn)在一條直線附近,故具有線性相關(guān)關(guān)系. (2)計(jì)算相應(yīng)的數(shù)據(jù)之和: i=1 031,i=71.6, =137 835,iyi=9 611.7, =128.875,=8.95, 將它們代入公式計(jì)

10、算得b≈0.077 4,a≈-1.024 9, 所以,所求線性回歸方程為y=0.077 4x-1.024 9. 跟蹤訓(xùn)練1 解 (1)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖如圖所示: (2)=i=109,=23.2, =60 975,iyi=12 952. 設(shè)所求線性回歸方程為y=bx+a, 則b=≈0.196 2, a=-b=23.2-109×0.196 2=1.814 2, 故所求線性回歸方程為y=0.196 2x+1.814 2. 回歸直線如(1)中圖所示. 例2 解 (1)散點(diǎn)圖如圖所示: (2)從上圖看到,各點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域里,因此,氣溫與熱飲銷(xiāo)售杯數(shù)之間呈負(fù)相

11、關(guān),即氣溫越高,賣(mài)出去的熱飲杯數(shù)越少. (3)從散點(diǎn)圖可以看出,這些點(diǎn)大致分布在一條直線的附近,因此,可用公式求出線性回歸方程的系數(shù).利用計(jì)算器容易求得線性回歸方程為y=-2.352x+147.767. (4)當(dāng)x=2時(shí),y=143.063.因此,某天的氣溫為2℃時(shí),這天大約可以賣(mài)出143杯熱飲. (5)小賣(mài)部不一定能夠賣(mài)出143杯左右熱飲,原因如下:①線性回歸方程中的截距和斜率都是通過(guò)樣本估計(jì)出來(lái)的,存在誤差,這種誤差可以導(dǎo)致預(yù)測(cè)結(jié)果的偏差.②即使截距和斜率的估計(jì)沒(méi)有誤差,也不可能百分之百地保證對(duì)應(yīng)于x的預(yù)報(bào)值,能夠與實(shí)際值y很接近.我們不能保證點(diǎn)(x,y)落在回歸直線上,甚至不能百分之百地保證它落在回歸直線的附近. 跟蹤訓(xùn)練2 解 (1)散點(diǎn)圖如下: 根據(jù)散點(diǎn)圖可以看出,在6個(gè)點(diǎn)中,雖然第一個(gè)點(diǎn)離這條直線較遠(yuǎn),但其余5個(gè)點(diǎn)大致分布在這條直線的附近,所以這兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系. (2)斷言是錯(cuò)誤的,將x=12代入y=23.25x+102.15得y=23.25×12+102.15=381.15>380,但381.15是對(duì)該城市人均GDP為12萬(wàn)元的情況下所作的一個(gè)估計(jì),該城市患白血病的兒童可能超過(guò)380人,也可能低于380人. 當(dāng)堂訓(xùn)練 1.D 2.C 3.B 4.D 8

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