《2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第三章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù) 3.1.1 實(shí)數(shù)系 3.1.2 復(fù)數(shù)的概念學(xué)案 新人教B版選修2-2》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第三章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù) 3.1.1 實(shí)數(shù)系 3.1.2 復(fù)數(shù)的概念學(xué)案 新人教B版選修2-2(5頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
3.1.1 實(shí)數(shù)系
3.1.2 復(fù)數(shù)的概念
明目標(biāo)、知重點(diǎn) 1.了解引入虛數(shù)單位i的必要性,了解數(shù)集的擴(kuò)充過程.2.理解在數(shù)系的擴(kuò)充中由實(shí)數(shù)集擴(kuò)展到復(fù)數(shù)集出現(xiàn)的一些基本概念.3.掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的表示方法,理解復(fù)數(shù)相等的充要條件.
1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念
(1)復(fù)數(shù)
①定義:設(shè)a,b都是實(shí)數(shù),形如a+bi的數(shù)叫做復(fù)數(shù),i叫做虛數(shù)單位.a(chǎn)叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部,b叫做復(fù)數(shù)的虛部.
②表示方法:復(fù)數(shù)通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R).
(2)復(fù)數(shù)集
①定義:全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合叫做復(fù)數(shù)集.
②表示:通常用大寫字母C表示.
2.復(fù)數(shù)的分類及包含關(guān)系
(1)復(fù)數(shù)(a+bi
2、,a,b∈R)
(2)集合表示:
3.復(fù)數(shù)相等的充要條件
設(shè)a,b,c,d都是實(shí)數(shù),那么a+bi=c+di?a=c且b=d.
[情境導(dǎo)學(xué)]
為解決方程x2=2,數(shù)系從有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù).?dāng)?shù)的概念擴(kuò)充到實(shí)數(shù)集后,人們發(fā)現(xiàn)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)很多問題還不能解決,如從解方程的角度看,x2=-1這個方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)就無解,那么怎樣解決方程x2=-1在實(shí)數(shù)系中無根的問題呢?我們能否將實(shí)數(shù)集進(jìn)行擴(kuò)充,使得在新的數(shù)集中,該問題能得到圓滿解決呢?本節(jié)我們就來研究這個問題.
探究點(diǎn)一 復(fù)數(shù)的概念
思考1 為解決方程x2=2,數(shù)系從有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù);那么怎樣解決方程x2+1=0在實(shí)數(shù)系中無根的問題呢?
3、
答 設(shè)想引入新數(shù)i,使i是方程x2+1=0的根,即i·i=-1,方程x2+1=0有解,同時(shí)得到一些新數(shù).
思考2 如何理解虛數(shù)單位i?
答 (1)i2=-1.
(2)i與實(shí)數(shù)之間可以運(yùn)算,亦適合加、減、乘的運(yùn)算律.
(3)由于i2<0與實(shí)數(shù)集中a2≥0(a∈R)矛盾,所以實(shí)數(shù)集中很多結(jié)論在復(fù)數(shù)集中,不再成立.
(4)若i2=-1,那么i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i.
思考3 什么叫復(fù)數(shù)?怎樣表示一個復(fù)數(shù)?什么叫虛數(shù)?什么叫純虛數(shù)?
答 形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)通常用字母z表示,即z=a+bi,這一表示形式叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式,
4、其中a、b分別叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部.
對于復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R),當(dāng)b≠0時(shí)叫做虛數(shù);當(dāng)a=0且b≠0時(shí),叫做純虛數(shù).
例1 請說出下列復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部,并判斷它們是實(shí)數(shù)、虛數(shù)還是純虛數(shù).
①2+3i;②-3+i;③+i;④π;⑤-i;⑥0.
解?、俚膶?shí)部為2,虛部為3,是虛數(shù);②的實(shí)部為-3,虛部為,是虛數(shù);③的實(shí)部為,虛部為1,是虛數(shù);④的實(shí)部為π,虛部為0,是實(shí)數(shù);⑤的實(shí)部為0,虛部為-,是純虛數(shù);⑥的實(shí)部為0,虛部為0,是實(shí)數(shù).
反思與感悟 復(fù)數(shù)a+bi中,實(shí)數(shù)a和b分別叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部.特別注意,b為復(fù)數(shù)的虛部而不是虛部的系數(shù),b連同它的符號叫做復(fù)數(shù)的虛部.
5、
跟蹤訓(xùn)練1 符合下列條件的復(fù)數(shù)一定存在嗎?若存在,請舉出例子;若不存在,請說明理由.
(1)實(shí)部為-的虛數(shù);
(2)虛部為-的虛數(shù);
(3)虛部為-的純虛數(shù);
(4)實(shí)部為-的純虛數(shù).
解 (1)存在且有無數(shù)個,如-+i等;(2)存在且不唯一,如1-i等;(3)存在且唯一,即-i;(4)不存在,因?yàn)榧兲摂?shù)的實(shí)部為0.
例2 求當(dāng)實(shí)數(shù)m為何值時(shí),z=+(m2+5m+6)i分別是:(1)實(shí)數(shù);(2)虛數(shù);(3)純虛數(shù).
解 由已知得復(fù)數(shù)z的實(shí)部為,虛部為m2+5m+6.
(1)復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)的充要條件是
??m=-2.
∴當(dāng)m=-2時(shí),復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù).
(2)復(fù)數(shù)z是虛數(shù)的充
6、要條件是
?m≠-3且m≠-2.
∴當(dāng)m≠-3且m≠-2時(shí),復(fù)數(shù)z是虛數(shù).
(3)復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)的充要條件是
??m=3.
∴當(dāng)m=3時(shí),復(fù)數(shù)z是純虛數(shù).
反思與感悟 利用復(fù)數(shù)的概念對復(fù)數(shù)分類時(shí),主要依據(jù)實(shí)部、虛部滿足的條件,可列方程或不等式求參數(shù).
跟蹤訓(xùn)練2 實(shí)數(shù)m為何值時(shí),復(fù)數(shù)z=+(m2+2m-3)i是(1)實(shí)數(shù);(2)虛數(shù);(3)純虛數(shù).
解 (1)要使z是實(shí)數(shù),m需滿足m2+2m-3=0,且有意義即m-1≠0,解得m=-3.
(2)要使z是虛數(shù),m需滿足m2+2m-3≠0,且有意義即m-1≠0,解得m≠1且m≠-3.
(3)要使z是純虛數(shù),m需滿足=0,m-1≠
7、0,
且m2+2m-3≠0,解得m=0或m=-2.
探究點(diǎn)二 兩個復(fù)數(shù)相等
思考1 兩個復(fù)數(shù)能否比較大?。?
答 如果兩個復(fù)數(shù)不全是實(shí)數(shù),那么它們不能比較大小.
思考2 兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件是什么?
答 復(fù)數(shù)a+bi與c+di相等的充要條件是a=c且b=d(a,b,c,d∈R).
例3 已知x,y均是實(shí)數(shù),且滿足(2x-1)+i=-y-(3-y)i,求x與y.
解 由復(fù)數(shù)相等的充要條件得
解得
反思與感悟 兩個復(fù)數(shù)相等,首先要分清兩復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部,然后利用兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件可得到兩個方程,從而可以確定兩個獨(dú)立參數(shù).
跟蹤訓(xùn)練3 已知M={1,(m2-2m)+(m2+
8、m-2)i},P={-1,1,4i},若M∪P=P,求實(shí)數(shù)m的值.
解 ∵M(jìn)∪P=P,∴M?P,
∴(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1或
(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i.
由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1,
得解得m=1;
由(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i,
得解得m=2.
綜上可知m=1或m=2.
1.已知復(fù)數(shù)z=a2-(2-b)i的實(shí)部和虛部分別是2和3,則實(shí)數(shù)a,b的值分別是( )
A.,1 B.,5
C.±,5 D.±,1
答案 C
解析 令,得a=±,b=5.
2.下列復(fù)數(shù)中,滿足方程x2+2=0的是( )
9、
A.±1 B.±i
C.±i D.±2i
答案 C
3.如果z=m(m+1)+(m2-1)i為純虛數(shù),則實(shí)數(shù)m的值為( )
A.1 B.0
C.-1 D.-1或1
答案 B
解析 由題意知,
∴m=0.
4.下列幾個命題:
①兩個復(fù)數(shù)相等的一個必要條件是它們的實(shí)部相等;
②兩個復(fù)數(shù)不相等的一個充分條件是它們的虛部不相等;
③1-ai(a∈R)是一個復(fù)數(shù);
④虛數(shù)的平方不小于0;
⑤-1的平方根只有一個,即為-i;
⑥i是方程x4-1=0的一個根;
⑦i是一個無理數(shù).
其中正確命題的個數(shù)為( )
A.3 B.4 C.5 D.6
答案 B
解析 命題①②③⑥正確,④⑤⑦錯誤.
[呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律]
1.對于復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R),可以限制a,b的值得到復(fù)數(shù)z的不同情況;
2.兩個復(fù)數(shù)相等,要先確定兩個復(fù)數(shù)的實(shí)、虛部,再利用兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件進(jìn)行判斷.
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