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2017-2018版高中數學 第二章 空間向量與立體幾何 4 用向量討論垂直與平行(一)學案 北師大版選修2-1

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1、 4 用向量討論垂直與平行(一) 學習目標 1.會用待定系數法求平面的法向量.2.能用向量法證明直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行問題. 知識點一 空間中平行關系的向量表示 設直線l,m的方向向量分別為a,b,平面α,β的法向量分別為μ,v,則 線線平行 l∥m?________?a=kb(k∈R) 線面平行 l∥α?a⊥μ?__________ 面面平行 α∥β?μ∥v?____________ 知識點二 利用空間向量處理平行問題 思考 (1)設v1=(a1,b1,c1),v2=(a2,b2,c2)分別是直線l1,l2的方向向量.若直線l1∥l2,則向量

2、v1,v2應滿足什么關系. (2)若已知平面外一直線的方向向量和平面的法向量,則這兩向量滿足哪些條件可說明直線與平面平行? (3)用向量法處理空間中兩平面平行的關鍵是什么? 梳理 利用空間向量解決平行問題時,第一,建立立體圖形與空間向量的聯系,用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面,把立體幾何問題轉化為向量問題;第二,通過向量的運算,研究平行問題;第三,把向量問題再轉化成相應的立體幾何問題,從而得出結論. 類型一 求直線的方向向量、平面的法向量 例1 如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,E為PD的中點.AB=AP=1,AD=,試

3、建立恰當的空間直角坐標系,求平面ACE的一個法向量. 引申探究 若本例條件不變,試求直線PC的一個方向向量和平面PCD的一個法向量.  反思與感悟 利用待定系數法求平面法向量的步驟 (1)設向量:設平面的法向量為n=(x,y,z). (2)選向量:在平面內選取兩個不共線向量,. (3)列方程組:由列出方程組. (4)解方程組: (5)賦非零值:取其中一個為非零值(常取±1). (6)得結論:得到平面的一個法向量. 跟蹤訓練1 如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形.平面PAB⊥平面ABCD,△PAB是邊長為1的正三角形,ABC

4、D是菱形.∠ABC=60°,E是PC的中點,F是AB的中點,試建立恰當的空間直角坐標系,求平面DEF的法向量. 類型二 利用空間向量證明平行問題 例2 已知正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為2,E、F分別是BB1、DD1的中點,求證: (1)FC1∥平面ADE; (2)平面ADE∥平面B1C1F. 反思與感悟 利用向量證明平行問題,可以先建立空間直角坐標系,求出直線的方向向量和平面的法向量,然后根據向量之間的關系證明平行問題. 跟蹤訓練2 如圖,在四棱錐P—ABCD中,PA⊥平面ABCD,PB與底面所成的角為45°,底面ABCD為直角

5、梯形,∠ABC=∠BAD=90°,PA=BC=AD=1,問在棱PD上是否存在一點E,使CE∥平面PAB?若存在,求出E點的位置;若不存在,請說明理由. 1.若A(-1,0,1),B(1,4,7)在直線l上,則直線l的一個方向向量為(  ) A.(1,2,3) B.(1,3,2) C.(2,1,3) D.(3,2,1) 2.已知直線l1的方向向量為a=(2,-3,5),直線l2的方向向量為b=(-4,x,y),若l1∥l2,則x,y的值分別是(  ) A.6和-10 B.-6和10 C.-6和-10 D.6和10 3.若μ=(2,-

6、3,1)是平面α的一個法向量,則下列向量中能作為平面α的法向量的是(  ) A.(0,-3,1) B.(2,0,1) C.(-2,-3,1) D.(-2,3,-1) 4.若直線l∥α,且l的方向向量為(2,m,1),平面α的法向量為,則m為(  ) A.-4 B.-6 C.-8 D.8 5.在正方體ABCD—A1B1C1D1中,平面ACD1的一個法向量為________. 1.應用向量法證明線面平行問題的方法 (1)證明直線的方向向量與平面的法向量垂直. (2)證明直線的方向向量與平面內的某一直線的方向向量共線. (3)證明直線的方向向量可用平面內的任兩

7、個不共線的向量表示.即用平面向量基本定理證明線面平行. 2.證明面面平行的方法 設平面α的法向量為n1=(a1,b1,c1),平面β的法向量為n2=(a2,b2,c2),則α∥β?n1∥n2?(a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2)(k∈R). 提醒:完成作業(yè) 第二章 §4(一) 答案精析 問題導學 知識點一 a∥b a·μ=0 μ=kv(k∈R) 知識點二 思考 (1)由直線方向向量的定義知,若直線l1∥l2,則直線l1,l2的方向向量共線,即l1∥l2?v1∥v2?v1=λv2(λ∈R). (2) 可探究直線的方向向量與平面的法向量是否垂直,進而確定線面是否平行.

8、 (3)關鍵是找到兩個平面的法向量,利用法向量平行來說明兩平面平行. 題型探究 例1 解 因為PA⊥平面ABCD,底面ABCD為矩形,所以AB,AD,AP兩兩垂直. 如圖,以A為坐標原點,的方向為x軸的正方向, 建立空間直角坐標系,則 D(0,,0),E(0,,),B(1,0,0), C(1,,0), 于是=(0,,),=(1,,0). 設n=(x,y,z)為平面ACE的法向量, 則即 所以 令y=-1,則x=z=. 所以平面ACE的一個法向量為n=(,-1,). 引申探究 解 如圖所示,建立空間直角坐標系,則P(0,0,1),C(1,,0), 所以=(1

9、,,-1), 即為直線PC的一個方向向量. 設平面PCD的法向量為n=(x,y,z). 因為D(0,,0),所以=(0,,-1). 由即 所以令y=1,則z=. 所以平面PCD的一個法向量為n=(0,1,). 跟蹤訓練1 解 因為PA=PB,F為AB的中點,所以PF⊥AB. 又因為平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,PF平面PAB, 所以PF⊥平面ABCD,因為AB=BC,∠ABC=60°, 所以△ABC是等邊三角形,所以CF⊥AB. 以F為坐標原點,建立空間直角坐標系(如圖所示). 由題意得F(0,0,0),P(0,0,), D(-1,,

10、0), C(0,,0),E(0,,). 所以=(0,,),=(-1,,0). 設平面DEF的法向量為m=(x,y,z). 則即 所以令y=2,則x=, z=-2. 所以平面DEF的一個法向量為m=(,2,-2). 例2 證明 (1)建立如圖所示空間直角坐標系,則有D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1), F(0,0,1),B1(2,2,2), 所以=(0,2,1),=(2,0,0),=(0,2,1). 設n1=(x1,y1,z1)是平面ADE的法向量, 則n1⊥,n1⊥, 即 得 令z1=2,則y1=-1,所

11、以n1=(0,-1,2). 因為·n1=-2+2=0,所以⊥n1. 又因為FC1?平面ADE,所以FC1∥平面ADE. (2)因為=(2,0,0),設n2=(x2,y2,z2)是平面B1C1F的一個法向量.由n2⊥,n2⊥, 得 得 令z2=2,得y2=-1, 所以n2=(0,-1,2), 因為n1=n2, 所以平面ADE∥平面B1C1F. 跟蹤訓練2 解 分別以AB,AD,AP為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系, ∴P(0,0,1),C(1,1,0),D(0,2,0). 設E(0,y,z),則=(0,y,z-1), =(0,2,-1). ∵∥, ∴y(-1)-2(z-1)=0. ① ∵=(0,2,0)是平面PAB的法向量, 又=(-1,y-1,z),CE∥平面PAB, ∴⊥,∴(-1,y-1,z)·(0,2,0)=0, ∴y=1,代入①得z=,∴E是PD的中點, ∴存在E點,當點E為PD中點時,CE∥平面PAB. 當堂訓練 1.A 2.A 3.D 4.C 5.(1,1,1)(答案不唯一) 8

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