《2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第三單元 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3.3.3 導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用教學(xué)案 新人教B版選修1-1》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第三單元 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3.3.3 導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用教學(xué)案 新人教B版選修1-1（11頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 3．3.3　導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.能利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題.2.提高綜合運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識解題的能力，培養(yǎng)化歸與轉(zhuǎn)化意識． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知識點(diǎn)　生活中的優(yōu)化問題 1．生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為________． 2．利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的實(shí)質(zhì)是求函數(shù)最值． 3．解決優(yōu)化問題的基本思路 上述解決優(yōu)化問題的過程是一個典型的______________過程． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 類型一　幾何中的最值問題 命題角度1　平面幾何中的最值問題 例1　某市在市內(nèi)主干道北京路一側(cè)修建圓形休閑

2、廣場．如圖，圓形廣場的圓心為O，半徑為100 m，并與北京路一邊所在直線l相切于點(diǎn)M.點(diǎn)A為上半圓弧上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作l的垂線，垂足為點(diǎn)B.市園林局計(jì)劃在△ABM內(nèi)進(jìn)行綠化．設(shè)△ABM的面積為S(單位：m2)，∠AON＝θ(單位：弧度)． (1)將S表示為θ的函數(shù)； (2)當(dāng)綠化面積S最大時，試確定點(diǎn)A的位置，并求最大面積． 　 反思與感悟　平面圖形中的最值問題一般涉及線段、三角形、四邊形等圖形，主要研究與面積相關(guān)的最值問題，一般將面積用變量表示出來后求導(dǎo)數(shù)，求極值，從而求最值． 跟蹤訓(xùn)練1　如圖所示，在二次函數(shù)f(x)＝4x－x2的圖象與x軸所圍成圖形中有一個內(nèi)接矩形AB

3、CD，求這個矩形面積的最大值． 　 命題角度2　立體幾何中的最值問題 例2　請你設(shè)計(jì)一個包裝盒如圖所示，ABCD是邊長為60 cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得ABCD四個點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒，E，F(xiàn)在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點(diǎn)，設(shè)AE＝FB＝x cm. (1)若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S最大，則x應(yīng)取何值？ (2)若廣告商要求包裝盒容積V最大，則x應(yīng)取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值． 　 　 反思與感悟　(1)立體幾何中的最值問題往往涉及空間圖形

4、的表面積、體積，并在此基礎(chǔ)上解決與實(shí)際相關(guān)的問題． (2)解決此類問題必須熟悉簡單幾何體的表面積與體積公式，如果已知圖形是由簡單幾何體組合而成，則要分析其組合關(guān)系，將圖形進(jìn)行拆分或組合，以便簡化求值過程． 跟蹤訓(xùn)練2　周長為20 cm的矩形，繞一條邊旋轉(zhuǎn)成一個圓柱，則圓柱體積的最大值為________ cm3. 類型二　實(shí)際生活中的最值問題 命題角度1　利潤最大問題 例3　某商場銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價格x(單位：元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)＝＋10(x－6)2，其中3

5、克． (1)求a的值； (2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大． 　 　 反思與感悟　解決此類有關(guān)利潤的實(shí)際應(yīng)用題，應(yīng)靈活運(yùn)用題設(shè)條件，建立利潤的函數(shù)關(guān)系，常見的基本等量關(guān)系有： (1)利潤＝收入－成本． (2)利潤＝每件產(chǎn)品的利潤×銷售件數(shù)． 跟蹤訓(xùn)練3　某集團(tuán)為了獲得更大的收益，每年要投入一定的資金用于廣告促銷．經(jīng)調(diào)查，每年投入廣告費(fèi)t(百萬元)，可增加銷售額－t2＋5t(百萬元)(0≤t≤3)． (1)若該公司將當(dāng)年的廣告費(fèi)控制在3百萬元之內(nèi)，則應(yīng)投入多少廣告費(fèi)，才能使該公司由此獲得的收益最大？ (2)現(xiàn)該

6、公司準(zhǔn)備共投入3百萬元，分別用于廣告促銷和技術(shù)改造，經(jīng)預(yù)測，每投入技術(shù)改造費(fèi)x百萬元，可增加的銷售額為－x3＋x2＋3x(百萬元)．請?jiān)O(shè)計(jì)一個資金分配方案，使該公司由此獲得的收益最大．(收益＝銷售額－投入) 　 　 命題角度2　費(fèi)用(用料)最省問題 例4　為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬元．設(shè)f(x)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的

7、能源消耗費(fèi)用之和． (1)求k的值及f(x)的表達(dá)式； (2)隔熱層修建多厚時，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，并求最小值． 反思與感悟　(1)用料最省、成本最低問題是日常生活中常見的問題之一，解決這類問題要明確自變量的意義以及最值問題所研究的對象．正確書寫函數(shù)表達(dá)式，準(zhǔn)確求導(dǎo)，結(jié)合實(shí)際作答． (2)利用導(dǎo)數(shù)的方法解決實(shí)際問題，當(dāng)在定義區(qū)間內(nèi)只有一個點(diǎn)使f′(x)＝0時，如果函數(shù)在這點(diǎn)有極大(小)值，那么不與端點(diǎn)值比較，也可以知道在這個點(diǎn)取得最大(小)值． 跟蹤訓(xùn)練4　現(xiàn)有一批貨物由海上從A地運(yùn)往B地，已知輪船的最大航行速度為35海里/時，A地至B地之間的航行距離約為500海里，每小時的

8、運(yùn)輸成本由燃料費(fèi)和其余費(fèi)用組成，輪船每小時的燃料費(fèi)與輪船速度的平方成正比(比例系數(shù)為0.6)，其余費(fèi)用為每小時960元． (1)把全程運(yùn)輸成本y(元)表示為速度x(海里/時)的函數(shù)； (2)為了使全程運(yùn)輸成本最小，輪船應(yīng)以多大速度行駛？ 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(單位：萬元)與年產(chǎn)量x(單位：萬件)的函數(shù)關(guān)系式為y＝－x3＋81x－234，則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤的年產(chǎn)量為(　　) A．13萬件 B．11萬件 C．9萬件 D．7萬件 2．在某城市的發(fā)展過程中，交通狀況逐漸受到更多的關(guān)注，據(jù)有關(guān)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，從上

9、午6時到9時，車輛通過該市某一路段的用時y(分鐘)與車輛進(jìn)入該路段的時刻t之間的關(guān)系可近似地用函數(shù)表示為y＝－t3－t2＋36t－，則在這段時間內(nèi)，通過該路段用時最多的是(　　) A．6時 B．7時 C．8時 D．9時 3．用長為18 m的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為2∶1，則該長方體的最大體積為(　　) A．2 m3 B．3 m3 C．4 m3 D．5 m3 4．要制作一個容積為4 m3，高為1 m的無蓋長方體容器，已知底面造價是每平方米20元，側(cè)面造價是每平方米10元，則該容器的最低總造價是________元． 5．某商品每件成本9元，售價3

10、0元，每星期賣出432件．如果降低價格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價的降低額x(單位：元，0≤x≤21)的平方成正比．已知當(dāng)商品單價降低2元時，每星期多賣出24件． (1)將一個星期的商品銷售利潤表示成x的函數(shù)； (2)如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大？ 1．利用導(dǎo)數(shù)解決生活中優(yōu)化問題的一般步驟 (1)分析實(shí)際問題中各量之間的關(guān)系，列出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出實(shí)際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系y＝f(x)． (2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)，解方程f′(x)＝0. (3)比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和使f′(x)＝0的點(diǎn)的函數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值．

11、2．正確理解題意，建立數(shù)學(xué)模型，利用導(dǎo)數(shù)求解是解答應(yīng)用問題的主要思路．另外需要特別注意：(1)合理選擇變量，正確寫出函數(shù)解析式，給出函數(shù)定義域；(2)與實(shí)際問題相聯(lián)系；(3)必要時注意分類討論思想的應(yīng)用． 答案精析 知識梳理 知識點(diǎn) 1．優(yōu)化問題 3．?dāng)?shù)學(xué)建模 題型探究 例1　解　(1)BM＝AOsin θ＝100sin θ， AB＝MO＋AOcos θ＝100＋100cos θ，θ∈(0，π)， 則S＝MB·AB＝×100sin θ×(100＋100cos θ) ＝5 000(sin θ＋sin θcos θ)，θ∈(0，π)． (2)S′＝5 000(2cos2θ＋c

12、os θ－1) ＝5 000(2cos θ－1)(cos θ＋1)， 令S′＝0，得cos θ＝或cos θ＝－1(舍去)，此時θ＝， 當(dāng)θ變化時，S′，S的變化情況如下表： θ (0，) (，π) S′ ＋ 0 － S ↗ 極大值 ↘ 所以當(dāng)θ＝時，Smax＝3 750 m2， 此時AB＝150 m， 即點(diǎn)A到北京路一邊l的距離為150 m. 跟蹤訓(xùn)練1　解　設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x,0)，且0

13、y＝(4－2x)(4x－x2) ＝16x－12x2＋2x3， y′＝16－24x＋6x2＝2(3x2－12x＋8)， 令y′＝0，解得x＝2±， ∵00，函數(shù)單調(diào)遞增； 當(dāng)2－

14、)包裝盒容積為V＝2x2·(30－x) ＝－2x3＋60x2(00，得0

15、時，V′(x)>0， 當(dāng)x∈(，10)時，V′(x)<0， ∴當(dāng)x＝時，V(x)max＝π cm3. 例3　解　(1)因?yàn)楫?dāng)x＝5時，y＝11， 所以＋10＝11， 所以a＝2. (2)由(1)可知，該商品每日的銷售量為 y＝＋10(x－6)2， 所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤為 f(x)＝(x－3)[＋10(x－6)2] ＝2＋10(x－3)(x－6)2,3

16、f′(x) ＋ 0 － f(x) ↗ 極大值42 ↘ 由上表可得x＝4是函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,6)內(nèi)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)． 所以當(dāng)x＝4時，函數(shù)f(x)取得最大值，且最大值等于42. 答　當(dāng)銷售價格為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大． 跟蹤訓(xùn)練3　解　(1)設(shè)投入t(百萬元)的廣告費(fèi)后增加的收益為f(t)(百萬元)，則有f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)，∴當(dāng)t＝2時，f(t)取得最大值4，即當(dāng)投入2百萬元的廣告費(fèi)時，該公司由此獲得的收益最大． (2)設(shè)用于技術(shù)改造的資金為x(百萬元)，則用于廣告促銷的資

17、金為(3－x)(百萬元)，又設(shè)由此獲得的收益是g(x)(百萬元)，則g(x)＝(－x3＋x2＋3x)＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3＝－x3＋4x＋3(0≤x≤3)，∴g′(x)＝－x2＋4，令g′(x)＝0，解得x＝－2(舍去)或x＝2.又當(dāng)00；當(dāng)2

18、6x. 所以隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和為 f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)． (2)f′(x)＝6－， 令f′(x)＝0，即＝6， 解得x＝5，x＝－(舍去)． 當(dāng)00， 故x＝5為f(x)的極小值點(diǎn)也為最小值點(diǎn)， 對應(yīng)的最小值為f(5)＝6×5＋＝70. 答　當(dāng)隔熱層修建5 cm厚時，總費(fèi)用達(dá)到最小值為70萬元． 跟蹤訓(xùn)練4　解　(1)依題意得 y＝(960＋0.6x2)＝＋300x，且由題意知，函數(shù)的定義域?yàn)?0,35]， 即y＝＋300x(0

19、． (2)由(1)知，y′＝－＋300， 令y′＝0， 解得x＝40或x＝－40(舍去)． 因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?0,35]， 所以函數(shù)在定義域內(nèi)沒有極值點(diǎn)． 又當(dāng)00，y′＝－x2＋81＝(9－x)·(9＋x)， 令y′＝0，解得x＝9，又當(dāng)x∈(0,9)時， y′>0， x∈(9，＋∞)時，y′<0， ∴當(dāng)x＝9時函數(shù)取最大值，故選C.] 2．C　[因?yàn)閥

20、′＝－t2－t＋36 ＝－(t2＋4t－96) ＝－(t＋12)(t－8)， 當(dāng)t∈(6,8)時，y′>0，當(dāng)t∈(8,9)時， y′<0， 故當(dāng)t＝8時，y取極大值也為最大值．] 3．B　[設(shè)長方體的寬為x(m)， 則長為2x(m)，高為h＝ ＝－3x(m)(00；當(dāng)1

21、x)的最大值， 從而最大體積為V＝V(1)＝9×12－6×13＝3(m3)．] 4．160 解析　設(shè)底面長為x，由題意得底面寬為. 設(shè)總造價為y，則y＝20x×＋10×1×(2x＋2×)， 即y＝20x＋＋80， 則y′＝20－，令y′＝0，得x＝2. ∴當(dāng)x＝2時，ymin＝160(元)． 5．解　(1)設(shè)商品降價x元，則每星期多賣的商品數(shù)為kx2. 若記商品在一個星期的獲利為f(x)，則有 f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2) ＝(21－x)(432＋kx2)． 由已知條件，得24＝k×22，于是有k＝6. 所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0,21]． (2)根據(jù)(1)，f′(x)＝－18x2＋252x－432 ＝－18(x－2)(x－12)． 當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x [0,2) 2 (2,12) 12 (12,21] f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) ↘ 極小值 ↗ 極大值 ↘ 故當(dāng)x＝12時，f(x)取得極大值． 因?yàn)閒(0)＝9 072，f(12)＝11 664. 所以當(dāng)定價為30－12＝18(元)時，才能使一個星期的商品銷售利潤最大． 11