《2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教A版選修4-5》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教A版選修4-5（4頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第三講 柯西不等式與排序不等式 復(fù)　習(xí)　課 [整合·網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建] [警示·易錯提醒] 1．柯西不等式的易錯點(diǎn)． 在應(yīng)用柯西不等式求最值時，易忽視等號成立的條件． 2．排序不等式的易錯點(diǎn)． 不等式具有傳遞性，但并不是任意兩個不等式比較大小都可以用傳遞性來解決的，由a＞m，b＞m，推出a＞b是錯誤的． 專題一　柯西不等式的應(yīng)用 　柯西不等式主要有二維形式的柯西不等式(包括向量形式、三角形式)和一般形式的柯西不等式，不僅可以用來求最值，還可以用來證明不等式． [例?]　已知實(shí)數(shù)x，y，z滿足x2＋2y2＋3z2＝3，求u＝x＋2y＋3z的最小值和最大值． 解：

2、因?yàn)?x＋2y＋3z)2＝(x·1＋y·＋z·)2≤[x2＋(y)2＋(z)2]·[12＋()2＋()2]＝(x2＋2y2＋3z2)(1＋2＋3)＝18. 當(dāng)且僅當(dāng)＝＝，即x＝y(tǒng)＝z時，等號成立． 所以－3≤x＋2y＋3z≤3， 即u的最小值為－3，最大值為3. 歸納升華 柯西不等式可以用來求最值和證明不等式，應(yīng)用柯西不等式的關(guān)鍵在于構(gòu)造兩個適當(dāng)?shù)臄?shù)組，并且要注意等號成立的條件． [變式訓(xùn)練]　設(shè)a，b，x，y都是正數(shù)，且x＋y＝a＋b，求證：＋≥. 證明：因?yàn)閍，b，x，y都大于0，且x＋y＝a＋b， 由柯西不等式，知 　[(a＋x)＋(b＋y)] ≥ ＝(a＋b)2.

3、 又a＋x＋b＋y＝2(a＋b)＞0， 所以＋≥. 專題二　排序不等式的應(yīng)用 1．用排序不等式證明不等式的關(guān)鍵是根據(jù)問題的條件和結(jié)論構(gòu)造恰當(dāng)?shù)男蛄?，如何排好這個序列是難點(diǎn)所在． 2．注意等號成立的條件． [例?]　在△ABC中，試證：≤＜. 證明：不妨設(shè)a≤b≤c，于是A≤B≤C. 由排序不等式，得 aA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC， aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC， aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC. 相加，得3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)(A＋B＋C)＝π(a＋b＋c)，得≥，① 又由0＜b＋c－a，0＜a＋b－c，0＜a＋c－b， 有0＜A(b

4、＋c－a)＋C(a＋b－c)＋B(a＋c－b)＝a(B＋C－A)＋b(A＋C－B)＋c(A＋B－C)＝a(π－2A)＋b(π－2B)＋c(π－2C)＝(a＋b＋c)π－2(aA＋bB＋cC)． 得＜.② 由①②得原不等式成立． 歸納升華 利用排序不等式證明不等式的技巧在于仔細(xì)觀察、分析所要證明的式子的結(jié)構(gòu)，從而正確地構(gòu)造出不等式中所需要的帶有大小順序的兩個數(shù)組． [變式訓(xùn)練]　已知a，b，c∈R，求證a＋b＋c≤. 證明：不妨設(shè)a≥b≥c＞0， 則有a2≥b2≥c2，ab≥ac≥bc. 由排序原理，得a2bc＋ab2c＋abc2≤a3c＋b3a＋c3b. 又a3≥b3≥c3

5、，且a≥b≥c， 由排序原理，得a3c＋ab3＋bc3≤a4＋b4＋c4， 所以a＋b＋c≤. 專題三　轉(zhuǎn)化與化歸思想 轉(zhuǎn)化與化歸思想是指在解決問題時，將問題通過變換使之化繁為簡，化難為易的一種解決問題的思想． [例3]　求使lg(xy)≤lg a·對大于1的任意x與y恒成立的a的取值范圍． 解：因?yàn)椋?，且x＞1，y＞1， 所以原不等式等價于lg a≥. 令f(x，y)＝＝＝ (lg x＞0，lg y＞0)． 因?yàn)閘g2x＋lg2y≥2lg xlg y＞0， 所以0＜≤1， 所以1＜f(x，y)≤，即lg a≥， 所以a≥10. 歸納升華 解決數(shù)學(xué)問題時，常遇到一些直接求解較為困難的問題，通過觀察、分析、類比、聯(lián)想等，選擇運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法進(jìn)行變換，將原問題轉(zhuǎn)化為一個新問題(相對來說自己較熟悉的問題)，通過求解新問題，達(dá)到解決原問題的目的，這一思想方法我們稱為“化歸與轉(zhuǎn)化的思想”．本講常見的化歸與轉(zhuǎn)化的問題是通過換元或恒等變形把命題的表達(dá)形式化為柯西不等式或排序不等式的形式． [變式訓(xùn)練]　已知|x|≤1，|y|≤1，試求x＋y的最大值． 解：由柯西不等式，得x ＋y ≤ ·＝1， 當(dāng)且僅當(dāng)xy＝·，即x2＋y2＝1時，等號成立， 所以x ＋y 的最大值為1. 4