《2017-2018學年高中數(shù)學 第一單元 基本初等函數(shù)（Ⅱ）1.2.1 三角函數(shù)的定義學案 新人教B版必修4》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2017-2018學年高中數(shù)學 第一單元 基本初等函數(shù)（Ⅱ）1.2.1 三角函數(shù)的定義學案 新人教B版必修4（9頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 1.2.1　三角函數(shù)的定義 學習目標　1.理解任意角的三角函數(shù)的定義.2.掌握三角函數(shù)在各個象限的符號.3.掌握正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域. 知識點一　任意角的三角函數(shù) 使銳角α的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，在終邊上任取一點P，作PM⊥x軸于M，設P(x，y)，|OP|＝r. 思考1　角α的正弦、余弦、正切分別等于什么？ 思考2　對確定的銳角α，sin α，cos α，tan α的值是否隨P點在終邊上的位置的改變而改變？ 梳理　如圖，設P(x，y)是α終邊上不同于坐標原點的任意一點，設OP＝r(r≠0).

2、(1)定義 叫做角α的______，記作______，即cos α＝； 叫做角α的________，記作________，即sin α＝； 叫做角α的________，記作________，即tan α＝. 依照上述定義，對于每一個確定的角α，都分別有唯一確定的余弦值、正弦值與之對應；當α≠2kπ±(k∈Z)時，它有唯一的正切值與之對應.因此這三個對應法則都是以α為自變量的函數(shù)，分別叫做角α的余弦函數(shù)、正弦函數(shù)和正切函數(shù). (2)有時我們還用到下面三個函數(shù) 角α的正割：sec α＝________＝； 角α的余割：csc α＝________＝； 角α的余切：cot α＝___

3、_____＝. 這就是說，sec α，csc α，cot α分別是α的余弦、正弦和正切的倒數(shù). 由上述定義可知，當α的終邊在y軸上，即α＝kπ±(k∈Z)時，tan α，sec α沒有意義；當α的終邊在x軸上，即α＝kπ(k∈Z)時，cot α，csc α沒有意義. 知識點二　正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域 思考　對于任意角α，sin α，cos α，tan α都有意義嗎？ 梳理　三角函數(shù)的定義域 三角函數(shù) 定義域 sin α R cos α R tan α 知識點三　正弦、余弦、正切函數(shù)值在各象限的符號 思考　根據(jù)三角函數(shù)的定義，

4、你能判斷正弦、余弦、正切函數(shù)的值在各象限的符號嗎？ 梳理　三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號，如圖所示. 記憶口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦. 類型一　三角函數(shù)定義的應用 命題角度1　已知角α終邊上一點坐標求三角函數(shù)值 例1　已知θ終邊上一點P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝x，求sin θ，tan θ. 反思與感悟　(1)已知角α終邊上任意一點的坐標求三角函數(shù)值的方法： ①先利用直線與單位圓相交，求出交點坐標，然后再利用正、余弦函數(shù)的定義求出相應地三角函數(shù)值. ②在α的終邊上任選一點P(x，y)，設P到原點的距離為r(r>

5、0)，則sin α＝，cos α＝.當已知α的終邊上一點求α的三角函數(shù)值時，用該方法更方便. (2)當角α的終邊上點的坐標以參數(shù)形式給出時，要根據(jù)問題的實際情況對參數(shù)進行分類討論. 跟蹤訓練1　已知角α的終邊過點P(－3a,4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值. 命題角度2　已知角α的終邊所在直線求三角函數(shù)值 例2　已知角α的終邊落在直線x＋y＝0上，求sin α，cos α，tan α，sec α，csc α，cot α的值. 反思與感悟　在解決有關角的終邊在直線上的問題時，應注意到角的終邊為射線，所以應分兩種情況處理

6、，取射線上異于原點的任意一點的坐標(a，b)，則對應角的三角函數(shù)值分別為sin α＝，cos α＝，tan α＝. 跟蹤訓練2　已知角α的終邊在直線y＝x上，求sin α，cos α，tan α的值. 類型二　三角函數(shù)值符號的判斷 例3　(1)確定下列各三角函數(shù)值的符號. ①sin 182°；②cos(－43°)；③tan. (2)若α是第二象限角，則點P(sin α，cos α)在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 反思與感悟　角的三角函數(shù)值的符號由角的終邊所在位置確定，解題的關鍵是準確確定

7、角的終邊所在的象限，同時牢記各三角函數(shù)值在各象限的符號，記憶口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦. 跟蹤訓練3　(1)判斷下列各式的符號. ①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5. (2)已知點P(tan α，cos α)在第三象限，則α是第________象限角. 類型三　三角函數(shù)的定義域 例4　求下列函數(shù)的定義域. (1)y＝； (2)y＝＋. 反思與感悟　求函數(shù)定義域使式子有意義的情況一般有以下幾種：(1)分母不為零.(2)偶次根號下大于等于零.(3)在真數(shù)位置時大于零.(4)在底數(shù)

8、位置時大于零且不等于1. 跟蹤訓練4　求函數(shù)f(x)＝的定義域. 1.已知角α的終邊經(jīng)過點(－4,3)，則cos α等于(　　) A. B. C.－ D.－ 2.已知|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，則的終邊在(　　) A.第二、四象限 B.第一、三象限 C.第一、三象限或x軸上 D.第二、四象限或x軸上 3.若點P(3，y)是角α終邊上的一點，且滿足y<0，cos α＝，則tan α等于(　　) A.－ B. C. D.－ 4.當α為第二象限角時，－的值是(　　) A.1 B.0 C.2 D.－2

9、 5.已知角α的終邊上有一點P(24k,7k)，k≠0，求sin α，cos α，tan α的值. 1.三角函數(shù)值是比值，是一個實數(shù)，這個實數(shù)的大小和點P(x，y)在終邊上的位置無關，只由角α的終邊位置確定.即三角函數(shù)值的大小只與角有關. 2.要善于利用三角函數(shù)的定義及三角函數(shù)的符號規(guī)律解題，并且注意掌握解題時必要的分類討論及三角函數(shù)值符號的正確選取. 3.要牢記一些特殊角的正弦、余弦、正切值. 答案精析 問題導學 知識點一 思考1　sin α＝，cos α＝，tan α＝. 思考2　不會．因為三角函數(shù)值是比值，其大小與點P(x，y)在終邊上的位

10、置無關，只與角α的終邊位置有關，即三角函數(shù)值的大小只與角有關． 梳理　(1)余弦　cos α　正弦　sin α　正切　tan α　(2)　　 知識點二 思考　由三角函數(shù)的定義可知，對于任意角α，sin α，cos α都有意義，而當角α的終邊在y軸上時，任取一點P，其橫坐標x都為0，此時無意義，故tan α無意義． 知識點三　 思考　三角函數(shù)的定義告訴我們，三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號，取決于x，y的符號． (1)sin α＝(r>0)，因此sin α的符號與y的符號相同，當α的終邊在第一、二象限時，sin α>0；當α的終邊在第三、四象限時，sin α<0. (2)cos α＝(r>

11、0)，因此cos α的符號與x的符號相同，當α的終邊在第一、四象限時，cos α>0；當α的終邊在第二、三象限時，cos α<0. (3)tan α＝，因此tan α的符號由x、y確定，當α終邊在第一、三象限時，xy>0，tan α>0；當α終邊在第二、四象限時， xy<0，tan α<0. 題型探究 例1　解　由題意知r＝|OP|＝， 由三角函數(shù)定義得 cos θ＝＝ . 又∵cos θ＝x，∴＝x. ∵x≠0，∴x＝±1. 當x＝1時，P(1,3)， 此時sin θ＝＝， tan θ＝＝3.當x＝－1時，P(－1,3)， 此時sin θ＝＝， tan θ＝＝－3.

12、 跟蹤訓練1　2sin α＋cos α＝±1. 例2　解　設角α的終邊上任一點為P(k，－k)(k≠0)，則x＝k，y＝－k， r＝＝2|k|. (1)當k＞0時，r＝2k，α是第四象限角， sin α＝＝＝－， cos α＝＝＝， tan α＝＝＝－， sec α＝＝2， csc α＝＝－， cot α＝＝－. (2)當k＜0時，r＝－2k，α是第二象限角， sin α＝＝＝， cos α＝＝＝－， tan α＝＝＝－， sec α＝＝－2， csc α＝＝， cot α＝＝－. 跟蹤訓練2　解　因為角α的終邊在直線y＝x上，所以可設P(a，a)(a≠0

13、)為角α終邊上任意一點， 則r＝＝2|a|(a≠0)． 若a>0，則α為第一象限角，r＝2a， 所以sin α＝＝， cos α＝＝，tan α＝＝. 若a<0，則α為第三象限角，r＝－2a， 所以sin α＝＝－， cos α＝－＝－，tan α＝＝. 例3　(1)解?、佟?82°是第三象限角， ∴sin 182°是負的，符號是“－”． ②∵－43°是第四象限角， ∴cos(－43°)是正的，符號是“＋”． ③∵是第四象限角， ∴tan是負的，符號是“－”． (2)D 跟蹤訓練3　(1)①sin 145°cos(－210°)＜0.　②sin 3·cos 4·tan 5＞0. (2)二 學案導學與隨堂筆記答案精析例4　(1) (2) 跟蹤訓練4　 當堂訓練 1．D　2.D　3.D　4.C 5．sin α＝＝－，cos α＝＝－， tan α＝＝. 9