《2017-2018版高中數(shù)學 第一章 常用邏輯用語疑難規(guī)律方法學案 北師大版選修1-1》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2017-2018版高中數(shù)學 第一章 常用邏輯用語疑難規(guī)律方法學案 北師大版選修1-1（8頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第一章 常用邏輯用語 1　解邏輯用語問題的三絕招 1．化為集合——理清關系 充分(必要)條件是高中學段的一個重要概念，并且是理解上的一個難點．要解決這個難點，將抽象的概念用直觀、形象的圖形表示出來，看得見、想得通，才是最好的方法．本節(jié)使用集合模型對充要條件的外延與內涵作了直觀形象的解釋，實踐證明效果較好．集合模型解釋如下： ①A是B的充分條件，即A?B.(如圖1) ②A是B的必要條件，即B?A.(如圖2) ③A是B的充要條件，即A＝B.(如圖3) 　　 圖1　　　　 　　圖2　　　　　　圖3 ④A是B的既不充分又不必要條件，即A∩B＝?或A、B既有公共元素也有非

2、公共元素． 或 例1　“x2－3x＋2≥0”是“x≥1”的________________條件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”) 解析　設命題p：“x2－3x＋2≥0”，q：“x≥1”對應的集合分別為A、B，則A＝{x|x≤1或x≥2}，B＝{x|x≥1}，顯然“A?B，B?A”，因此“x2－3x＋2≥0”是“x≥1”的既不充分又不必要條件． 答案　既不充分又不必要 2．抓住量詞——對癥下藥 全稱命題與特稱命題是兩類特殊的命題，這兩類命題的否定又是這部分內容中的重要概念，解決有關此類命題的題目時一定要抓住決定命題性質的量詞，理解其相應的含義，從而

3、對癥下藥． 例2　(1)已知命題p：“任意x∈[1,2]，x2－a≥0”，與命題q：“存在x∈R，x2＋2ax＋2＋a＝0”都是真命題，則實數(shù)a的取值范圍為______________． (2)已知命題p：“存在x∈[1,2]，x2－a≥0”與命題q：“存在x∈R，x2＋2ax＋2＋a＝0”都是真命題，則實數(shù)a的取值范圍為____________． 解析　(1)將命題p轉化為“當x∈[1,2]時， (x2－a)min≥0”，即1－a≥0，即a≤1. 命題q：即方程有解，Δ＝(2a)2－4×(2＋a)≥0， 解得a≤－1或a≥2.綜上所述，a≤－1. (2)將命題p轉化為當x∈[1

4、,2]時，(x2－a)max≥0， 即4－a≥0，即a≤4.命題q同(1)． 綜上所述a≤－1或2≤a≤4. 答案　(1)(－∞，－1]　(2)(－∞，－1]∪[2,4] 點評　認真比較兩題就會發(fā)現(xiàn)，兩題形似而神異，所謂失之毫厘，謬之千里，需要我們抓住這類問題的本質——量詞，有的放矢． 3．等價轉化——提高速度 在四種命題的關系、充要條件、簡單的邏輯聯(lián)結詞、全稱量詞與存在量詞中，時時刻刻滲透著等價轉化思想，例如互為逆否命題的兩個命題(原命題與逆否命題或逆命題與否命題)一定同真或同假，它們就是等價的；但原命題與逆命題不等價，即原命題為真，其逆命題不一定為真． 例3　設p：q：x2＋

5、y2≤r2 (r>0)，若q是綈p的充分不必要條件，求r的取值范圍． 分析　“q是綈p的充分不必要條件”等價于“p是綈q的充分不必要條件”．設p、q對應的集合分別為A、B，則可由A?RB出發(fā)解題． 解　設p、q對應的集合分別為A、B，將本題背景放到直角坐標系中，則點集A表示平面區(qū)域，點集?RB表示到原點距離大于r的點的集合，即圓x2＋y2＝r2外的點的集合． ∵A?RB表示區(qū)域A內的點到原點的最近距離大于r， ∴直線3x＋4y－12＝0上的點到原點的最近距離大于r， ∵原點O到直線3x＋4y－12＝0的距離 d＝＝，∴r的取值范圍為0

6、分不必要條件即為x2＋y2≤r2 (r>0)在p：所對應的區(qū)域的外部，也是可以解決的．但以上解法將“q是綈p的充分不必要條件”等價轉化為“p是綈q的充分不必要條件”，更好地體現(xiàn)了相應的數(shù)學思想方法． 2　命題的否定與否命題辨與析 否命題與命題的否定是邏輯關系中的兩個相似知識點，但又有著本質的區(qū)別，應注意弄清它們的區(qū)別和正確表述，下面從以下兩個方面來看一下它們的區(qū)別． 1．否命題與命題的否定的概念 設命題“若A，則B”為原命題，那么“若綈A，則綈B”為原命題的否命題，“若A，則綈B”為原命題的否定．所以從概念上看“否命題”是對原命題的條件和結論同時否定后得到的新命題，而且否定的條

7、件仍為條件，否定的結論仍為結論．“命題的否定”是對原命題結論的全盤否定，即“命題的否定”與原命題的條件相同，結論相反． 例1　寫出下列命題的否命題及否定： (1)若|x|＋|y|＝0，則x，y全為0； (2)函數(shù)y＝x＋b的值隨x的增加而增加． 分析　問題(1)直接依據(jù)格式寫出相應的命題；問題(2)先改寫成“若A，則B”的形式，然后再寫出相應的命題． 解　(1)原命題的條件為“|x|＋|y|＝0”，結論為“x，y全為0”． 寫原命題的否命題需同時否定條件和結論，所以原命題的否命題為“若|x|＋|y|≠0，則x，y不全為0”． 寫原命題的否定只需否定結論，所以原命題的否定為“若|x

8、|＋|y|＝0，則x，y不全為0”． (2)原命題可以改寫為“若x增加，則函數(shù)y＝x＋b的值也隨之增加”． 否命題為“若x不增加，則函數(shù)y＝x＋b的值也不增加”； 命題的否定為“若x增加，則函數(shù)y＝x＋b的值不增加”． 2．否命題與命題的否定的真假 從命題的真假上看，原命題與其否命題的真假沒有必然的關系，原命題為真，其否命題可能為真，也可能為假；原命題為假，其否命題可能為真，也可能為假．但是原命題與其否定的真假必相反，原命題為真，則其否定為假；原命題為假，則其否定為真．這也可以作為檢驗寫出的命題是否正確的標準． 例2　寫出下列命題的否命題與命題的否定，并判斷原命題、否命題和命題的否

9、定的真假： (1)若x2<4，則－20且n>0，則m＋n>0. 分析　依據(jù)定義分別寫出否命題與命題的否定．根據(jù)不等式及方程的性質逐個判斷其真假． 解　(1)否命題：“若x2≥4，則x≥2或x≤－2”． 命題的否定：“若x2<4，則x≥2或x≤－2”． 通過解不等式可以知道，原命題為真，否命題為真，命題的否定為假． (2)否命題：“若m≤0或n≤0，則m＋n≤0”． 命題的否定：“若m>0且n>0，則m＋n≤0”． 由不等式的性質可以知道，原命題為真，否命題為假，命題的否定為假. 3　走出邏輯用語中的誤區(qū) 誤區(qū)1　所有不等式、集合運算式都不是

10、命題 例1　判斷下列語句是不是命題，若是命題，判斷其真假． (1)x＋2>0；(2)x2＋2>0； (3)A∩B＝A∪B；(4)A?A∪B. 錯解　(1)、(2)、(3)、(4)都不是命題． 剖析　(1)中含有未知數(shù)x，且x不定，所以x＋2的值也不定，故無法判斷x＋2>0是否成立，不能判斷其真假，故(1)不是命題； (2)x雖為未知數(shù)，但x2≥0，所以x2＋2≥2，故可判斷x2＋2>0成立，故(2)為真命題． (3)若A＝B，則A∩B＝A∪B＝A＝B； 若AB，則A∩B＝AA∪B＝B. 由于A，B的關系未知，所以不能判斷其真假，故(3)不是命題． (4)A為A∪B的子集

11、，故A?A∪B成立，故(4)為真命題． 正解　(2)、(4)是命題，且都為真命題． 誤區(qū)2　原命題為真，其否命題必為假 例2　判斷下列命題的否命題的真假： (1)若a＝0，則ab＝0； (2)若a2>b2，則a>b. 錯解　(1)因為原命題為真命題，故其否命題是假命題； (2)因為原命題為假命題，故其否命題為真命題． 剖析　否命題的真假與原命題的真假沒有關系，否命題的真假不能根據(jù)原命題的真假來判斷，應先寫出命題的否命題，再判斷． 正解　(1)否命題為：若a≠0，則ab≠0，是假命題； (2)否命題為：若a2≤b2，則a≤b，是假命題． 誤區(qū)3　搞不清誰是誰的條件 例3　

12、使不等式x－3>0成立的一個充分不必要條件是(　　) A．x>3 B．x>4 C．x>2 D．x∈{1,2,3} 錯解　由不等式x－3>0成立， 得x>3，顯然x>3?x>2， 又x>2D?/x>3，因此選C. 剖析　若p的一個充分不必要條件是q，則q?p，pD?/q.本題要求使不等式x－3>0成立的一個充分不必要條件，又x>4?x－3>0，而x－3>0D?/x>4，所以使不等式x－3>0成立的一個充分不必要條件為x>4. 正解　B 誤區(qū)4　用“且”“或”聯(lián)結命題時只聯(lián)結條件或結論 例4　(1)已知p：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11；q：方程(x－11)

13、(x－2)＝0的根是x＝2，試寫出“p或q”． (2)p：四條邊相等的四邊形是正方形；q：四個角相等的四邊形是正方形，試寫出“p且q”． 錯解　(1)p或q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11或x＝2. (2)p且q：四條邊相等且四個角相等的四邊形是正方形． 剖析　(1)(2)兩題中p，q都是假命題，所以“p或q”，“p且q”也都應是假命題．而上述解答中寫出的兩命題卻都是真命題．錯誤原因是：(1)只聯(lián)結了兩個命題的結論；(2)只聯(lián)結了兩個命題的條件． 正解　(1)p或q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11或方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝2. (2)p且

14、q：四條邊相等的四邊形是正方形且四個角相等的四邊形是正方形． 誤區(qū)5　不能正確否定結論 例5　p：方程x2－5x＋6＝0有兩個相等的實數(shù)根，試寫出“綈p”． 錯解　綈p：方程x2－5x＋6＝0有兩個不相等的實數(shù)根． 剖析　命題p的結論為“有兩個相等的實數(shù)根”，所以“綈p”應否定“有”，而不能否定“相等”． 正解　綈p：方程x2－5x＋6＝0沒有兩個相等的實數(shù)根． 誤區(qū)6　對含有一個量詞的命題否定不完全 例6　已知命題p：存在一個實數(shù)x，使得x2－x－2<0，寫出綈p. 錯解一　綈p：存在一個實數(shù)x，使得x2－x－2≥0. 錯解二　綈p：對任意的實數(shù)x，都有x2－x－2<0.

15、 剖析　該命題是特稱命題，其否定是全稱命題，但錯解一中得到的綈p仍是特稱命題，顯然只對結論進行了否定，而沒有對存在量詞進行否定；錯解二中只對存在量詞進行了否定，而沒有對結論進行否定． 正解　綈p：對任意的實數(shù)x，都有x2－x－2≥0. 誤區(qū)7　忽略了隱含的量詞 例7　寫出下列命題的否定： (1)不相交的兩條直線是平行直線； (2)奇函數(shù)的圖像關于y軸對稱． 錯解　(1)不相交的兩條直線不是平行直線； (2)奇函數(shù)的圖像不關于y軸對稱． 剖析　以上錯誤解答在于沒有看出這兩個命題都是全稱命題．對于一些量詞不明顯或不含有量詞，但其實質只是在文字敘述上省略了某些量詞的命題，要特別引起注

16、意． 正解　(1)存在不相交的兩條直線不是平行直線； (2)存在一個奇函數(shù)的圖像不關于y軸對稱． 4　解“邏輯”問題需強化三意識 1．轉化意識 由于互為逆否的兩個命題同真假，因此，當原命題的真假不易判斷或證明原命題較困難時，可以轉化為逆否命題的真假來判斷或證明． 例1　證明：若a2－b2＋2a－4b－3≠0，則a－b≠1. 證明　命題“若a2－b2＋2a－4b－3≠0， 則a－b≠1”的逆否命題是“若a－b＝1， 則a2－b2＋2a－4b－3＝0”． 由a－b＝1得a2－b2＋2a－4b－3＝(a＋b)(a－b)＋2(a－b)－2b－3＝a－b－1＝0. ∵原命題

17、的逆否命題是真命題， ∴原命題也是真命題． 故若a2－b2＋2a－4b－3≠0，則a－b≠1. 例2　已知p：x2－8x－20>0，q：x2－2x＋1－a2>0，若p是q的充分不必要條件，求正實數(shù)a的取值范圍． 分析　將充分、必要條件轉化為集合之間的關系，進而轉化為集合運算問題． 解　解不等式x2－8x－20>0， 得p：A＝{x|x>10或x<－2}； 解不等式x2－2x＋1－a2>0， 得q：B＝{x|x>1＋a或x<1－a，a>0}． 依題意p?q，但qD?/p，說明AB. 于是有或，解得0

18、題真假的關鍵：一是識別命題的構成形式；二是分別將各命題簡化，對等價的簡化命題進行判斷． 例3　已知命題p：函數(shù)y＝log0.5(x2＋2x＋a)的值域為R，命題q：函數(shù)y＝－(5－2a)x是R上的減函數(shù)．若p或q為真命題，p且q為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析　函數(shù)y＝log0.5(x2＋2x＋a)的值域為R，即y＝x2＋2x＋a的值域是(0，＋∞)，即在方程x2＋2x＋a＝0中， Δ＝4－4a≥0?a≤1，即p真?a≤1； 函數(shù)y＝－(5－2a)x是減函數(shù)?5－2a>1?a<2， 即q真?a<2. 由p或q為真命題，p且q為假命題， 知命題p，q中必有一真

19、一假．若p真q假，則無解； 若p假q真，則1