《2017-2018版高中數(shù)學 第一單元 常用邏輯用語疑難規(guī)律方法教學案 新人教B版選修1-1》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《2017-2018版高中數(shù)學 第一單元 常用邏輯用語疑難規(guī)律方法教學案 新人教B版選修1-1(8頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
第一單元 常用邏輯用語
1 解邏輯用語問題三絕招
1.利用集合——理清關系
充分(必要)條件是高中學段的一個重要概念,并且是理解上的一個難點.要解決這個難點,將抽象的概念用直觀、形象的圖形表示出來,看得見、想得通,才是最好的方法.本文使用集合模型對充要條件的外延與內(nèi)涵作了直觀形象的解釋,實踐證明效果較好.集合模型解釋如下:
①A是B的充分條件,即A?B.
②A是B的必要條件,即B?A.
③A是B的充要條件,即A=B.
④A是B的既不充分也不必要條件,
即A∩B=?或A、B既有公共元素也有非公共元素.
或
例1 “x2-3x+2≥0”是“x≥1”的__
2、______________條件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
解析 設命題p:“x2-3x+2≥0”,q:“x≥1”對應的集合分別為A、B,則A={x|x≤1或x≥2},B={x|x≥1},顯然“A?B,B?A”,因此“x2-3x+2≥0”是“x≥1”的既不充分也不必要條件.
答案 既不充分也不必要
2.抓住量詞——對癥下藥
全稱命題與存在性命題是兩類特殊的命題,這兩類命題的否定又是這部分內(nèi)容中的重要概念,解決有關此類命題的題目時一定要抓住決定命題性質(zhì)的量詞,理解其相應的含義,從而對癥下藥.
例2 (1)已知命題p:“任意x∈[1,2],x2-a
3、≥0”,與命題q:“存在x∈R,x2+2ax+2+a=0”都是真命題,則實數(shù)a的取值范圍為______________.
(2)已知命題p:“存在x∈[1,2],x2-a≥0”與命題q:“存在x∈R,x2+2ax+2+a=0”都是真命題,則實數(shù)a的取值范圍為____________.
解析 (1)將命題p轉(zhuǎn)化為“當x∈[1,2]時,
(x2-a)min≥0”,即1-a≥0,即a≤1.
命題q:即方程有解,Δ=(2a)2-4×(2+a)≥0,
解得a≤-1或a≥2.綜上所述,a≤-1.
(2)命題p轉(zhuǎn)化為當x∈[1,2]時,(x2-a)max≥0,
即4-a≥0,即a≤4.命題q同
4、(1).
綜上所述,a≤-1或2≤a≤4.
答案 (1)(-∞,-1] (2)(-∞,-1]∪[2,4]
點評 認真比較兩題就會發(fā)現(xiàn),兩題形似而神異,所謂失之毫厘,謬之千里,需要我們抓住這類問題的本質(zhì)——量詞,有的放矢.
3.等價轉(zhuǎn)化——提高速度
在四種命題的關系、充要條件、簡單的邏輯聯(lián)結詞、全稱量詞與存在量詞中,時時刻刻滲透著等價轉(zhuǎn)化思想,例如互為逆否命題的兩個命題(原命題與逆否命題或逆命題與否命題)一定同真或同假,它們就是等價的;但原命題與逆命題不等價,即原命題為真,其逆命題不一定為真.
例3 設p:q:x2+y2≤r2 (r>0),若q是綈p的充分不必要條件,求r的取值范圍.
5、
分析 “q是綈p的充分不必要條件”等價于“p是綈q的充分不必要條件”.設p、q對應的集合分別為A、B,則可由A??RB出發(fā)解題.
解 設p、q對應的集合分別為A、B,將本題背景放到直角坐標系中,則點集A表示平面區(qū)域,點集?RB表示到原點距離大于r的點的集合,即圓x2+y2=r2外的點的集合.
∵A??RB表示區(qū)域A內(nèi)的點到原點的最近距離大于r,
∴直線3x+4y-12=0上的點到原點的最近距離大于等于r,
∵原點O到直線3x+4y-12=0的距離
d==,∴r的取值范圍為00)在p:所對應的區(qū)域的
6、外部,也是可以解決的.但以上解法將“q是綈p的充分不必要條件”等價轉(zhuǎn)化為“p是綈q的充分不必要條件”,更好地體現(xiàn)了相應的數(shù)學思想方法.
2 判斷條件四策略
1.應用定義
如果p?q,那么稱p是q的充分條件,同時稱q是p的必要條件.判斷的關鍵是分清條件與結論.
例1 設集合M={x|x>2},P={x|x<3},那么“x∈M或x∈P”是“x∈P∩M”的____________條件.
解析 條件p:x∈M或x∈P;結論q:x∈P∩M.
若x∈M,則x不一定屬于P,即x不一定屬于P∩M,所以pD/?q;
若x∈P∩M,則x∈M且x∈P,所以q?p.
綜上知,“x∈M或x∈P”
7、是“x∈P∩M”的必要不充分條件.
答案 必要不充分
2.利用傳遞性
充分、必要條件在推導的過程當中具有傳遞性,即若p?q,q?r,則p?r.
例2 如果A是B的必要不充分條件,B是C的充要條件,D是C的充分不必要條件,那么A是D的____________條件.
解析 依題意,有A?B?C?D且AD?/B?CD?/D,由命題的傳遞性可知D?A,但AD?/D.于是A是D的必要不充分條件.
答案 必要不充分
3.利用集合
運用集合思想來判斷充分條件和必要條件是一種行之有效的方法.若p以非空集合A的形式出現(xiàn),q以非空集合B的形式出現(xiàn),則①若A?B,則p是q的充分條件;②若B?A,則p
8、是q的必要條件;③若AB,則p是q的充分不必要條件;④若BA,則p是q的必要不充分條件;⑤若A=B,則p是q的充要條件.
例3 已知p:x2-8x-20≤0,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),若p是q的充分不必要條件,則m的取值范圍是________.
解析 設p、q分別對應集合P、Q,
則P={x|-2≤x≤10},Q={x|1-m≤x≤1+m},
由題意知,p?q,但qD?/p.故PQ,
所以或解得m≥9.
即m的取值范圍是[9,+∞).
答案 [9,+∞)
4.等價轉(zhuǎn)化
由于互為逆否命題的兩個命題同真同假,所以當由p推q較困難時,可利用等價轉(zhuǎn)化,先判斷由非q
9、推非p,從而得到p?q.
例4 已知p:x+y≠2,q:x,y不都是1,則p是q的____________條件.
解析 因為p:x+y≠2,q:x≠1或y≠1,
所以綈p:x+y=2,綈q:x=1且y=1.
因為綈pD?/綈q,但綈q?綈p,
所以綈q是綈p的充分不必要條件,
即p是q的充分不必要條件.
答案 充分不必要
3 走出邏輯用語中的誤區(qū)
誤區(qū)1 所有不等式、集合運算式都不是命題
例1 判斷下列語句是不是命題,若是命題,判斷其真假.
(1)x+2>0;
(2)x2+2>0;
(3)A∩B=A∪B;
(4)A?A∪B.
錯解 (1)、(2)、
10、(3)、(4)都不是命題.
剖析 (1)中含有未知數(shù)x,且x不定,所以x+2的值也不定,故無法判斷x+2>0是否成立,不能判斷其真假,故(1)不是命題;
(2)x雖為未知數(shù),但x2≥0,所以x2+2≥2,故可判斷x2+2>0成立,故(2)為真命題.
(3)若A=B,則A∩B=A∪B=A=B;
若AB,則A∩B=AA∪B=B.
由于A,B的關系未知,所以不能判斷其真假,故(3)不是命題.
(4)A為A∪B的子集,故A?A∪B成立,故(4)為真命題.
正解 (2)、(4)是命題,且都為真命題.
誤區(qū)2 原命題為真,其否命題必為假
例2 判斷下列命題的否命題的真假:
(1)若
11、a=0,則ab=0;
(2)若a2>b2,則a>b.
錯解 (1)因為原命題為真命題,故其否命題是假命題;
(2)因為原命題為假命題,故其否命題為真命題.
剖析 否命題的真假與原命題的真假沒有關系,否命題的真假不能根據(jù)原命題的真假來判斷,應先寫出命題的否命題,再判斷.
正解 (1)否命題:若a≠0,則ab≠0,是假命題;
(2)否命題:若a2≤b2,則a≤b,是假命題.
誤區(qū)3 搞不清誰是誰的條件
例3 使不等式x-3>0成立的一個充分不必要條件是( )
A.x>3 B.x>4
C.x>2 D.x∈{1,2,3}
錯解 由不等
12、式x-3>0成立,
得x>3,顯然x>3?x>2,
又x>2D?/x>3,因此選C.
剖析 若p的一個充分不必要條件是q,則q?p,pD?/q.本題要求使不等式x-3>0成立的一個充分不必要條件,又x>4?x-3>0,而x-3>0D?/x>4,所以使不等式x-3>0成立的一個充分不必要條件為x>4.
正解 B
誤區(qū)4 考慮問題不周
例4 如果a,b,c∈R,那么“b2>4ac”是“方程ax2+bx+c=0有兩個不等實根”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
錯解 判別式Δ=b2-4ac>0,即方程ax2+bx+c=
13、0有兩個不等實根;若方程ax2+bx+c=0有兩個不等實根,則判別式Δ=b2-4ac>0,即b2>4ac.綜上可知“b2>4ac”是“方程ax2+bx+c=0有兩個不等實根”的充要條件,故選C.
剖析 判別式Δ=b2-4ac只適用于一元二次方程的實數(shù)根存在情況的判斷.對于方程ax2+bx+c=0,當a=0時,原方程為一次方程bx+c=0(b≠0),一次方程不存在判別式,所以當b2>4ac時不能推出方程ax2+bx+c=0有兩個不等實根;若方程ax2+bx+c=0有兩個不等實根,則它的判別式Δ=b2-4ac>0,即b2>4ac.由上可知,“b2>4ac”是“方程ax2+bx+c=0有兩個不等實
14、根”的必要不充分條件.
正解 B
誤區(qū)5 用“且”“或”聯(lián)結命題時只聯(lián)結條件或結論
例5 (1)已知p:方程(x-11)(x-2)=0的根是x=11;q:方程(x-11)(x-2)=0的根是x=2,試寫出“p∨q”;
(2)p:四條邊相等的四邊形是正方形;q:四個角相等的四邊形是正方形,試寫出“p∧q”.
錯解 (1)p∨q:方程(x-11)(x-2)=0的根是x=11或x=2.
(2)p∧q:四條邊相等且四個角相等的四邊形是正方形.
剖析 (1)(2)兩題中p,q都是假命題,所以“p∨q”,“p∧q”也都應是假命題.而上述解答中寫出的兩命題卻都是真命題.錯誤原因:(1)只聯(lián)
15、結了兩個命題的結論;(2)只聯(lián)結了兩個命題的條件.
正解 (1)p∨q:方程(x-11)(x-2)=0的根是x=11或方程(x-11)(x-2)=0的根是x=2.
(2)p∧q:四條邊相等的四邊形是正方形且四個角相等的四邊形是正方形.
誤區(qū)6 不能正確否定結論
例6 p:方程x2-5x+6=0有兩個相等的實數(shù)根,試寫出“綈p”.
錯解 綈p:方程x2-5x+6=0有兩個不相等的實數(shù)根.
剖析 命題p的結論:“有兩個相等的實數(shù)根”,所以“綈p”應否定“有”,而不能否定“相等”.
正解 綈p:方程x2-5x+6=0沒有兩個相等的實數(shù)根.
誤區(qū)7 對含有一個量詞的命題否定不完全
例
16、7 已知命題p:存在一個實數(shù)x0,使得x-x0-2<0,寫出綈p.
錯解一 綈p:存在一個實數(shù)x0,使得x-x0-2≥0.
錯解二 綈p:對任意的實數(shù)x,都有x2-x-2<0.
剖析 該命題是存在性命題,其否定是全稱命題,但錯解一中得到的綈p仍是存在性命題,顯然只對結論進行了否定,而沒有對存在量詞進行否定;錯解二中只對存在量詞進行了否定,而沒有對結論進行否定.
正解 綈p:對任意的實數(shù)x,都有x2-x-2≥0.
誤區(qū)8 忽略了隱含的量詞
例8 寫出下列命題的否定:
(1)不相交的兩條直線是平行直線;
(2)奇函數(shù)的圖象關于y軸對稱.
錯解 (1)不相交的兩條直線不是平行直線;
17、
(2)奇函數(shù)的圖象不關于y軸對稱.
剖析 以上錯誤解答在于沒有看出這兩個命題都是全稱命題.對于一些量詞不明顯或不含有量詞,但其實質(zhì)只是在文字敘述上省略了某些量詞的命題,要特別引起注意.
正解 (1)存在不相交的兩條直線不是平行直線;
(2)存在一個奇函數(shù)的圖象不關于y軸對稱.
4 解“邏輯”問題需強化的三意識
1.轉(zhuǎn)化意識
由于互為逆否的兩個命題同真假,因此,當原命題的真假不易判斷或證明原命題較困難時,可以轉(zhuǎn)化為逆否命題的真假來判斷或證明.
例1 證明:若a2-b2+2a-4b-3≠0,則a-b≠1.
分析 本題直接證明原命題是真命題,顯然不太容易,可考慮轉(zhuǎn)
18、化為證明它的逆否命題是真命題.
證明 命題“若a2-b2+2a-4b-3≠0,則a-b≠1”的逆否命題是“若a-b=1,則a2-b2+2a-4b-3=0”.由a-b=1得a2-b2+2a-4b-3=(a+b)(a-b)+2(a-b)-2b-3=a-b-1=0.∵原命題的逆否命題是真命題,∴原命題也是真命題.故若a2-b2+2a-4b-3≠0,則a-b≠1.
例2 已知p:x2-8x-20>0,q:x2-2x+1-a2>0,若p是q的充分不必要條件,求正實數(shù)a的取值范圍.
分析 將充分、必要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關系,進而轉(zhuǎn)化為集合運算問題.
解 解不等式x2-8x-20>0,
得p:A
19、={x|x>10或x<-2};
解不等式x2-2x+1-a2>0,
得q:B={x|x>1+a或x<1-a,a>0}.
依題意p?q,但qD?/p,說明AB.
于是有或,解得0
20、關于a的關系式,從而得到a的取值范圍.
解析 函數(shù)y=log0.5(x2+2x+a)的值域為R,即y=x2+2x+a的值域是(0,+∞),即在方程x2+2x+a=0中,Δ=4-4a≥0?a≤1,即p真?a≤1;
函數(shù)y=-(5-2a)x是減函數(shù)?5-2a>1?a<2,
即q真?a<2.
由p或q為真命題,p且q為假命題,知命題p,q中必有一真一假.若p真q假,則無解;若p假q真,則1
21、p或q”“p且q”的真假情況確定參數(shù)的取值范圍.
3.反例意識
在“邏輯”中,經(jīng)常要對一個命題的真假(尤其是假)作出判斷,若直接從正面判斷一個命題是假命題不易進行,這時可以通過舉出恰當?shù)姆蠢齺碚f明,這是一個簡單有效的辦法.
例4 設A,B為兩個集合,則下列四個命題中真命題的序號是________.
①A?B?對任意x∈A,都有x?B;
②A?B?A∩B=?;
③A?B?B?A;
④A?B?存在x∈A,使得x?B.
分析 畫出表示A?B的Venn圖進行判斷.
解析 畫出Venn圖,如圖1所示,則A?B?存在x∈A,使得x∈B,故①②是假命題,④是真命題.
A?B?B?A不成立的反例如圖2所示.同理可得B?A?A?B不成立.故③是假命題.
綜上知,真命題的序號是④.
答案?、?
8