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2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第二單元 圓錐曲線與方程疑難規(guī)律方法教學(xué)案 新人教B版選修1-1

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1、 第二單元 圓錐曲線與方程 1 橢圓的定義在解題中的妙用 橢圓定義反映了橢圓的本質(zhì)特征,揭示了曲線存在的幾何性質(zhì).有些問(wèn)題,如果恰當(dāng)運(yùn)用定義來(lái)解決,可以起到事半功倍的效果,下面通過(guò)幾個(gè)例子進(jìn)行說(shuō)明. 1.求最值 例1 線段|AB|=4,|PA|+|PB|=6,M是AB的中點(diǎn),當(dāng)P點(diǎn)在同一平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí),PM的長(zhǎng)度的最小值是(  ) A.2 B. C. D.5 解析 由于|PA|+|PB|=6>4=|AB|,故由橢圓定義知P點(diǎn)的軌跡是以M為原點(diǎn),A、B為焦點(diǎn)的橢圓,且a=3,c=2,∴b==.于是PM的長(zhǎng)度的最小值是b=. 答案 C 2.求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo) 例2 橢圓+=

2、1上到兩個(gè)焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2距離之積最大的點(diǎn)的坐標(biāo)是________. 解析 設(shè)橢圓上的動(dòng)點(diǎn)為P,由橢圓的定義可知 |PF1|+|PF2|=2a=10, 所以|PF1|·|PF2|≤2=2=25, 當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|=|PF2|時(shí)取等號(hào). 由解得|PF1|=|PF2|=5=a, 此時(shí)點(diǎn)P恰好是橢圓短軸的兩端點(diǎn), 即所求點(diǎn)的坐標(biāo)為(±3,0). 答案 (±3,0) 點(diǎn)評(píng) 由橢圓的定義可得“|PF1|+|PF2|=10”,即兩個(gè)正數(shù)|PF1|,|PF2|的和為定值,結(jié)合均值不等式可求|PF1|,|PF2|積的最大值,結(jié)合圖形可得所求點(diǎn)P的坐標(biāo). 3.求焦點(diǎn)三角形面積 例3 如圖所

3、示,已知橢圓的方程為+=1,若點(diǎn)P在第二象限,且∠PF1F2=120°,求△PF1F2的面積. 解 由已知得a=2,b=, 所以c==1,|F1F2|=2c=2. 在△PF1F2中,由余弦定理得 |PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1||F1F2|cos 120°, 即|PF2|2=|PF1|2+4+2|PF1|, ① 由橢圓定義,得|PF1|+|PF2|=4, 即|PF2|=4-|PF1|. ② 將②代入①,得|PF1|=. 所以S△PF1F2=|PF1|·|F1F2|·sin 120° =××2×=,即△PF1F2的面積是.

4、點(diǎn)評(píng) 在△PF1F2中,由橢圓的定義及余弦定理可得關(guān)于|PF1|,|PF2|的方程組,消去|PF2|可求|PF1|. 從以上問(wèn)題,我們不難發(fā)現(xiàn),凡涉及橢圓上的點(diǎn)及橢圓焦點(diǎn)的問(wèn)題,我們應(yīng)首先考慮利用橢圓的定義求解. 2 如何求橢圓的離心率 1.由橢圓的定義求離心率 例1 以橢圓的焦距為直徑并過(guò)兩焦點(diǎn)的圓,交橢圓于4個(gè)不同的點(diǎn),順次連接這四個(gè)點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)恰好組成一個(gè)正六邊形,那么這個(gè)橢圓的離心率為_(kāi)_______. 解析 如圖所示,設(shè)橢圓的方程為+=1 (a>b>0),半焦距為c,由題 意知∠F1AF2=90°,∠AF2F1=60°. ∴|AF2|=c, |AF1|=2

5、c·sin 60°=c. ∴|AF1|+|AF2| =2a=(+1)c. ∴e===-1. 答案?。? 點(diǎn)評(píng) 本題利用了圓及正六邊形的幾何性質(zhì),并結(jié)合橢圓的定義,化難為易,使問(wèn)題簡(jiǎn)單解決. 2.解方程(組)求離心率 例2 橢圓+=1 (a>b>0)的左焦點(diǎn)為F1(-c,0),A(-a,0)、B(0,b)是兩個(gè)頂點(diǎn),如果F1到直線AB的距離為,則橢圓的離心率e=________. 解析 如圖所示,直線AB的方程為+=1, 即bx-ay+ab=0. ∵點(diǎn)F1(-c,0)到直線AB的距離為,∴=, ∴|a-c|=, 即7a2-14ac+7c2=a2+b2. 又∵b2=a2-

6、c2,整理,得5a2-14ac+8c2=0. 兩邊同除以a2并由e=知,8e2-14e+5=0, 解得e=或e=(舍去). 答案  3.利用數(shù)形結(jié)合求離心率 例3 在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓+=1(a>b>0)的焦距為2,圓O的半徑為a,過(guò)點(diǎn)P作圓O的兩條切線,且這兩條切線互相垂直,則離心率e=________. 解析 如圖所示,切線PA、PB互相垂直,PA=PB. 又OA⊥PA,OB⊥PB,OA=OB, 則四邊形OAPB是正方形, 故OP=OA, 即=a,∴e==. 答案  4.綜合類 例4 設(shè)M為橢圓+=1上一點(diǎn),F(xiàn)1、F2為橢圓的左、右焦點(diǎn),如果∠MF1F

7、2=75°,∠MF2F1=15°,求橢圓的離心率. 解 由正弦定理得== ==, ∴e====. 點(diǎn)評(píng) 此題可推廣為若∠MF1F2=α,∠MF2F1=β,則橢圓的離心率e=.                   3 活用雙曲線定義妙解題 在解雙曲線中的有關(guān)求離心率、最值等問(wèn)題時(shí),若能靈活應(yīng)用雙曲線的定義,能把大題化為小題,起到事半功倍的作用.下面舉例說(shuō)明. 1.求焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng) 例1 過(guò)雙曲線-=1左焦點(diǎn)F1的直線與左支交于A、B兩點(diǎn),且弦AB長(zhǎng)為6,則△ABF2(F2為右焦點(diǎn))的周長(zhǎng)是________. 解析 由雙曲線的定義知|AF2|-|AF1|=8, |BF

8、2|-|BF1|=8, 兩式相加得|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|) =|AF2|+|BF2|-|AB|=16, 從而有|AF2|+|BF2|=16+6=22, 所以△ABF2的周長(zhǎng)為 |AF2|+|BF2|+|AB|=22+6=28. 答案 28 點(diǎn)評(píng) 與焦點(diǎn)有關(guān)的三角形周長(zhǎng)問(wèn)題,常借助雙曲線的定義解決,注意解決問(wèn)題時(shí)的拼湊技巧. 2.最值問(wèn)題 例2 已知F是雙曲線-y2=1的右焦點(diǎn),P是雙曲線右支上一動(dòng)點(diǎn),定點(diǎn)M(4,2),求|PM|+|PF|的最小值. 解 設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F′, 則F′(-2,0), 由雙曲線的定義知:|PF′|-|PF|=2a

9、=2,所以|PF|=|PF′|-2, 所以|PM|+|PF|=|PM|+|PF′|-2,要使|PM|+|PF|取得最小值,只需|PM|+|PF′|取得最小值,由圖可知,當(dāng)P、F′、M三點(diǎn)共線時(shí),|PM|+|PF′|最小,此時(shí)|MF′|=2, 故|PM|+|PF|的最小值為2-2. 點(diǎn)評(píng) 本題利用雙曲線的定義對(duì)F的位置進(jìn)行轉(zhuǎn)換,然后再根據(jù)共線易求得最小值.另外同學(xué)們不妨思考一下:①若將M坐標(biāo)改為M(1,1),其他條件不變,如何求解呢?②若P是雙曲線左支上一動(dòng)點(diǎn),如何求解呢? 3.求離心率范圍 例3 已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,點(diǎn)P在雙曲線的右支上

10、,且|PF1|=4|PF2|,試求雙曲線離心率的取值范圍. 解 因?yàn)閨PF1|=4|PF2|,點(diǎn)P在雙曲線的右支上, 所以設(shè)|PF2|=m,則|PF1|=4m, 由雙曲線的定義,得|PF1|-|PF2|=4m-m=2a, 所以m=a. 又|PF1|+|PF2|≥|F1F2|, 即4m+m≥2c, 所以m≥c, 即a≥c,所以e=≤. 又e>1,所以雙曲線離心率的取值范圍為1

11、值問(wèn)題 對(duì)于解析幾何中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題,要善于運(yùn)用辯證的觀點(diǎn)去思考分析,在動(dòng)點(diǎn)的“變”中尋求定值的“不變”性,用特殊探索法(特殊值、特殊位置、特殊圖形等)先確定出定值,揭開(kāi)神秘的面紗,這樣可將盲目的探索問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有方向有目標(biāo)的一般性證明題,從而找到解決問(wèn)題的突破口. 例1 已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上,斜率為1且過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),+與a=(3,-1)共線.設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn),且=λ+μ (λ,μ∈R),求證:λ2+μ2為定值. 證明 ∵M(jìn)是橢圓上任意一點(diǎn),若M與A重合, 則=,此時(shí)λ=1,μ=0, ∴λ2+μ2=1,現(xiàn)在需要證明λ2+μ2為定值1.

12、 設(shè)橢圓方程為+=1 (a>b>0),A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點(diǎn)為N(x0,y0), ∴ ①-②得+=0, 即=-=-, 又∵kAB==1,∴y0=-x0. ∴直線ON的方向向量為=, ∵∥a,∴=. ∵a2=3b2,∴橢圓方程為x2+3y2=3b2, 又直線方程為y=x-c. 聯(lián)立得4x2-6cx+3c2-3b2=0. ∵x1+x2=c,x1x2==c2. 又設(shè)M(x,y),則由=λ+μ, 得代入橢圓方程整理得 λ2(x+3y)+μ2(x+3y)+2λμ(x1x2+3y1y2)=3b2. 又∵x+3y=3b2,x+3y=3b2, x1x2+3

13、y1y2=4x1x2-3c(x1+x2)+3c2 =c2-c2+3c2=0, ∴λ2+μ2=1,故λ2+μ2為定值. 例2 已知拋物線y2=2px (p>0)上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A、B及一個(gè)定點(diǎn)M(x0,y0),F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn),且|AF|、|MF|、|BF|成等差數(shù)列. 求證:線段AB的垂直平分線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(x0+p,0). 證明 設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),由拋物線定義,知 |AF|=x1+,|BF|=x2+,|MF|=x0+. 因?yàn)閨AF|、|MF|、|BF|成等差數(shù)列, 所以2|MF|=|AF|+|BF|,即x0=. 設(shè)AB的中點(diǎn)為(x0,t),t=. 則kAB==

14、==. 所以線段AB的垂直平分線方程為y-t=-(x-x0), 即t[x-(x0+p)]+py=0. 所以線段AB的垂直平分線過(guò)定點(diǎn)(x0+p,0). 2.最值問(wèn)題 解決圓錐曲線中的最值問(wèn)題,一般有兩種方法:一是幾何法,特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)解非常巧妙;二是代數(shù)法,將圓錐曲線中的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題(即根據(jù)條件列出所求的目標(biāo)函數(shù)),然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角有界法、函數(shù)單調(diào)法及基本不等式法等,求解最大或最小值. 例3 已知F是雙曲線-=1的左焦點(diǎn),A(1,4),P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn),則|PF|+|PA|的最小值為_(kāi)_______.

15、 解析 設(shè)右焦點(diǎn)為F′,由題意可知F′坐標(biāo)為(4,0),根據(jù)雙曲線的定義,|PF|-|PF′|=4,∴|PF|+|PA|=4+|PF′|+|PA|,∴要使|PF|+|PA|最小,只需|PF′|+|PA|最小即可,|PF′|+|PA|最小需P、F′、A三點(diǎn)共線,最小值即4+|F′A|=4+=4+5=9. 答案 9 點(diǎn)評(píng) “化曲為直”法求與距離有關(guān)的最值是平面幾何中一種巧妙的方法,特別是涉及圓錐曲線上動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)和焦點(diǎn)距離之和的最值問(wèn)題常用此法. 例4 已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F(1,0)的距離與點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離的差等于1. (1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程; (2)過(guò)點(diǎn)F作兩條斜率存在且互相

16、垂直的直線l1,l2,設(shè)l1與軌跡C相交于點(diǎn)A,B,l2與軌跡C相交于點(diǎn)D,E,求·的最小值. 解 (1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),由題意有-|x|=1.化簡(jiǎn)得y2=2x+2|x|. 當(dāng)x≥0時(shí),y2=4x; 當(dāng)x<0時(shí),y=0. 所以,動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為y2=4x (x≥0)和y=0 (x<0). (2)由題意知,直線l1的斜率存在且不為0,設(shè)為k,則l1的方程為y=k(x-1). 由 得k2x2-(2k2+4)x+k2=0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1,x2是上述方程的兩個(gè)實(shí)根,于是x1+x2=2+,x1x2=1. 因?yàn)閘1⊥l2,所以l2的斜

17、率為-. 設(shè)D(x3,y3),E(x4,y4), 則同理可得x3+x4=2+4k2,x3x4=1. 故·=(+)·(+) =·+·+·+· =||·||+||·|| =(x1+1)(x2+1)+(x3+1)(x4+1) =x1x2+(x1+x2)+1+x3x4+(x3+x4)+1 =1++1+1+(2+4k2)+1 =8+4≥8+4×2=16. 當(dāng)且僅當(dāng)k2=,即k=±1時(shí),·取得最小值16. 5 圓錐曲線中存在探索型問(wèn)題的求解方法 存在探索型問(wèn)題作為探索性問(wèn)題之一,具備了內(nèi)容涉及面廣、重點(diǎn)題型豐富等命題要求,方便考查分析、比較、猜測(cè)、歸納等綜合能力,因而受到命

18、題人的喜愛(ài).圓錐曲線存在探索型問(wèn)題是指在給定題設(shè)條件下是否存在某個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象(數(shù)值、性質(zhì)、圖形)使某個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的數(shù)學(xué)問(wèn)題.本文僅就圓錐曲線中的存在探索型問(wèn)題展開(kāi),幫助復(fù)習(xí). 1.常數(shù)存在型問(wèn)題 例1 直線y=ax+1與雙曲線3x2-y2=1相交于A,B兩點(diǎn),是否存在這樣的實(shí)數(shù)a,使A,B關(guān)于直線y=2x對(duì)稱?請(qǐng)說(shuō)明理由. 分析 先假設(shè)實(shí)數(shù)a存在,然后根據(jù)推理或計(jì)算求出滿足題意的結(jié)果,或得到與假設(shè)相矛盾的結(jié)果,從而否定假設(shè),得出某數(shù)學(xué)對(duì)象不存在的結(jié)論. 解 設(shè)存在實(shí)數(shù)a,使A,B關(guān)于直線l:y=2x對(duì)稱,并設(shè) A(x1,y1),B(x2,y2), 則AB中點(diǎn)坐標(biāo)為. 依題設(shè)有=2

19、·, 即y1+y2=2(x1+x2), ① 又A,B在直線y=ax+1上, ∴y1=ax1+1,y2=ax2+1, ∴y1+y2=a(x1+x2)+2, ② 由①②,得2(x1+x2)=a(x1+x2)+2, 即(2-a)(x1+x2)=2, ③ 聯(lián)立得(3-a2)x2-2ax-2=0, ∴x1+x2=, ④ 把④代入③,得(2-a)·=2, 解之得a=,經(jīng)檢驗(yàn)符合題意, ∴kAB=,而kl=2, ∴kAB·kl=×2=3≠-1. 故不存在滿足題意的實(shí)數(shù)a. 2.點(diǎn)存在型問(wèn)題 例2 在平面直角

20、坐標(biāo)系中,已知圓心在第二象限,半徑為2的圓與直線y=x相切于原點(diǎn)O,橢圓+=1與圓C的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10. (1)求圓C的方程; (2)試探究圓C上是否存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)Q,使Q到橢圓右焦點(diǎn)F的距離等于線段OF的長(zhǎng).若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 分析 假設(shè)滿足條件的點(diǎn)Q存在,根據(jù)其滿足的幾何性質(zhì),求出Q的坐標(biāo),則點(diǎn)Q存在,若求不出Q的坐標(biāo),則點(diǎn)Q就不存在. 解 (1)由題意知圓心在y=-x上, 設(shè)圓心的坐標(biāo)是(-p,p) (p>0), 則圓的方程可設(shè)為(x+p)2+(y-p)2=8, 由于O(0,0)在圓上,∴p2+p2=8,解得p=2, ∴

21、圓C的方程為(x+2)2+(y-2)2=8. (2)橢圓+=1與圓C的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10,由橢圓的定義知2a=10,a=5, ∴橢圓右焦點(diǎn)為F(4,0). 假設(shè)存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)Q(m,n)使|QF|=|OF|, 則有且m2+n2≠0, 解得 故圓C上存在滿足條件的點(diǎn)Q. 3.直線存在型問(wèn)題 例3 試問(wèn)是否能找到一條斜率為k (k≠0)的直線l與橢圓+y2=1交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M,N,且使M,N到點(diǎn)A(0,1)的距離相等,若存在,試求出k的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 分析 假設(shè)滿足條件的直線l存在,由平面解析幾何的相關(guān)知識(shí)求解. 解 設(shè)直線l:y=kx+

22、m為滿足條件的直線,再設(shè)P為MN的中點(diǎn),欲滿足條件,只要AP⊥MN即可. 由得(1+3k2)x2+6mkx+3m2-3=0. 設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2), 則xP==-,yP=kxP+m=, ∴kAP=.∵AP⊥MN, ∴=- (k≠0),故m=-. 由Δ=36m2k2-4(1+3k2)(3m2-3) =9(1+3k2)·(1-k2)>0,得-1

23、B的中點(diǎn)P的軌跡方程. 錯(cuò)解 如圖所示,設(shè)A(0,y),B(x,0).由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得P點(diǎn)坐標(biāo)為,連接OP,由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)有 |OP|=|AB|=a. 故2+2=2, 即所求的軌跡方程為x2+y2=a2. 錯(cuò)因分析 求軌跡方程,即求軌跡上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的方程,并檢驗(yàn)以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)是否都是軌跡上的點(diǎn),因此,應(yīng)設(shè)軌跡上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y).上述解法是因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)的不對(duì),即運(yùn)用方法不當(dāng)而導(dǎo)致錯(cuò)誤. 正解 設(shè)中點(diǎn)P(x,y),A(0,m),B(n,0), 則m2+n2=a2,x=,y=, 于是所求軌跡方程為x2+y2=a2. 2.忽視定義中

24、的條件而致誤 例2 平面內(nèi)一點(diǎn)M到兩定點(diǎn)F1(0,-4),F(xiàn)2(0,4)的距離之和為8,則點(diǎn)M的軌跡為(  ) A.橢圓 B.圓 C.直線 D.線段 錯(cuò)解 根據(jù)橢圓的定義,點(diǎn)M的軌跡為橢圓,故選A. 錯(cuò)因分析 在橢圓的定義中,點(diǎn)M到兩定點(diǎn)F1,F(xiàn)2的距離之和必須大于兩定點(diǎn)的距離,即|MF1|+|MF2|>|F1F2|,亦即2a>2c.而本題中|MF1|+|MF2|=|F1F2|,所以點(diǎn)M的軌跡不是橢圓,而是線段F1F2. 正解 因?yàn)辄c(diǎn)M到兩定點(diǎn)F1,F(xiàn)2的距離之和為|F1F2|,所以點(diǎn)M的軌跡是線段F1F2. 答案 D 3.忽視標(biāo)準(zhǔn)方程的特征而致誤 例3 設(shè)拋物線y=

25、mx2 (m≠0)的準(zhǔn)線與直線y=1的距離為3,求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程. 錯(cuò)解 拋物線y=mx2 (m≠0)的準(zhǔn)線方程為y=-. 又與直線y=1的距離為3的直線為y=-2或y=4. 故-=-2或-=4.∴m=8或m=-16. 所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y=8x2或y=-16x2. 錯(cuò)因分析 錯(cuò)解忽視了拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的系數(shù),應(yīng)位于一次項(xiàng)前這個(gè)特征,故本題應(yīng)先化為x2=y(tǒng)的形式,再求解. 正解 由于y=mx2 (m≠0)可化為x2=y(tǒng), 其準(zhǔn)線方程為y=-. 由題意知-=-2或-=4, 解得m=或m=-. 則所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=8y或x2=-16y. 4.涉及弦長(zhǎng)問(wèn)題時(shí),忽

26、視判別式Δ>0這一隱含條件而致誤 例4 正方形ABCD的A,B兩點(diǎn)在拋物線y=x2上,另兩點(diǎn)C,D在直線y=x-4上,求正方形的邊長(zhǎng). 錯(cuò)解 ∵AB與直線y=x-4平行,∴設(shè)AB的直線方程為y=x+b,A(x1,x),B(x2,x), 則由?x2-x-b=0, |AB|2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=2(1+4b). ∵AB與直線y=x-4間的距離為d=, ∴2(1+4b)=, 即b2-8b+12=0, 解得b=2或b=6, ∴|AB|=3或|AB|=5. 錯(cuò)因分析 在考慮直線AB與拋物線相交時(shí),必須有方程x2-x-b=0的判別式Δ>0,以此來(lái)限制b的取舍

27、. 正解 ∵AB與直線y=x-4平行,∴設(shè)AB的直線方程為y=x+b,A(x1,x),B(x2,x), 則由?x2-x-b=0, |AB|2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=2(1+4b). ∵AB與直線y=x-4間的距離為d=, ∴2(1+4b)=,即b2-8b+12=0, 解得b=2或b=6,∵Δ=1+4b>0,∴b>-. ∴b=2或b=6都滿足Δ>0,∴b=2或b=6. ∴|AB|=3或|AB|=5. 7 圓錐曲線中的數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用 1.方程思想 方程思想就是分析數(shù)學(xué)問(wèn)題中變量間的等量關(guān)系,建立方程或方程組,或者構(gòu)造方程,通過(guò)解方程或解

28、方程組,或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問(wèn)題,使問(wèn)題獲得解決.本章中,方程思想的應(yīng)用最為廣泛. 例1 已知直線y=-x+2和橢圓+=1 (a>b>0)相交于A,B兩點(diǎn),且a=2b,若|AB|=2,求橢圓的方程. 解 由 消去y并整理得x2-4x+8-2b2=0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 則由根與系數(shù)的關(guān)系得 x1+x2=4,x1x2=8-2b2. ∵|AB|=2, ∴ ·=2, 即·=2, 解得b2=4,故a2=4b2=16. ∴所求橢圓的方程為+=1. 2.函數(shù)思想 很多與圓錐曲線有關(guān)的問(wèn)題中的各個(gè)數(shù)量在運(yùn)動(dòng)變化時(shí),都是相互聯(lián)系、相互制約的,它們之

29、間構(gòu)成函數(shù)關(guān)系.這類問(wèn)題若用函數(shù)思想來(lái)分析、尋找解題思路,會(huì)有很好的效果.一些最值問(wèn)題常用函數(shù)思想,運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系求弦的中點(diǎn)和弦長(zhǎng)問(wèn)題,是經(jīng)常使用的方法. 例2 若點(diǎn)(x,y)在+=1 (b>0)上運(yùn)動(dòng),求x2+2y的最大值. 解 ∵+=1 (b>0), ∴x2=4≥0, 即-b≤y≤b. ∴x2+2y=4+2y =-+2y+4=-2+4+. 當(dāng)≤b,即0b,即b>4時(shí),若y=b, 則x2+2y取得最大值,其最大值為2b. 綜上所述,x2+2y的最大值為 3.轉(zhuǎn)化和化歸思想 在解決圓錐曲線的綜合問(wèn)題時(shí)

30、,經(jīng)常利用轉(zhuǎn)化和化歸思想.轉(zhuǎn)化題中的已知條件和所求,真正化歸為直線和圓錐曲線的基本問(wèn)題.這里的轉(zhuǎn)化和化歸非常關(guān)鍵,沒(méi)有轉(zhuǎn)化和化歸,就很難找到解決問(wèn)題的途徑和方法. 例3 如圖所示,已知橢圓+=1,直線l:x=12,P是l上任意一點(diǎn),射線OP交橢圓于點(diǎn)R,又點(diǎn)Q在線段OP上,且滿足|OQ|·|OP|=|OR|2,當(dāng)點(diǎn)P在l上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)Q的軌跡方程. 解 設(shè)P(12,yP),R(xR,yR),Q(x,y),∠POx=α. ∵|OR|2=|OQ|·|OP|, ∴2=·. 由題意知xR>0,x>0,∴x=x·12. ① 又∵O,Q,R三點(diǎn)共線, ∴kOQ=kOR,即=.

31、 ② 由①②得y=. ③ ∵點(diǎn)R(xR,yR)在橢圓+=1上, ∴+=1. ④ 由①③④得2(x-1)2+3y2=2 (x>0), ∴點(diǎn)Q的軌跡方程是2(x-1)2+3y2=2 (x>0). 4.分類討論思想 本章中,涉及的字母參數(shù)較多,同時(shí)圓錐曲線的焦點(diǎn)可能在x軸上,也可能在y軸上,所以必須要注意分類討論. 例4 求與雙曲線-y2=1有共同的漸近線且焦距為10的雙曲線的方程. 分析 由題意可設(shè)所求雙曲線的方程為-y2=λ (λ≠0),將λ分為λ>0,λ<0兩種情況進(jìn)行討論. 解 由題意可設(shè)所求雙曲線的方程為-y2=λ (λ≠0), 即-=1 (λ≠0).

32、當(dāng)λ>0時(shí),c2=4λ+λ=5λ=25,即λ=5, ∴所求雙曲線的方程為-=1. 當(dāng)λ<0時(shí),c2=(-4λ)+(-λ)=-5λ=25,即λ=-5, ∴所求雙曲線的方程為-=1. 綜上所述,所求雙曲線的方程為 -=1或-=1. 5.?dāng)?shù)形結(jié)合思想 利用數(shù)形結(jié)合思想,可以解決某些最值、軌跡、參數(shù)范圍等問(wèn)題. 例5 在△ABC中,BC邊固定,頂點(diǎn)A在移動(dòng),設(shè)|BC|=m,當(dāng)三個(gè)角滿足條件|sin C-sin B|=|sin A|時(shí),求頂點(diǎn)A的軌跡方程. 解 以BC所在直線為x軸,線段BC的中垂線為y軸,建立直角坐標(biāo)系,如圖所示: 則B,C. 設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)(x,y),由題設(shè), 得|sin C-sin B|=|sin A|. 根據(jù)正弦定理,得||AB|-|AC||=m. 可知點(diǎn)A在以B、C為焦點(diǎn)的雙曲線上. 這里2a=m,∴a=.又c=m, ∴b2=c2-a2=-=m2. 故所求點(diǎn)A的軌跡方程為-=1(y≠0). 16

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