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2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用章末復(fù)習(xí)提升教學(xué)案 新人教B版選修1-1

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1、 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.對(duì)于導(dǎo)數(shù)的定義,必須明白定義中包含的基本內(nèi)容和自變量的增量Δx→0的方式,導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的增量Δy與自變量的增量Δx的比的極限, 即=. 函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義,就是曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線的斜率. 2.曲線的切線方程 利用導(dǎo)數(shù)求曲線過點(diǎn)P的切線方程時(shí)應(yīng)注意: (1)判斷P點(diǎn)是否在曲線上; (2)如果曲線y=f(x)在P(x0,f(x0))處的切線平行于y軸(此時(shí)導(dǎo)數(shù)不存在),可得方程為x=x0;P點(diǎn)坐標(biāo)適合切線方程,P點(diǎn)處的切線斜率為f′(x0). 3.利用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和四則運(yùn)算

2、法則求導(dǎo)數(shù),熟記基本求導(dǎo)公式,熟練運(yùn)用法則是關(guān)鍵,有時(shí)先化簡再求導(dǎo),會(huì)給解題帶來方便.因此觀察式子的特點(diǎn),對(duì)式子進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃问莾?yōu)化解題過程的關(guān)鍵. 4.判斷函數(shù)的單調(diào)性 (1)在利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí),首先要確定函數(shù)的定義域,解決問題的過程中,只能在函數(shù)的定義域內(nèi),通過討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào),來判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間; (2)注意在某一區(qū)間內(nèi)f′(x)>0(或f′(x)<0)是函數(shù)f(x)在該區(qū)間上為增(或減)函數(shù)的充分不必要條件. 5.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值要注意 (1)極值是一個(gè)局部概念,是僅對(duì)某一點(diǎn)的左右兩側(cè)鄰近區(qū)域而言的. (2)連續(xù)函數(shù)f(x)在其定義域上的極值點(diǎn)可能不止一個(gè)

3、,也可能沒有極值點(diǎn),函數(shù)的極大值與極小值沒有必然的大小聯(lián)系,函數(shù)的一個(gè)極小值也不一定比它的一個(gè)極大值?。? (3)可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn),但函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn),不一定是該函數(shù)的極值點(diǎn).因此導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)僅是該點(diǎn)為極值點(diǎn)的必要條件,其充要條件是加上這點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號(hào). 6.求函數(shù)的最大值與最小值 (1)函數(shù)的最大值與最小值:在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)的函數(shù)f(x),在[a,b]上必有最大值與最小值;但在開區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)的函數(shù)f(x)不一定有最大值與最小值,例如:f(x)=x3,x∈(-1,1). (2)求函數(shù)最值的步驟 一般地,求函數(shù)y=f(x)在[a,b]上最大值與最小值

4、的步驟如下: ①求函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)的極值及端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a),f(b); ②將函數(shù)y=f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a),f(b)比較,其中最大的一個(gè)是最大值,最小的一個(gè)是最小值. 7.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題,關(guān)鍵在于建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型(函數(shù)關(guān)系),如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)x0,則f(x0)是函數(shù)的最值. 題型一 應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決與切線相關(guān)的問題 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,導(dǎo)數(shù)就是相應(yīng)切線的斜率,從而就可以應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決一些與切線相關(guān)的問題. 例1 已知函數(shù)f(x)=x-alnx(a∈R). (1)當(dāng)a=2時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線方

5、程; (2)求函數(shù)f(x)的極值. 解 函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),f′(x)=1-. (1)當(dāng)a=2時(shí),f(x)=x-2lnx,f′(x)=1-(x>0), ∴f(1)=1,f′(1)=-1, ∴y=f(x)在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線方程為y-1=-(x-1), 即x+y-2=0. (2)由f′(x)=1-=,x>0知: ①當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)>0,函數(shù)f(x)為(0,+∞)上的增函數(shù),函數(shù)f(x)無極值; ②當(dāng)a>0時(shí),由f′(x)=0,解得x=a; ∵x∈(0,a)時(shí),f′(x)<0,x∈(a,+∞)時(shí),f′(x)>0 ∴f(x)在x=a處取得極小

6、值,且極小值為f(a)=a-alna,無極大值. 綜上,當(dāng)a≤0時(shí),函數(shù)f(x)無極值;當(dāng)a>0時(shí),函數(shù)f(x)在x=a處取得極小值a-alna,無極大值. 跟蹤演練1 點(diǎn)P(2,0)是函數(shù)f(x)=x3+ax與g(x)=bx2+c的圖象的一個(gè)公共點(diǎn),且兩條曲線在點(diǎn)P處有相同的切線,求a,b,c的值. 解 因?yàn)辄c(diǎn)P(2,0)是函數(shù)f(x)=x3+ax與g(x)=bx2+c的圖象的一個(gè)公共點(diǎn),所以23+2a=0① 4b+c=0② 由①得a=-4.所以f(x)=x3-4x. 又因?yàn)閮蓷l曲線在點(diǎn)P處有相同的切線, 所以f′(2)=g′(2), 而由f′(x)=3x2-4得到f′(2)

7、=8, 由g′(x)=2bx得到g′(2)=4b, 所以8=4b,即b=2,代入②得到c=-8. 綜上所述,a=-4,b=2,c=-8. 題型二 應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 在區(qū)間(a,b)內(nèi),如果f′(x)>0,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增;在區(qū)間(a,b)內(nèi),如果f′(x)<0,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)遞減. 例2 已知函數(shù)f(x)=x-+a(2-lnx),a>0.討論f(x)的單調(diào)性. 解 由題知,f(x)的定義域是(0,+∞), f′(x)=1+-=. 設(shè)g(x)=x2-ax+2,二次方程g(x)=0的判別式Δ=a2-8. ①當(dāng)Δ<

8、0即0<a<2時(shí),對(duì)一切x>0都有f′(x)>0.此時(shí)f(x)是(0,+∞)上的增函數(shù). ②當(dāng)Δ=0即a=2時(shí),僅對(duì)x=,有f′(x)=0,對(duì)其余的x>0都有f′(x)>0.此時(shí)f(x)也是(0,+∞)上的增函數(shù). ③當(dāng)Δ>0即a>2時(shí),方程g(x)=0有兩個(gè)不同的實(shí)根 x1=,x2=,0<x1<x2. 當(dāng)x變化時(shí),f′(x)、f(x)的變化情況如下表: x (0,x1) x1 (x1,x2) x2 (x2,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 此時(shí)f(x)在上單調(diào)遞增, 在上單調(diào)遞減, 在上單調(diào)遞增.

9、 跟蹤演練2 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間: (1)f(x)=(x-3)ex,x∈(0,+∞); (2)f(x)=x(x-a)2. 解  (1)f′(x)=(x-3)′ex+(x-3)(ex)′=(x-2)ex, 令f′(x)>0,解得x>2,又x∈(0,+∞), 所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間(2,+∞), 函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間(0,2), (2)函數(shù)f(x)=x(x-a)2=x3-2ax2+a2x的定義域?yàn)镽, 由f′(x)=3x2-4ax+a2=0, 得x1=,x2=a. ①當(dāng)a>0時(shí),x1

10、>x2, ∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,a),, 單調(diào)遞減區(qū)間為. ③當(dāng)a=0時(shí),f′(x)=3x2≥0,∴函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間為(-∞,+∞),即f(x)在R上是遞增的. 綜上,a>0時(shí),函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,(a,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為. a<0時(shí),函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,a),,單調(diào)遞減區(qū)間為. a=0時(shí),函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,+∞). 題型三 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值 1.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的一般步驟 (1)確定函數(shù)f(x)的定義域; (2)解方程f′(x)=0的根; (3)檢驗(yàn)f′(x)=0的根的兩側(cè)f′(x)的符號(hào)

11、. 若左正右負(fù),則f(x)在此根處取得極大值; 若左負(fù)右正,則f(x)在此根處取得極小值; 否則,此根不是f(x)的極值點(diǎn). 2.求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的最大值、最小值的方法與步驟 (1)求f(x)在(a,b)內(nèi)的極值; (2)將(1)求得的極值與f(a)、f(b)相比較,其中最大的一個(gè)值為最大值,最小的一個(gè)值為最小值. 特別地,①當(dāng)f(x)在[a,b]上單調(diào)時(shí),其最小值、最大值在區(qū)間端點(diǎn)取得;②當(dāng)f(x)在(a,b)內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)時(shí),若在這一點(diǎn)處f(x)有極大(或極小)值,則可以斷定f(x)在該點(diǎn)處取得最大(最小)值,這里(a,b)也可以是(-∞,+∞). 例3

12、 已知函數(shù)f(x)=x2-alnx(a∈R) (1)若f(x)在x=2時(shí)取得極值,求a的值; (2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間; (3)求證:當(dāng)x>1時(shí),x2+lnx

13、(x)的單調(diào)遞增區(qū)間(,+∞);遞減區(qū)間為(0,). (3)證明 設(shè)g(x)=x3-x2-lnx,則g′(x)=2x2-x-,因?yàn)楫?dāng)x>1時(shí),g′(x)=>0,所以g(x)在x∈(1,+∞)上為增函數(shù),所以g(x)>g(1)=>0,所以當(dāng)x>1時(shí),x2+lnx<x3. 跟蹤演練3 已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+b的圖象上一點(diǎn)P(1,0),且在點(diǎn)P處的切線與直線3x+y=0平行. (1)求函數(shù)f(x)的解析式; (2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,t](0

14、圍. 解 (1)因?yàn)閒′(x)=3x2+2ax,曲線在P(1,0)處的切線斜率為:f′(1)=3+2a,即3+2a=-3,a=-3.又函數(shù)過(1,0)點(diǎn),即-2+b=0,b=2.所以a=-3,b=2,f(x)=x3-3x2+2. (2)由f(x)=x3-3x2+2得,f′(x)=3x2-6x. 由f′(x)=0得,x=0或x=2. ①當(dāng)0

15、,2) 2 (2,t) t f′(x) - 0 + f(x) 2 ↘ -2 ↗ t3-3t2+2 f(x)min=f(2)=-2,f(x)max為f(0)與f(t)中較大的一個(gè). 又f(t)-f(0)=t3-3t2=t2(t-3)<0. 所以f(x)max=f(0)=2. 綜上可知,在區(qū)間[0,t](00. g(x)=0在[1

16、,3]上恰有兩個(gè)相異的實(shí)根, 則 解得-2

17、≤a,試確定a的取值范圍; (3)當(dāng)a=時(shí),關(guān)于x的方程f(x)=0在區(qū)間[1,3]上恒有兩個(gè)相異的實(shí)根,求實(shí)數(shù)b的取值范圍. 解 (1)f′(x)=-x2+4ax-3a2 =-(x-a)(x-3a). 令f′(x)=0,得x=a或x=3a. 當(dāng)x變化時(shí),f′(x)、f(x)的變化情況如下表: x (-∞,a) a (a,3a) 3a (3a,+∞) f′(x) - 0 + 0 - f(x) ↘ 極小值 ↗ 極大值 ↘ ∴f(x)在(-∞,a)和(3a,+∞)上是減函數(shù),在(a,3a)上是增函數(shù). 當(dāng)x=a時(shí),f(x)取得極小值, f(x)極

18、小值=f(a)=b-a3; 當(dāng)x=3a時(shí),f(x)取得極大值,f(x)極大值=f(3a)=b. (2)f′(x)=-x2+4ax-3a2,其對(duì)稱軸為x=2a. 因?yàn)?

19、, 可知f(x)在上是減函數(shù), 在上是增函數(shù),在(2,+∞)上是減函數(shù). f(x)=0在[1,3]上恒有兩個(gè)相異實(shí)根, 即f(x)在(1,2),(2,3)上各有一個(gè)實(shí)根, 于是有即 解得0

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