《2018版高中數(shù)學(xué) 第一章 常用邏輯用語疑難規(guī)律方法學(xué)案 蘇教版選修1-1》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018版高中數(shù)學(xué) 第一章 常用邏輯用語疑難規(guī)律方法學(xué)案 蘇教版選修1-1（13頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第一章 常用邏輯用語 1　怎樣解邏輯用語問題 1．利用集合理清關(guān)系 充分(必要)條件是高中學(xué)段的一個重要概念，并且是理解上的一個難點．要解決這個難點，將抽象的概念用直觀、形象的圖形表示出來，看得見、想得通，才是最好的方法．下面通過使用集合模型對充要條件的外延與內(nèi)涵作了直觀形象的解釋，實踐證明效果較好．集合模型解釋如下： ①A是B的充分條件，即A?B.(如圖1) ②A是B的必要條件，即B?A.(如圖2) ③A是B的充要條件，即A＝B.(如圖3) ④A是B的既不充分又不必要條件，即A∩B＝?或A、B既有公共元素也有非公共元素．(如圖4) 或 圖4 例1　設(shè)集

2、合A，B是全集U的兩個子集，則AB是(?UA)∪B＝U的______________條件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 解析　當(dāng)AB時，如圖1所示，則(?UA)∪B＝U成立；當(dāng)A＝B時，如圖2所示，則(?UA)∪B＝(?UB)∪B＝U成立，即當(dāng)(?UA)∪B＝U成立時，可有A?B. 故AB是(?UA)∪B＝U的充分不必要條件． 答案　充分不必要 2．抓住量詞，對癥下藥 全稱命題與存在性命題是兩類特殊的命題，這兩類命題的否定又是這部分內(nèi)容中的重要概念，解決有關(guān)此類命題的題目時一定要抓住決定命題性質(zhì)的量詞，理解其相應(yīng)的含義，從而對癥下藥．

3、 例2　(1)已知命題p：“任意x∈[1,2]，x2－a≥0”與命題q：“存在x∈R，x2＋2ax＋2＋a＝0”都是真命題，則實數(shù)a的取值范圍為______________． (2)已知命題p：“存在x∈[1,2]，x2－a≥0”與命題q：“存在x∈R，x2＋2ax＋2＋a＝0”都是真命題，則實數(shù)a的取值范圍為____________． 解析　(1)將命題p轉(zhuǎn)化為“當(dāng)x∈[1,2]時， (x2－a)min≥0”，即1－a≥0， 即a≤1. 由命題q知，方程有解，即Δ＝(2a)2－4×(2＋a)≥0， 解得a≤－1或a≥2.綜上所述，a≤－1. (2)命題p轉(zhuǎn)化為“當(dāng)x∈[1,2]

4、時，(x2－a)max≥0”， 即4－a≥0，即a≤4. 命題q：a≤－1或a≥2. 綜上所述，a≤－1或2≤a≤4. 答案　(1)(－∞，－1]　(2)(－∞，－1]∪[2,4] 點評　認(rèn)真比較兩題就會發(fā)現(xiàn)，兩題形似而神異，所謂失之毫厘，謬之千里，需要我們抓住這類問題的本質(zhì)——量詞，有的放矢． 3．挖掘等價轉(zhuǎn)化思想，提高解題速度 在四種命題的關(guān)系、充要條件、簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞中，時時刻刻滲透著等價轉(zhuǎn)化思想，例如互為逆否命題的兩個命題(原命題與逆否命題或逆命題與否命題)一定同真或同假，它們就是等價的；但原命題與逆命題不等價，即原命題為真，其逆命題不一定為真．

5、例3　設(shè)p：q：x2＋y2≤r2 (r>0)，若q是綈p的充分不必要條件，求r的取值范圍． 分析　“q是綈p的充分不必要條件”等價于“p是綈q的充分不必要條件”．設(shè)p、q對應(yīng)的集合分別為A、B，則可由A?RB出發(fā)解題． 解　設(shè)p、q對應(yīng)的集合分別為A、B，將本題背景放到直角坐標(biāo)系中，則點集A表示平面區(qū)域，點集?RB表示到原點距離大于r的點的集合，即圓x2＋y2＝r2外的點的集合． ∵A?RB表示區(qū)域A內(nèi)的點到原點的最近距離大于r， ∴直線3x＋4y－12＝0上的點到原點的最近距離大于等于r. ∵原點O到直線3x＋4y－12＝0的距離為 d＝＝， ∴r的取值范圍為0

6、點評　若直接解的話，q是綈p的充分不必要條件即為 x2＋y2≤r2 (r>0)在p：所對應(yīng)的區(qū)域的外部，也是可以解決的．但以上解法將“q是綈p的充分不必要條件”等價轉(zhuǎn)化為“p是綈q的充分不必要條件”，更好地體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化思想． 2　辨析“命題的否定”與“否命題” 一、知識梳理 1．定義 定義 命題的否定 對原命題的結(jié)論進(jìn)行否定得到的新命題 否命題 對原命題的條件和結(jié)論同時否定得到的新命題 2.真假關(guān)系表 原命題、命題的否定與否命題的真假關(guān)系表： 原命題 否定 否命題 真 假 與原命題的真假沒有關(guān)系 假 真 3.常用正面敘述詞語

7、及它的否定 詞語 等于 大于(>) 小于(<) 是 都是 詞語的否定 不等于 不大于(≤) 不小于(≥) 不是 不都是 詞語 至多有 一個 至少有 一個 任意的 所有的 至多有 n個 p且q p或q 詞語的 否定 至少有 兩個 一個也 沒有 某個 某些 至少有 n＋1個 非p或 非q 非p 且非q 二、典例剖析 例1　寫出下列各命題的否定形式及否命題： (1)面積相等的三角形是全等三角形； (2)若xy＝0，則x＝0或y＝0； (3)若x，y都是奇數(shù)，則x＋y是奇數(shù)． 分析　分清題設(shè)和條件，命

8、題的否定只否定結(jié)論，而否命題既否定題設(shè)，又否定結(jié)論． 解　(1)命題的否定：面積相等的三角形不是全等三角形； 否命題：面積不相等的三角形不是全等三角形． (2)命題的否定：若xy＝0，則x≠0且y≠0； 否命題：若xy≠0，則x≠0且y≠0. (3)命題的否定：若x，y都是奇數(shù)，則x＋y不是奇數(shù)； 否命題：若x，y不都是奇數(shù)，則x＋y不是奇數(shù)． 點評　首先掌握“命題的否定”和“否命題”的區(qū)別和聯(lián)系，把握關(guān)鍵詞的否定，然后分清命題的條件和結(jié)論即可． 例2　寫出下列命題的否命題與命題的否定，并判斷原命題、否命題和命題的否定的真假： (1)若x2<4，則－2

9、>0且n>0，則m＋n>0. 分析　依據(jù)定義分別寫出否命題與命題的否定．根據(jù)不等式及方程的性質(zhì)逐個判斷其真假． 解　(1)否命題：“若x2≥4，則x≥2或x≤－2”； 命題的否定：“若x2<4，則x≥2或x≤－2”． 通過解不等式可以知道，原命題為真，否命題為真，命題的否定為假． (2)否命題：“若m≤0或n≤0，則m＋n≤0”； 命題的否定：“若m>0且n>0，則m＋n≤0”． 由不等式的性質(zhì)可以知道，原命題為真，否命題為假，命題的否定為假． 3　判斷條件四策略 1．定義法 定義法是判斷充要條件最基本、最適用的方法．步驟如下： (1)分清條件與結(jié)論(p與q)；

10、 (2)找推式：即判斷p?q及q?p的真假； (3)下結(jié)論：?p是q的充分不必要條件，?p是q的必要不充分條件， ?p是q的充要條件， ?p是q的既不充分又不必要條件． 例1　設(shè)集合M＝{x|x>2}，P＝{x|x<3}，那么“x∈M或x∈P”是“x∈P∩M”的______________條件． 解析　條件p：x∈M或x∈P；結(jié)論q：x∈P∩M. 若x∈M，則x不一定屬于P， 即x不一定屬于P∩M，所以p?q； 若x∈P∩M，則x∈M且x∈P，所以q?p. 綜上可知，“x∈M或x∈P”是“x∈P∩M”的必要不充分條件． 答案　必要不充分 2．利用傳遞性 充分、必

11、要條件在推導(dǎo)的過程當(dāng)中具有傳遞性，即：若p?q，q?r，則p?r. 例2　如果A是B的必要不充分條件，B是C的充要條件，D是C的充分不必要條件，那么A是D的________條件． 解析　依題意知，有A?B?C?D且A?B?CD?D，由命題的傳遞性可知D?A，但A?D.于是A是D的必要不充分條件． 答案　必要不充分 3．集合法 適用于“當(dāng)所要判斷的命題與方程的根、不等式的解集以及集合有關(guān)，或所描述的對象可以用集合表示時”的情況． P＝{p}，Q＝{q}，利用集合間的包含關(guān)系加以判斷，具體情況如下： (1)若P?Q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件； (2)若PQ，則p是q的

12、充分不必要條件，q是p的必要不充分條件； (3)若P＝Q，則p是q的充要條件(q也是p的充要條件)； (4)P?Q且Q?P，則p是q的既不充分又不必要條件． 例3　設(shè)p：(2x＋1)20)，q：(x－1)(2x－1)>0，若p是q的充分不必要條件，則實數(shù)m的取值范圍是________________． 解析　由題意得p：1或x<. ∵p是q的充分不必要條件， ∴pq， ∴≤或≥1， 解得m≤2. 又∵m>0，∴0

13、，再去判斷．常用的是逆否等價法． (1)綈q是綈p的充分不必要條件?p是q的充分不必要條件； (2)綈q是綈p的必要不充分條件?p是q的必要不充分條件； (3)綈q是綈p的充要條件?p是q的充要條件； (4)綈q是綈p的既不充分又不必要條件?p是q的既不充分又不必要條件． 例4　給定兩個命題p，q，若綈p是q的必要不充分條件，則p是綈q的______________條件． 解析　因為綈p是q的必要不充分條件，所以綈q是p的必要不充分條件，即p是綈q的充分不必要條件． 答案　充分不必要 4　充分必要條件知識交匯例析 充分必要條件是邏輯關(guān)系的重要知識點，主要用來討論條件和

14、結(jié)論的關(guān)系，是理解或判斷一個命題與其相關(guān)命題之間關(guān)系的重要工具，也是命題轉(zhuǎn)化的主要依據(jù)．充分必要條件問題幾乎可以融匯所有不同的數(shù)學(xué)知識，因此用途極為廣泛．下面通過具體例子進(jìn)行分析． 1．與集合的交匯 例1　若集合A＝{1，m2}，B＝{2,4}，則“m＝2”是“A∩B＝{4}”的__________條件． 解析　當(dāng)m＝2時，集合A＝{1,4}，又B＝{2,4}， 所以A∩B＝{4}． 當(dāng)A∩B＝{4}時， m2＝4，m＝2或m＝－2， 所以“m＝2”是“A∩B＝{4}”的充分不必要條件． 答案　充分不必要 2．與函數(shù)性質(zhì)的交匯 例2　已知函數(shù)f(x)＝則“－2≤a≤0”是“

15、f(x)在R上單調(diào)遞增”的____________條件． 解析　因為當(dāng)－2≤a≤0時，0≤－≤1，－≥，所以當(dāng)x≥1時，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x<1時，f(x)不一定單調(diào)遞增，故“－2≤a≤0”不是“f(x)在R上單調(diào)遞增”的充分條件．當(dāng)f(x)在R上單調(diào)遞增時，則 ?－≤a<0， 所以“－2≤a≤0”是“f(x)在R上單調(diào)遞增”的必要不充分條件． 答案　必要不充分 3．與不等式的交匯 例3　“10，所以2x＋≥2.又a>1，所以2>2>1，所以“1

16、任意正數(shù)x,2x＋≥1，即2≥1，解得a≥，所以“對任意正數(shù)x,2x＋≥1”不是“1

17、 例5　設(shè){an}是等比數(shù)列，則“a10時，q>1；當(dāng)a1<0時，0”是“sin A>”的__________條件． 解析　在△ABC中，當(dāng)A>且A∈時，sin A<，故“A>”不是“sin A>”的充分條件．但當(dāng)sin A>時，A>一定成立，所以“A>”是“sin A>”的必要不充分條件

18、． 答案　必要不充分 7．與立體幾何的交匯 例7　已知E，F(xiàn)，G，H是空間四個點，命題甲：E，F(xiàn)，G，H四點不共面，命題乙：直線EF和GH不相交，則甲是乙成立的____________條件． 解析　由空間點的位置關(guān)系知，E，F(xiàn)，G，H四點不共面，則直線EF和GH不相交，反之，未必成立，故甲是乙成立的充分不必要條件． 答案　充分不必要 5　命題和充要條件錯誤剖析 1．考慮不周出錯 例1　判斷命題的真假：函數(shù)f(x)＝ax2＋2x－1只有一個零點，則a＝－1. 錯解　因為函數(shù)f(x)＝ax2＋2x－1只有一個零點，所以Δ＝22－4×(－1)×a＝0，即a＝－1.所以該命題

19、是真命題． 剖析　出現(xiàn)上述錯解的主要原因是由于沒考慮到函數(shù)f(x)的最高次項系數(shù)含字母參數(shù)a，應(yīng)對字母參數(shù)是否為零進(jìn)行討論． 正解　當(dāng)a＝0時，函數(shù)f(x)為一次函數(shù)，此時函數(shù)只有一個零點；當(dāng)a≠0時，函數(shù)f(x)＝ax2＋2x－1只有一個零點，所以Δ＝22－4×(－1)×a＝0，即a＝－1.所以，函數(shù)f(x)＝ax2＋2x－1只有一個零點，則a＝－1或a＝0.故原命題為假命題． 2．否命題否定錯誤 例2　寫出命題“若m2＋n2＋a2＋b2＝0，則實數(shù)m、n、a、b全為零”的否命題． 錯解　否命題為：若m2＋n2＋a2＋b2＝0，則實數(shù)m、n、a、b全不為零． 剖析　否命題是將原命

20、題的條件和結(jié)論分別否定．錯解是條件沒有否定，而結(jié)論否定為“不全為零”，卻錯誤地寫為“全不為零”． 正解　該命題的否命題為：“若m2＋n2＋a2＋b2≠0，則實數(shù)m、n、a、b不全為零”． 3．判斷充要條件時出錯 例3　(1)設(shè)x∈R，則x>2成立的必要條件有________．(填上所有正確的序號) ①x>1；②x<1；③x>3；④x<3；⑤x>0. 錯解　因為x>3?x>2，所以x>2的一個必要條件為x>3. 答案?、? 剖析　錯解的主要原因是沒弄清“a是b的必要條件”和“a的必要條件是b”的真正含義，前者等價于b?a；后者等價于“b是a的必要條件”，即a?b. 正解　因為x>2

21、?x>1，所以x>2的一個必要條件為x>1.同理x>2?x>0，所以x>2的一個必要條件為x>0. 答案　①⑤ (2)命題p：“向量a與向量b的夾角θ為銳角”是命題q：“a·b>0”的__________條件． 錯解　若向量a與向量b的夾角θ為銳角， 則cos θ＝>0，即a·b>0；反之也成立，所以p是q的充要條件． 答案　充要 剖析　判斷兩個命題是否可以相互推導(dǎo)時，要注意特殊情況的判斷，以防判斷出現(xiàn)錯誤． 正解　若向量a與向量b夾角θ為銳角，則cos θ＝>0?a·b>0；而當(dāng)a·b>0時，θ＝0°也成立，但此時a與b夾角不為銳角．故p是q的充分不必要條件． 答案　充分不必

22、要 6　例析邏輯用語中的常見誤區(qū) 誤區(qū)1　所有不等式、集合運算式都不是命題 例1　判斷下列語句是不是命題，若是命題，判斷其真假： (1)x＋2>0；　(2)x2＋2>0； (3)A∩B＝A∪B；　(4)A?A∪B. 錯解　(1)、(2)、(3)、(4)都不是命題． 剖析　(1)中含有未知數(shù)x，且x不確定，所以x＋2的值也不確定，故無法判斷x＋2>0是否成立，不能判斷其真假，故(1)不是命題； (2)x雖為未知數(shù)，但x2≥0，所以x2＋2≥2，故可判斷x2＋2>0成立，故(2)為真命題． (3)若A＝B，則A∩B＝A∪B＝A＝B； 若AB，則A∩B＝AA∪B＝

23、B. 由于A，B的關(guān)系未知，所以不能判斷其真假，故(3)不是命題． (4)A為A∪B的子集，故A?A∪B成立，故(4)為真命題． 正解　(2)、(4)是命題，且都為真命題． 誤區(qū)2　原命題為真，其否命題必為假 例2　判斷下列命題的否命題的真假： (1)若a＝0，則ab＝0； (2)若a2>b2，則a>b. 錯解　(1)因為原命題為真命題，故其否命題是假命題； (2)因為原命題為假命題，故其否命題為真命題． 剖析　否命題的真假與原命題的真假沒有關(guān)系，否命題的真假不能根據(jù)原命題的真假來判斷，應(yīng)先寫出命題的否命題，再判斷． 正解　(1)否命題：若a≠0，則ab≠0，是假

24、命題； (2)否命題：若a2≤b2，則a≤b，是假命題． 誤區(qū)3　用“且”“或”聯(lián)結(jié)命題時只聯(lián)結(jié)條件或結(jié)論 例3　(1)已知p：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11；q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝2，試寫出p∨q. (2)p：四條邊相等的四邊形是正方形；q：四個角相等的四邊形是正方形，試寫出p∧q. 錯解　(1)p∨q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11或x＝2. (2)p∧q：四條邊相等且四個角相等的四邊形是正方形． 剖析　(1)(2)兩題中p，q都是假命題，所以“p∨q”，“p∧q”也都應(yīng)是假命題．而上述解答中寫出的兩命題卻都是真命題．錯誤

25、原因：(1)只聯(lián)結(jié)了兩個命題的結(jié)論；(2)只聯(lián)結(jié)了兩個命題的條件． 正解　(1)p∨q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11或方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝2. (2)p∧q：四條邊相等的四邊形是正方形且四個角相等的四邊形是正方形． 誤區(qū)4　對含有一個量詞的命題否定不完全 例4　已知命題p：存在一個實數(shù)x，使得x2－x－2<0，寫出綈p. 錯解一　綈p：存在一個實數(shù)x，使得x2－x－2≥0. 錯解二　綈p：對任意的實數(shù)x，都有x2－x－2<0. 剖析　該命題是存在性命題，其否定是全稱命題，但錯解一中得到的綈p仍是存在性命題，顯然只對結(jié)論進(jìn)行了否定，而沒有對存在量

26、詞進(jìn)行否定；錯解二中只對存在量詞進(jìn)行了否定，而沒有對結(jié)論進(jìn)行否定． 正解　綈p：對任意的實數(shù)x，都有x2－x－2≥0. 誤區(qū)5　忽略了隱含的量詞 例5　寫出下列命題的否定： (1)p：若2x>4，則x>2； (2)p：可以被5整除的數(shù)末位是0； (3)p：能被8整除的數(shù)也能被4整除． 錯解　(1)綈p：若2x>4，則x≤2. (2)綈p：可以被5整除的數(shù)末位不是0. (3)綈p：能被8整除的數(shù)不能被4整除． 剖析　由于有些全稱命題或存在性命題隱含了量詞，從而導(dǎo)致未變化量詞而直接否定結(jié)論出現(xiàn)錯誤． 正解　(1)綈p：存在x，使得若2x>4，則x≤2. (2)綈p：存在

27、可以被5整除的數(shù)末位不是0. (3)綈p：存在能被8整除的數(shù)不能被4整除. 7　解“邏輯”問題的三意識 1．轉(zhuǎn)化意識 由于互為逆否的兩個命題同真假，因此，當(dāng)原命題的真假不易判斷或證明原命題較困難時，可以轉(zhuǎn)化為逆否命題的真假來判斷或證明． 例1　證明：若a2－b2＋2a－4b－3≠0，則a－b≠1. 分析　本題直接證明原命題是真命題，顯然不太容易，可考慮轉(zhuǎn)化為證明它的逆否命題是真命題． 證明　命題“若a2－b2＋2a－4b－3≠0，則a－b≠1”的逆否命題是“a－b＝1，則a2－b2＋2a－4b－3＝0”．由a－b＝1，得a2－b2＋2a－4b－3＝(a＋b)(a－

28、b)＋2(a－b)－2b－3＝a－b－1＝0. ∵原命題的逆否命題是真命題， ∴原命題也是真命題． 故若a2－b2＋2a－4b－3≠0，則a－b≠1. 例2　已知p：x2－8x－20>0，q：x2－2x＋1－a2>0，若p是q的充分不必要條件，求正實數(shù)a的取值范圍． 分析　將充分、必要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為集合運算問題． 解　解不等式x2－8x－20>0， 得p：A＝{x|x>10或x<－2}； 解不等式x2－2x＋1－a2>0， 得q：B＝{x|x>1＋a或x<1－a，a>0}． 依題意p?q，但q? p，說明AB. 于是有或解得0

29、數(shù)a的取值范圍是(0,3]． 2．簡化意識 判斷命題真假的關(guān)鍵：一是識別命題的構(gòu)成形式；二是分別將各命題簡化，對等價的簡化命題進(jìn)行判斷． 例3　已知命題p：函數(shù)y＝log0.5(x2＋2x＋a)的值域為R，命題q：函數(shù)y＝－(5－2a)x是R上的減函數(shù)．若p或q為真命題，p且q為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是________． 分析　先將命題p，q等價轉(zhuǎn)化，再根據(jù)題意構(gòu)建關(guān)于a的關(guān)系式，從而得到a的取值范圍． 解析　函數(shù)y＝log0.5(x2＋2x＋a)的值域為R，即y＝x2＋2x＋a的值域是(0，＋∞)，即在方程x2＋2x＋a＝0中，Δ＝4－4a≥0?a≤1，即p真?a≤1； 函數(shù)

30、y＝－(5－2a)x是減函數(shù)?5－2a>1?a<2， 即q真?a<2. 由p或q為真命題，p且q為假命題知，命題p，q中必有一真一假．若p真q假，則無解；若p假q真，則1