《2017-2018學年高中數(shù)學 第一單元 基本初等函數(shù)（Ⅱ）1.2.4 誘導公式（二）學案 新人教B版必修4》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2017-2018學年高中數(shù)學 第一單元 基本初等函數(shù)（Ⅱ）1.2.4 誘導公式（二）學案 新人教B版必修4（11頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 1.2.4　誘導公式(二) 學習目標　1.掌握誘導公式(四)的推導，并能應用解決簡單的求值、化簡與證明問題.2.對誘導公式(一)至(四)，能作綜合歸納，體會出四組公式的共性與個性，培養(yǎng)由特殊到一般的數(shù)學推理意識和能力.3.繼續(xù)體會知識的“發(fā)生”、“發(fā)現(xiàn)”過程，培養(yǎng)研究問題、發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力. 知識點一　角α與α＋的三角函數(shù)間的關系 思考　α＋的終邊與α的終邊有怎樣的對稱關系？其三角函數(shù)值呢？ 梳理　誘導公式(四) cos(α＋)＝　　　　， sin(α＋)＝　　　　， tan(α＋)＝　　　　， cot(α＋)＝　　　　. 知識點二　角

2、α與－α＋的三角函數(shù)間的關系 以－α替代公式(四)中的α，可得到誘導公式(四)的補充： cos(－α＋)＝sin α， sin(－α＋)＝cos α， tan(－α＋)＝cot α， cot(－α＋)＝tan α. 梳理　±α的正弦(余弦)函數(shù)值，分別等于α的余弦(正弦)函數(shù)值，前面加上一個把α看成銳角時原函數(shù)值的符號，簡記為：“函數(shù)名改變，符號看象限”或“正變余、余變正、符號象限定”. 類型一　利用誘導公式求值 例1　(1)已知cos(π＋α)＝－，α為第一象限角，求cos的值； (2)已知cos＝，求cos·sin的值. 反思與感悟　對于這類問題

3、，關鍵是要能發(fā)現(xiàn)它們的互余、互補關系：如－α與＋α，＋α與－α，－α與＋α等互余，＋θ與－θ，＋θ與－θ等互補，遇到此類問題，不妨考慮兩個角的和，要善于利用角的變換來解決問題. 跟蹤訓練1　已知sin＝，求cos的值. 類型二　利用誘導公式證明三角恒等式 例2　求證：＝－tan α. 反思與感悟　利用誘導公式證明等式問題，關鍵在于公式的靈活應用，其證明的常用方法： (1)從一邊開始，使得它等于另一邊，一般由繁到簡. (2)左右歸一法：即證明左右兩邊都等于同一個式子. (3)湊合法：即針對題設與結論間的差異，有針對性地進行變形，以消除其差異，

4、簡言之，即化異為同. 跟蹤訓練2　求證：＝. 類型三　誘導公式在三角形中的應用 例3　在△ABC中，sin＝sin，試判斷△ABC的形狀. 反思與感悟　解此類題需注意隱含的條件，如在△ABC中，A＋B＋C＝π，＝，結合誘導公式得到以下的一些常用等式：sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C，sin＝cos，cos＝sin. 跟蹤訓練3　在△ABC中，給出下列四個式子： ①sin(A＋B)＋sin C； ②cos(A＋B)＋cos C； ③sin(2A＋2B)＋sin 2C； ④cos(2A＋2B)＋cos 2

5、C. 其中為常數(shù)的是(　　) A.①③ B.②③ C.①④ D.②④ 類型四　誘導公式的綜合應用 例4　已知f(α)＝. (1)化簡f(α)； (2)若角A是△ABC的內(nèi)角，且f(A)＝，求tan A－sin A的值. 反思與感悟　解決此類問題時，可先用誘導公式化簡變形，將三角函數(shù)的角統(tǒng)一后再用同角三角函數(shù)關系式，這樣可避免公式交錯使用而導致的混亂. 跟蹤訓練4　已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求·tan2(π－α)的值. 1.已知sin＝，則cos的值為(　　) A.－ B. C

6、. D.－ 2.若cos(2π－α)＝，則sin(－α)等于(　　) A.－ B.－ C. D.± 3.已知tan θ＝2，則等于(　　) A.2 B.－2 C.0 D. 4.已知cos＝2sin， 求的值. 5.已知sin(π＋α)＝－.計算： (1)cos；(2)sin；(3)tan(5π－α). 1.誘導公式的分類及其記憶方式 (1)誘導公式分為兩大類： ①α＋k·2π，－α，α＋(2k＋1)π(k∈Z)的三角函數(shù)值，等于α的同名三角函數(shù)值，前面加上一個把α看成銳角時原函數(shù)值的符號，為了便于記憶，可

7、簡單地說成“函數(shù)名不變，符號看象限”. ②α＋，－α＋的三角函數(shù)值，等于α的異名三角函數(shù)值，前面加上一個把α看成銳角時原函數(shù)值的符號，記憶口訣為“函數(shù)名改變，符號看象限”. (2)以上兩類公式可以歸納為：k·＋α(k∈Z)的三角函數(shù)值，當k為偶數(shù)時，得α的同名函數(shù)值；當k為奇數(shù)時，得α的異名函數(shù)值，然后在前面加上一個把α看成銳角時原函數(shù)值的符號. 2.利用誘導公式求任意角的正弦、余弦函數(shù)值，常采用“負角化正角，大角化小角，最后轉化成(0，)內(nèi)的三角函數(shù)值”這種方式求解. 用誘導公式把任意角的三角函數(shù)轉化為0到之間的角的三角函數(shù)的基本步驟： 答案精析 問題導學 知識點一

8、 思考　如圖所示，設角α的終邊與單位圓交于點P，則點P的坐標為(cos α，sin α)． 點P關于直線y＝x的對稱點為M，點M也在單位圓上，且M點坐標為(sin α，cos α)． 點M關于y軸的對稱點為N，點N也在單位圓上，且N點坐標為(－sin α，cos α)． 另一方面，點P經(jīng)過以上兩次軸對稱變換到達點N，等同于點P沿單位圓旋轉到點N，且旋轉角的大小為∠PON＝2(∠AOM＋∠MOB)＝2×＝. 因此點N是角α＋與單位圓的交點，點N的坐標為 . 所以有cos＝－sin α， sin＝cos α， 故tan＝－cot α， cot＝－tan α. 梳理?。璼in

9、α　cos α?。璫ot α?。璽an α 題型探究 例1　解　(1)∵cos(π＋α)＝－cos α ＝－， ∴cos α＝，又α為第一象限角， 則cos＝－sin α ＝－ ＝－＝－. (2)cos·sin ＝cos·sin ＝－cos·sin ＝－sin ＝－cos＝－. 跟蹤訓練1　. 例2　證明　∵左邊＝ ＝ ＝ ＝＝－ ＝－tan α＝右邊． ∴原等式成立． 跟蹤訓練2　證明　因為左邊＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝. 右邊＝＝. 所以左邊＝右邊，故原等式成立． 例3　解　∵A＋B＋C＝π， ∴A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B.

10、 ∵sin＝sin， ∴sin＝sin， ∴sin(－C)＝sin(－B)， 即cos C＝cos B. 又∵B，C為△ABC的內(nèi)角，∴C＝B， ∴△ABC為等腰三角形． 跟蹤訓練3　B 例4　解　(1)f(α)＝ ＝cos α. (2)因為f(A)＝cos A＝， 又A為△ABC的內(nèi)角， 所以由平方關系，得sin A＝＝，所以tan A＝＝， 所以tan A－sin A＝－＝. 跟蹤訓練4　－ 當堂訓練 1．D　2.A　3.B 4．解　∵cos＝2sin， ∴－sin α＝－2sin， ∴sin α＝2cos α，即tan α＝2. ∴ ＝ ＝

11、＝＝ ＝＝ ＝ ＝＝ ＝＝. 5．解　∵sin(π＋α)＝－sin α＝－， ∴sin α＝. (1)cos＝cos ＝－sin α＝－. (2)sin＝cos α，cos2α＝1－sin2α＝1－＝. ∵sin α＝， ∴α為第一或第二象限角． ①當α為第一象限角時，sin＝cos α＝. ②當α為第二象限角時， sin＝cos α＝－. (3)tan(5π－α)＝tan(π－α)＝－tan α， ∵sin α＝， ∴α為第一或第二象限角． ①當α為第一象限角時，cos α＝， ∴tan α＝， ∴tan(5π－α)＝－tan α＝－. ②當α為第二象限角時，cos α＝－，tan α＝－， ∴tan(5π－α)＝－tan α＝. 11