《2018版高中數學 第三章 指數函數和對數函數 5.1 對數函數的概念 5.2 對數函數y＝log2x的圖像和性質學案 北師大版必修1》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2018版高中數學 第三章 指數函數和對數函數 5.1 對數函數的概念 5.2 對數函數y＝log2x的圖像和性質學案 北師大版必修1（7頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 5．1　對數函數的概念 5．2　對數函數y＝log2x的圖像和性質 學習目標　1.理解對數函數的概念以及對數函數與指數函數間的關系(重點)；2.了解指數函數與對數函數互為反函數，并會求指數函數或對數函數的反函數(重、難點)；3.會畫具體函數的圖像(重點)． 預習教材P89－93完成下列問題： 知識點一　對數函數 一般地，我們把函數y＝logax(a>0，a≠1)叫作對數函數，a叫作對數函數的底數，x是真數，定義域是(0，＋∞)，值域是R． 兩類特殊的對數函數 常用對數函數：y＝lgx，其底數為10． 自然對數函數：y＝lnx，其底數為無理數e． 【預習評價】 1．下

2、列函數是對數函數的是(　　) A．y＝ln x B．y＝ln(x＋1) C．y＝logxe D．y＝logxx 解析　由對數函數的定義知y＝ln x是對數函數，其余三個均不符合對數函數的特征． 答案　A 2．函數f(x)＝log2(x－1)的定義域是________． 解析　由題意知x－1>0，即x>1，故定義域為(1，＋∞)． 答案　(1，＋∞) 知識點二　反函數 指數函數y＝ax(a>0，a≠1)是對數函數y＝logax(a>0，a≠1)的反函數；同時對數函數y＝logax(a>0，a≠1)也是指數函數y＝ax(a>0，a≠1)的反函數，即同底的指數函數與對數函數互為

3、反函數． 【預習評價】 1．你能把指數式y(tǒng)＝ax(a>0，a≠1)化成對數式嗎？在這個對數式中，x是y的函數嗎？ 提示　根據對數的定義，得x＝logay(a>0，a≠1)．因為y＝ax是單調函數，每一個y都有唯一確定的x與之對應，所以x是y的函數． 2．函數y＝ax的定義域和值域與y＝logax的定義域和值域有什么關系？ 提示　對數函數y＝logax的定義域是指數函數y＝ax的值域，對數函數y＝logax的值域是指數函數y＝ax的定義域． 知識點三　函數y＝log2x的圖像和性質 觀察函數y＝log2x的圖像可得： 圖像特征 函數性質 過點(1,0) 當x＝1時，y＝0

4、 在y軸的右側 定義域是(0，＋∞) 向上、向下無限延伸 值域是R 在直線x＝1右側，圖像位于x軸上方；在直線x＝1左側，圖像位于x軸下方 若x>1，則y>0；若0

5、　(1)如圖 (2)在(0，＋∞)內，指數函數y＝2x與對數函數y＝log2x均單調遞增． 題型一　對數函數的定義 【例1】　判斷下列函數是否是對數函數？并說明理由． ①y＝logax2(a>0，且a≠1)；②y＝log2x－1；③y＝2log8x；④y＝logxa(x>0，且x≠1)；⑤y＝log5x． 解　因為①中真數是x2，而不是x，所以不是對數函數； 因為②中y＝log2x－1常數項為－1，而非0，故不是對數函數；因為③中l(wèi)og8x前的系數是2，而不是1，所以不是對數函數；因為④中底數是自變量x，而非常數a，所以不是對數函數．⑤為對數函數． 規(guī)律方法　判斷一個函數

6、是否是對數函數的方法 (1)看形式：判斷一個函數是否是對數函數，關鍵是看解析式是否符合y＝logax(a>0且a≠1)這一結構形式． (2)明特征：對數函數的解析式具有三個特征： ①系數為1； ②底數為大于0且不等于1的常數； ③對數的真數僅有自變量x． 只要有一個特征不具備，則不是對數函數． 【訓練1】　(1)對數函數y＝log(a－3)(7－a)中，實數a的取值范圍是(　　) A．(－∞，7) B．(3,7) C．(3,4)∪(4,7) D．(3，＋∞) (2)若函數y＝f(x)是函數y＝ax(a>0且a≠1)的反函數，其圖像經過點，求f(2)． (1)解析　由題

7、意得解得32且x≠3， 所以定義域為(2,3)∪(3，＋∞)． (2)由即 解得－1

8、的不等式(組)． (2)解不等式(組)：根據不等式(組)的解法步驟求出x滿足的范圍． (3)結論：寫出函數的定義域． 提醒　(1)通過建立不等關系求定義域時，要注意解集為各不等關系解集的交集． (2)當對數型函數的底數含字母時，在求定義域時要注意分類討論． 【訓練2】　函數y＝lg的定義域為(　　) A. B． C．(2，＋∞) D． 解析　要使函數y＝lg有意義需2x－3>0，即x>． 答案　A 題型三　求反函數 【例3】　求下列函數的反函數． (1)y＝10x；(2)y＝x；(3)y＝x；(4)y＝log7x． 解　(1)指數函數y＝10x，它的底數是10，它

9、的反函數是對數函數y＝lg x． (2)指數函數y＝x，它的底數是，它的反函數是對數函數y＝x． (3)對數函數y＝x，它的底數是，它的反函數是指數函數y＝x． (4)對數函數y＝log7x，它的底數是7，它的反函數是指數函數y＝7x． 規(guī)律方法　(1)指數函數y＝ax與對數函數y＝logax互為反函數． (2)互為反函數的兩個函數的定義域、值域相反，并且反函數是相對而言的． (3)互為反函數的兩個函數的圖像關于直線y＝x對稱． 【訓練3】　寫出下列函數的反函數(用x表示自變量，y表示函數)． (1)y＝2.5x；(2)y＝x． 解　(1)函數y＝2.5x的反函數是y＝log

10、2.5x(x>0)． (2)由y＝x得x＝y(tǒng)，所以函數y＝x的反函數為y＝x. 互動 探究 　題型四　函數y＝log2x的圖像與性質 【探究1】　根據函數f(x)＝log2x的圖像和性質求解以下問題： (1)若f(a)>f(2)，求a的取值范圍； (2)求y＝log2(2x－1)在x∈[2,14]上的最值． 解　函數y＝log2x的圖像如圖． (1)∵y＝log2x是增函數， 若f(a)>f(2)，即log2a>log22，則a>2． ∴a的取值范圍為(2，＋∞)． (2)∵2≤x≤14，∴3≤2x－1≤27， ∴l(xiāng)og23≤log2(2x－1)≤log227

11、． ∴函數y＝log2(2x－1)在x∈[2,14]上的最小值為log23，最大值為log227． 【探究2】　(1)比較log2與log2的大?。? (2)若log2(2－x)>0，求x的取值范圍． 解　(1)函數f(x)＝log2x在(0，＋∞)上為增函數， 又∵>，∴l(xiāng)og2>log2． (2)log2(2－x)>0，即log2(2－x)>log21， ∵函數y＝log2x為增函數， ∴2－x>1，即x<1． ∴x的取值范圍為(－∞，1)． 【探究3】　作出函數y＝|log2(x＋1)|＋2的圖像，并說明其單調性． 解　第一步：作出y＝log2x的圖像[如圖(1)所示

12、]． 第二步：將y＝log2x的圖像沿x軸向左平移1個單位長度，得y＝log2(x＋1)的圖像[如圖(2)所示]． 第三步：將y＝log2(x＋1)的圖像在x軸下方的部分以x軸為對稱軸翻折到x軸的上方，得y＝|log2(x＋1)|的圖像[如圖(3)所示]． 第四步：將y＝|log2(x＋1)|的圖像沿y軸方向向上平移2個單位長度，得y＝|log2(x＋1)|＋2的圖像[如圖(4)所示]． 規(guī)律方法　1.函數f(x)＝log2x是最基本的對數函數．它在(0，＋∞)上是單調遞增的．利用單調性可以解不等式，求函數值域，比較對數值的大小． 2．(1)一般地，函數y＝f(x±a)±b(a，

13、b均為正數)的圖像可由函數y＝f(x)的圖像變換得到． 將y＝f(x)的圖像向左或向右平移a個單位長度得到函數y＝f(x±a)的圖像，再向上或向下平移b個單位長度得到函數y＝f(x±a)±b的圖像(記憶口訣：左加右減，上加下減)． (2)含有絕對值的函數的圖像變換是一種對稱變換．一般地，y＝f(|x－a|)的圖像是關于直線x＝a對稱的軸對稱圖形；函數y＝|f(x)|的圖像與y＝f(x)的圖像在x軸上方相同，在x軸下方關于x軸對稱． (3)y＝f(x)的圖像與y＝f(－x)的圖像關于y軸對稱，y＝f(x)的圖像與y＝－f(x)的圖像關于x軸對稱． 課堂達標 1．函數f(x)＝lg(

14、x－1)＋的定義域為(　　) A．(1,4] B．(1,4) C．[1,4] D．[1,4) 解析　解得11， ∴原函數的定義域是． 課堂小結 1．解與對數有關的問題，首先要保證在定義域范圍內解題，即真數大于零，底數大于零且不等于1，函數定義域的結果一定要寫成集合或區(qū)間的形式． 2．指數函數y＝ax與對數函數y＝logax互為反函數，它們定義域與值域互反，圖像關于直線y＝x對稱． 3．應注意數形結合思想在解題中的應用． 7