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2018高中數(shù)學(xué) 初高中銜接讀本 專(zhuān)題5.2 三角形的重心、垂心、外心和內(nèi)心高效演練學(xué)案

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1、 第2講 三角形的重心、垂心、外心和內(nèi)心 三角形是最重要的基本平面圖形,它包含了豐富的知識(shí),也蘊(yùn)含了深刻的思想,很多較復(fù)雜的圖形問(wèn)題可以化歸為三角形的問(wèn)題。三角形與高中三角函數(shù)、向量、解三角形及立體幾何等部分都有密切的聯(lián)系,因而扎實(shí)掌握三角形的相關(guān)知識(shí)是進(jìn)一步學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。 初中階段大家已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形邊上中線、高線、垂直平分線及內(nèi)角平分線的一些性質(zhì)。如三角形角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等;三角形邊的垂直平分線上的點(diǎn)到這條邊兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等,諸如此類(lèi)。 在高中學(xué)習(xí)中,還會(huì)涉及到三角形三條中線交點(diǎn)(重心)、三條高線交點(diǎn)(垂心)、三條邊的垂直平分線交點(diǎn)(外心)及三條內(nèi)角平分線

2、交點(diǎn)(內(nèi)心)的問(wèn)題,因而有必要進(jìn)一步了解它們的性質(zhì)。 【知識(shí)梳理】 三角形的四心 (1)角平分線:三角形的三條角平分線交于一點(diǎn),這點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心,它到三角形各邊的距離相等. (2)高線:三角形的三條高線交于一點(diǎn),這點(diǎn)叫做三角形的垂心. (3)中線:三角形的三條中線交于一點(diǎn),這點(diǎn)叫做三角形的重心. (4)垂直平分線:三角形的三條垂直平分線交于一點(diǎn),這點(diǎn)叫做三角形的外心,外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等. 【高效演練】 1.如圖所示,在△ABC中,點(diǎn)P是△ABC的內(nèi)心,則∠PBC+∠PCA+∠PAB=   度. 2.設(shè)為的重心,且,,,則的面積為  

3、 . 【解析】由,,,有, 知兩中線,垂直. 于是. 【答案】18 3.已知、分別為銳角的垂心和外心,,垂足為,則________. 【解析】可延長(zhǎng)交的外接圓于,證明四邊形為平行四邊形即可. 【答案】2∶1 4. 如圖,正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,在OB上任取一點(diǎn)P,連結(jié)AP,過(guò)D作AP垂線 交OA于Q點(diǎn). 求證:OP=OQ. 【解析】 在△APD中,由AO⊥PD,DQ⊥AP可知,點(diǎn)Q是△APD的垂心,連結(jié)PQ,必有PQ⊥AD. ∵AB⊥AD,∴PQ∥BA, ∴ 又∵OA=OB,∴OP=OQ. 5. 如圖3,在△ABC中,AB=AC,過(guò)

4、BC的中點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E,G是DE的中點(diǎn), 求證:AG⊥BE. 6.求證:三角形的三條高交于一點(diǎn). 已知 中,AD與BE交于H點(diǎn). 求證 . 證明 以CH為直徑作圓, 在以CH為直徑的圓上, . 同理,E、D在以AB為直徑的圓上,可得. , 又與有公共角,,即. 7.(1)設(shè)G是△ABC的重心,證明:△GBC,△GAC,△GAB的面積相等. (2)利用(1)的結(jié)論,證明:三角形頂點(diǎn)到重心的距離,等于重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍. 【分析】(1)設(shè)三條中線為AD,BE,CF,三中線交于G點(diǎn),G是重心,由同底等高得到S△GBC=2S△

5、GCD,S△GAC=2S△GCD,由此能證明△GBC,△GAC,△GAB的面積相等. (2)設(shè)三條中線為AD,BE,CF,三中線交于G點(diǎn),G是重心,由S△GBC=S△GAC,S△GBC=2S△GCD,得到S△GAC=2S△GCD,由此能證明三角形頂點(diǎn)到重心的距離,等于重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍. (2)證明:設(shè)三條中線為AD,BE,CF,三中線交于G點(diǎn),G是重心, ∵△GBC,△GAC,△GAB的面積相等, ∴S△GBC=S△GAC, ∵BD=CD,∴S△GBC=2S△GCD, ∴S△GAC=2S△GCD, ∵△AGC和△DGC在分別以AG和DG為底時(shí),高都是點(diǎn)C到邊AD的距

6、離, ∴AG=2GD,同理可證CG=2GF,BG=2GE, ∴三角形頂點(diǎn)到重心的距離,等于重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形面積相等的證明,考查三角形重心定理的證明,解題時(shí)要注意三角形面積公式的合理運(yùn)用 8.已知三角形的三邊a,b,c,三角形的重心到外接圓的距離為d,外接圓半徑為R,求證:a2+b2+c2+9d2=9R2. 【分析】以△ABC的外心為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系,可令A(yù)、B、C的坐標(biāo)依次是:(Rcosα,Rsinα)、(Rcosβ,Rsinβ)、(Rcosγ,Rsinγ).令A(yù)B中點(diǎn)為D、△ABC的重心為G(m,n),求出m,n,進(jìn)而可證明a2+b2+c2+9d2

7、=9R2. 于是: a2=(Rcosβ﹣Rcosγ)2+(Rsinβ﹣Rsinγ)2=R2(2﹣2cosβcosγ﹣2sinβsinγ) b2=(Rcosα﹣Rcosγ)2+(Rsinα﹣Rsinγ)2=R2(2﹣2cosαcosγ﹣2sinαsinγ), c2=(Rcosα﹣Rcosβ)2+(Rsinα﹣Rsinβ)2=R2(2﹣2cosαcosβ﹣2sinαsinβ). 9d2=9[(m﹣0)2+(n﹣0)2]=9{[R(cosα+cosβ+cosγ)﹣0]2+[R(sinα+sinβ+sinγ)﹣0]2} =R2[(cosα+cosβ+cosγ)2+(sinα+sinβ+

8、sinγ)2] =R2(3+2cosαcosβ+2cosβcosγ+2cosαcosγ+2sinαsinβ+2sinβsinγ+2sinαsinγ). ∴a2+b2+c2+9d2=9R2. 9.一條直線截三角形,把周長(zhǎng)與面積分為對(duì)應(yīng)的兩部分:與,與. 求證:直線過(guò)三角形內(nèi)心的充要條件是. 【解析】證明: 必要性:如圖1,設(shè)是的內(nèi)心,過(guò)的直線交于,交于. 記,, ,,, 內(nèi)切圓半徑為,則, . 由,有. 充分性:設(shè)直線把的周長(zhǎng)與面積分為對(duì)應(yīng)的兩部分成等比, 且與交于,與交,與的平分線交于. 記,,,,, 到,的距離為,到的距離為. 由得 注意到,從而有,即, 故為的內(nèi)心,即直線過(guò)內(nèi)心. 6

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