《2018高中數(shù)學 初高中銜接讀本 專題2.2 根與系數(shù)的關系韋達定理)高效演練學案》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《2018高中數(shù)學 初高中銜接讀本 專題2.2 根與系數(shù)的關系韋達定理)高效演練學案(7頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
第2講 根與系數(shù)的關系(韋達定理)
現(xiàn)行初中數(shù)學教材主要要求學生掌握一元二次方程的概念、解法及應用,而一元二次方程的根的判斷式及根與系數(shù)的關系,在高中教材中的二次函數(shù)、不等式及解析幾何等章節(jié)有著重要應用.本專題將對一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關系等進行講述。
【知識梳理】
一元二次方程的根與系數(shù)的關系(韋達定理)
一元二次方程的兩個根為:
所以:,
定理:如果一元二次方程的兩個根為,那么:
說明:一元二次方程根與系數(shù)的關系由十六世紀的法國數(shù)學家韋達發(fā)現(xiàn),所以通常把此定理稱為”韋達定理”.上述定理成立的前提是.
【高效演練】
1.若 是一
2、元二次方程 的兩個根,則的值是( )
A.2 B.-2 C.4 D.-3
【解析】:方程的兩根為,,根據(jù)題意得.故選D.
【答案】D.
2.若α,β是方程x2﹣2x﹣3=0的兩個實數(shù)根,則α2+β2的值為( ?。?
A. 5 B. 7 C. 9 D. 10
【解析】∵α,β是方程x2﹣2x﹣3=0的兩個實數(shù)根,∴α+β=2,αβ=﹣3,
∴α2+β2=(α+β)2﹣2αβ=22﹣2×(﹣3)=10.故選D.
【答案】D
3.關于x的一元二次方程x2+px+q=0的
3、兩根同為負數(shù),則( )
A. p>0且q>0 B. p>0且q<0
C. p<0且q>0 D. p<0且q<0
【解析】試題解析:設x1,x2是該方程的兩個負數(shù)根,則有x1+x2<0,x1x2>0,
∵x1+x2=-p,x1x2=q
∴-p<0,q>0
∴p>0,q>0.故選A.
【答案】A
4.方程x2-(m+6)x+m2=0有兩個相等的實數(shù)根,且滿足x1+x2=x1x2,則m的值是( )
A. -2或3 B. 3
4、C. -2 D. -3或2
5.規(guī)定:如果關于x的一元二次方程(a≠0)有兩個實數(shù)根,且其中一個根是另一個根的2倍,則稱這樣的方程為“倍根方程”.現(xiàn)有下列結論:
①方程是倍根方程;
②若關于x的方程是倍根方程,則a=±3;
③若關于x的方程(a≠0)是倍根方程,則拋物線與x軸的公共點的坐標是(2,0)和(4,0);
④若點(m,n)在反比例函數(shù)的圖象上,則關于x的方程是倍根方程.
上述結論中正確的有( )
A.①② B.③④ C.②③ D.②④
【解析】
③關于x的方程(a≠0)是倍根方程,∴x2=2x1,∵
5、拋物線的對稱軸是直線x=3,∴拋物線與x軸的交點的坐標是(2,0)和(4,0),故③正確;
④∵點(m,n)在反比例函數(shù)的圖象上,∴mn=4,解得x1=﹣,x2=﹣,∴x2=4x1,∴關于x的方程不是倍根方程;故選C.
【答案】C.
6.已知關于的一元二次方程的兩個實數(shù)根分別為,則=__________.
【解析】∵關于的方程: 的兩個實數(shù)根分別為,
∴,
∴.
【答案】-3
7.若方程的兩實根為a、b,則的值為_______。
【解析】∵方程x2–x–1=0的兩實根為a、b,
∴a+b=1,ab=–1,
∴.
【答案】-1
8.設是方程的兩個實數(shù)根,則的值為____
6、___。
【解析】由是方程的兩個實數(shù)根,
則且,
又
【答案】2017
9.關于x的一元二次方程的兩實數(shù)根之積為負,則實數(shù)m的取值范圍
是 .
10.一元二次方程有兩個實根,一個比3大,一個比3小,的取值范圍為_______。
【解析】解一:由 解得:
解二:設,則如圖所示,只須,解得
【答案】
11.若關于x的一元二次方程x2–4x+k–3=0的兩個實數(shù)根為x1、x2,且滿足x1=3x2,試求出方程的兩個實數(shù)根及k的值.
【解析】由根與系數(shù)的關系,得
x1+x2=4①,x1x2=k–3②
又∵x1=3x2③,
聯(lián)立①、③
7、,解方程組得,
∴k=x1x2+3=3×1+3=6
則方程兩根為x1=3,x2=1;k=6.
【答案】x1=3,x2=1;k=6.
12.已知關于的方程
(1)若這個方程有實數(shù)根,求實數(shù)k的取值范圍;
(2)若方程兩實數(shù)根分別為x1、x2,且滿足,求實數(shù)k的值.
【解析】分析:(1)根據(jù)方程有實根可得△≥0,進而可得[-2(k-3)]2-4×1×(k2-4k-1)≥0,再解即可;
(2)根據(jù)根與系數(shù)的關系可得x1+x2=2(k-3),x1?x2=k2-4k-1,再由完全平方公式可得x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2,代入x1+x2=2(k-3),x1?x2= k2-4
8、k-1可計算出m的值.
解析:(1)∵x2-2(k-3)x+k2-4k-1=0有實數(shù)根,
∴△=4(k-3)2-4(k2-4k-1)=4k2-24k+36-4k2+16k+4=40-8k≥0,
解得:k≤5;
13.已知關于的方程,根據(jù)下列條件,分別求出的值.
(1) 方程兩實根的積為5;
(2) 方程的兩實根滿足.
【解析】(1) ∵方程兩實根的積為5
∴
所以,當時,方程兩實根的積為5.
(2) 由得知:
①當時,,所以方程有兩相等實數(shù)根,故;
②當時,,由于
,故不合題意,舍去.
綜上可得,時,方程的兩實根滿足.
【答案】(1);(2).
14.已知
9、關于x的一元二次方程 ,其中k為常數(shù).
(1)求證:無論k為何值,方程總有兩個不相等實數(shù)根;
(2)已知函數(shù)的圖象不經過第三象限,求k的取值范圍;
(3)若原方程的一個根大于3,另一個根小于3,求k的最大整數(shù)值.
解析:(1)證明:∵△=(k﹣5)2﹣4(1﹣k)=k2﹣6k+21=(k﹣3)2+12>0,∴無論k為何值,方程總有兩個不相等實數(shù)根;
(2)解:∵二次函數(shù)的圖象不經過第三象限,∵二次項系數(shù)a=1,∴拋物線開口方向向上,∵△=(k﹣3)2+12>0,∴拋物線與x軸有兩個交點,設拋物線與x軸的交點的橫坐標分別為x1,x2,∴x1+x2=5﹣k>0,x1x2=1﹣k≥0,
10、解得k≤1,即k的取值范圍是k≤1;
(3)解:設方程的兩個根分別是x1,x2,根據(jù)題意,得(x1﹣3)(x2﹣3)<0,即x1x2﹣3(x1+x2)+9<0,又x1+x2=5﹣k,x1x2=1﹣k,代入得,1﹣k﹣3(5﹣k)+9<0,解得k<.則k的最大整數(shù)值為2.
【答案】(1)證明見解析;(2)k≤1;(3)2.
【解題反思】:本題考查了拋物線與x軸的交點,二次函數(shù)的圖象和性質,二次函數(shù)與一元二次方程的關系,根的判別式,根與系數(shù)的關系,綜合性較強。
15.已知是一元二次方程的兩個實數(shù)根.
(1) 是否存在實數(shù),使成立?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
(2) 求使的值為整數(shù)的實數(shù)的整數(shù)值.
【解析】(1) 假設存在實數(shù),使成立.∵ 一元二次方程的兩個實數(shù)根,∴ ,又是一元二次方程的兩個實數(shù)根,∴
∴ ,但.
∴不存在實數(shù),使成立.
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