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2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第6章 不等式、推理與證明 第3節(jié) 二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題學(xué)案 理 北師大版

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2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第6章 不等式、推理與證明 第3節(jié) 二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題學(xué)案 理 北師大版_第1頁
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1、 第三節(jié) 二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題 [考綱傳真] (教師用書獨(dú)具)1.會(huì)從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組.2.了解二元一次不等式的幾何意義,能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組.3.會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題,并能加以解決. (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第97頁) [基礎(chǔ)知識(shí)填充] 1.二元一次不等式表示的平面區(qū)域 一般地,直線l:ax+by+c=0把直角坐標(biāo)平面分成了三個(gè)部分: (1)直線l上的點(diǎn)(x,y)的坐標(biāo)滿足ax+by+c=0; (2)直線l一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(x,y)的坐標(biāo)滿足ax+by+c>0; (3)直線l另一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(x,

2、y)的坐標(biāo)滿足ax+by+c<0. 所以,只需在直線l的某一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi),任取一特殊點(diǎn)(x0,y0),從ax0+by0+c值的正負(fù),即可判斷不等式表示的平面區(qū)域. 2.線性規(guī)劃相關(guān)概念 名稱 意義 結(jié)束條件 由變量x,y組成的一次不等式組 線性約束條件 由x,y的一次不等式(或方程)組成的等式組 目標(biāo)函數(shù) 欲求最大值或最小值的函數(shù) 線性目標(biāo)函數(shù) 關(guān)于x,y的一次解析式 可行解 在線性規(guī)劃問題中,滿足約束條件的解(x,y) 可行域 由所有可行解組成的集合 最優(yōu)解 使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解,通常在可行域的頂點(diǎn)處取得 二元線性規(guī) 劃問題 如果兩

3、個(gè)變量滿足一組一次不等式,求這兩個(gè)變量的一次函數(shù)的最大值或最小值問題叫作二元線性規(guī)劃問題 3.重要結(jié)論 畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域的直線定界,特殊點(diǎn)定域: (1)直線定界:不等式中無等號(hào)時(shí)直線畫成虛線,有等號(hào)時(shí)直線畫成實(shí)線; (2)特殊點(diǎn)定域:若直線不過原點(diǎn),特殊點(diǎn)常選原點(diǎn);若直線過原點(diǎn),則特殊點(diǎn)常選取(0,1)或(1,0)來驗(yàn)證. [知識(shí)拓展] 1.利用“同號(hào)上,異號(hào)下”判斷二元一次不等式表示的平面區(qū)域: 對(duì)于Ax+By+C>0或Ax+By+C<0,則有 (1)當(dāng)B(Ax+By+C)>0時(shí),區(qū)域?yàn)橹本€Ax+By+C=0的上方; (2)當(dāng)B(Ax+By+C)<0時(shí),區(qū)域?yàn)橹?/p>

4、線Ax+By+C=0的下方. 2.最優(yōu)解和可行解的關(guān)系: 最優(yōu)解必定是可行解,但可行解不一定是最優(yōu)解.最優(yōu)解不一定唯一,有時(shí)唯一,有時(shí)有多個(gè). [基本能力自測] 1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”) (1)不等式Ax+By+C>0表示的平面區(qū)域一定在直線Ax+By+C=0的上方.(  ) (2)線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解可能不唯一.(  ) (3)目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(b≠0)中,z的幾何意義是直線ax+by-z=0在y軸上的截距.(  ) (4)最優(yōu)解指的是使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解.(  ) [答案] (1)× (2)√ (3)× 

5、(4)√ 2.(教材改編)不等式組表示的平面區(qū)域是(  ) C [x-3y+6<0表示直線x-3y+6=0左上方的平面區(qū)域,x-y+2≥0表示直線x-y+2=0及其右下方的平面區(qū)域,故選C.] 3.(2017·全國卷Ⅰ)設(shè)x,y滿足約束條件則z=x+y的最大值為(  ) A.0      B.1 C.2 D.3 D [根據(jù)題意作出可行域,如圖陰影部分所示,由z=x+y得y=-x+z. 作出直線y=-x,并平移該直線, 當(dāng)直線y=-x+z過點(diǎn)A時(shí),目標(biāo)函數(shù)取得最大值. 由圖知A(3,0), 故zmax=3+0=3. 故選D.] 4.若點(diǎn)(m,1)在不等式2x+3y

6、-5>0所表示的平面區(qū)域內(nèi),則m的取值范圍是________. (1,+∞) [∵點(diǎn)(m,1)在不等式2x+3y-5>0所表示的平面區(qū)域內(nèi),∴2m+3-5>0,即m>1.] 5.在平面直角坐標(biāo)系中,不等式組表示的平面區(qū)域的面積是__________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):79140199】 1 [不等式組表示的區(qū)域如圖中的陰影部分所示, 由x=1,x+y=0得A(1,-1), 由x=1,x-y-4=0得B(1,-3), 由x+y=0,x-y-4=0得C(2,-2), ∴|AB|=2,∴S△ABC=×2×1=1.] (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第98頁) 二元一次不等式(組)表示的平面

7、區(qū)域  (1)(2018·北京西城區(qū)二模)在平面直角坐標(biāo)系中,不等式組表示的平面區(qū)域的面積是(  ) A.   B.   C.2   D.2 (2)若滿足條件的整點(diǎn)(x,y)恰有9個(gè),其中整點(diǎn)是指橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn),則整數(shù)a的值為(  ) A.-3 B.-2 C.-1 D.0 (1)B (2)C [(1)作出不等式組表示的平面區(qū)域是以點(diǎn)O(0,0),B(-2,0)和A(1,)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域,如圖所示的陰影部分(含邊界),由圖知該平面區(qū)域的面積為×2×=,故選B. (2)不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,當(dāng)a=0時(shí),平面區(qū)域內(nèi)只有4個(gè)整點(diǎn)(1,1),(

8、0,0),(1,0),(2,0);當(dāng)a=-1時(shí),正好增加(-1,-1),(0,-1),(1,-1),(2,-1),(3,-1)共5個(gè)整點(diǎn),故選C. ] [規(guī)律方法] 確定二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域的方法 (1)“直線定界,特殊點(diǎn)定域”,即先作直線,再取特殊點(diǎn)并代入不等式.若滿足不等式,則不等式表示的平面區(qū)域?yàn)橹本€與特殊點(diǎn)同側(cè)的那一側(cè)區(qū)域;否則就對(duì)應(yīng)與特殊點(diǎn)異側(cè)的平面區(qū)域.不等式組表示的平面區(qū)域即為各不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分. (2)當(dāng)不等式中不等號(hào)為≥或≤時(shí),邊界為實(shí)線,不等號(hào)為>或<時(shí),邊界應(yīng)畫為虛線,若直線不過原點(diǎn),特殊點(diǎn)常取原點(diǎn). [跟蹤訓(xùn)練] 若平面區(qū)域夾在兩

9、條斜率為1的平行直線之間,則這兩條平行直線間的距離的最小值是(  ) A.    B.    C.    D. B [根據(jù)約束條件作出可行域如圖中陰影部分,當(dāng)斜率為1的直線分別過A點(diǎn)和B點(diǎn)時(shí)滿足條件,聯(lián)立方程組 求得A(1,2),聯(lián)立方程組求得B(2,1),可求得分別過A,B點(diǎn)且斜率為1的兩條直線方程為x-y+1=0和x-y-1=0,由兩平行線間的距離公式得距離為=,故選B.] 線性規(guī)劃中的最值問題 ◎角度1 求線性目標(biāo)函數(shù)的最值  (2017·全國卷Ⅱ)設(shè)x,y滿足約束條件則z=2x+y的最小值是(  ) A.-15 B.-9 C.1 D.9 A [不等式組

10、表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示. 將目標(biāo)函數(shù)z=2x+y化為y=-2x+z,作出直線y=-2x并平移,當(dāng)直線y=-2x+z經(jīng)過點(diǎn)A(-6,-3)時(shí),z取最小值,且zmin=2×(-6)-3=-15. 故選A.] ◎角度2 求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值  (2018·濟(jì)南一模)若變量x,y滿足約束條件則的最大值為(  ) A.1 B.3 C. D.5 C [在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出題中的不等式組表示的平面區(qū)域是以(1,1),,(2,2)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域(包含邊界)(圖略),表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)的連線的斜率,由題意得點(diǎn)與原點(diǎn)的連線斜率最大,即的最大值為=,故選C.] ◎角度3 

11、線性規(guī)劃中的參數(shù)問題  (2017·河南安陽一模)已知z=2x+y,其中實(shí)數(shù)x,y滿足且z的最大值是最小值的4倍,則a的值是(  ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào):79140200】 A. B. C.4 D. B [作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖: 由z=2x+y得y=-2x+z, 平移直線y=-2x, 由圖可知當(dāng)直線y=-2x+z經(jīng)過點(diǎn)A時(shí),直線的縱截距最大, 此時(shí)z最大, 由解得 即A(1,1),zmax=2×1+1=3, 當(dāng)直線y=-2x+z經(jīng)過點(diǎn)B時(shí),直線的縱截距最小, 此時(shí)z最小, 由解得 即B(a,a),zmin=2×a+a=3a, ∵z的最大值是最小值的4倍

12、, ∴3=4×3a,即a=,故選B.] [規(guī)律方法] 1.求目標(biāo)函數(shù)最值的解題步驟 (1)作圖——畫出約束條件所確定的平面區(qū)域和目標(biāo)函數(shù)所表示的平行直線系中過原點(diǎn)的那一條直線; (2)平移——將直線平行移動(dòng),以確定最優(yōu)解的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置;最優(yōu)解一般在封閉圖形的邊界或頂點(diǎn)處取得. (3)求值——解方程組求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)(即最優(yōu)解),代入目標(biāo)函數(shù),即可求出最值. 2.常見的三類目標(biāo)函數(shù) (1)截距型:形如z=ax+by. 求這類目標(biāo)函數(shù)的最值常將函數(shù)z=ax+by轉(zhuǎn)化為直線的斜截式:y=-x+,通過求直線的截距的最值間接求出z的最值. (2)距離型:形如z=(x-a)2+(y-b)

13、2. (3)斜率型:形如z=. 易錯(cuò)警示:注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性及幾何意義. [跟蹤訓(xùn)練] (1)(2017·全國卷Ⅲ)設(shè)x,y滿足約束條件則z=x-y的取值范圍是(  ) A.[-3,0] B.[-3,2] C.[0,2] D.[0,3] (2)若變量x,y滿足則x2+y2的最大值是(  ) A.4 B.9 C.10 D.12 (3)(2017·石家莊質(zhì)檢(一))若x,y滿足,且z=3x-y的最大值為2,則實(shí)數(shù)m的值為(  ) A. B. C.1 D.2 (1)B (2)C (3)D [(1)畫出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖中陰影部分所示. 由題意可知,當(dāng)直線y=x-

14、z過點(diǎn)A(2,0)時(shí),z取得最大值,即zmax=2-0=2;當(dāng)直線y=x-z過點(diǎn)B(0,3)時(shí),z取得最小值,即zmin=0-3=-3. 所以z=x-y的取值范圍是[-3,2]. 故選B. (2)作出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖中陰影部分所示.x2+y2表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方,由得A(3,-1),由圖易得(x2+y2)max=|OA|2=32+(-1)2=10.故選C. (3)若z=3x-y的最大值為2,則此時(shí)目標(biāo)函數(shù)為y=3x-2,直線y=3x-2與3x-2y+2=0和x+y=1分別交于A(2,4),B,mx-y=0經(jīng)過其中一點(diǎn),所以m=2或m=,當(dāng)m=時(shí),經(jīng)檢驗(yàn)不符

15、合題意,故m=2,選D.] 線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用  (2016·全國卷Ⅰ)某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料,生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5個(gè)工時(shí);生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3個(gè)工時(shí).生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2 100元,生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元.該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg,乙材料90 kg,則在不超過600個(gè)工時(shí)的條件下,生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為________元. 216 000 [設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品A x件,產(chǎn)品B y件,則 目標(biāo)函數(shù)z=2 100x+900y. 作出可

16、行域?yàn)閳D中的陰影部分(包括邊界)內(nèi)的整數(shù)點(diǎn),圖中陰影四邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為(60,100),(0,200),(0,0),(90,0). 當(dāng)直線z=2 100x+900y經(jīng)過點(diǎn)(60,100)時(shí),z取得最大值,zmax=2 100×60+900×100=216 000(元).] [規(guī)律方法] 解線性規(guī)劃應(yīng)用題的步驟 (1)設(shè)變量.(2)列約束條件.(3)建目標(biāo)函數(shù).(4)畫可行域.(5)求最優(yōu)解.(6)作答. [跟蹤訓(xùn)練] 某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A,B兩種原料,已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品所需原料及每天原料的可用限額如表所示.如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤分別為3萬元、4萬元,則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為(  ) 甲 乙 原料限額 A(噸) 3 2 12 B(噸) 1 2 8 A.12萬元 B.16萬元 C.17萬元 D.18萬元 D [設(shè)每天生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品分別為x噸、y噸,每天所獲利潤為z萬元,則有z=3x+4y,作出可行域如圖陰影部分所示,由圖形可知,當(dāng)直線z=3x+4y經(jīng)過點(diǎn)A(2,3)時(shí),z取最大值,最大值為3×2+4×3=18.] 9

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