《2019版高考數(shù)學大一輪復習 第八章 立體幾何初步 第4節(jié) 平行關系學案 北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2019版高考數(shù)學大一輪復習 第八章 立體幾何初步 第4節(jié) 平行關系學案 北師大版（15頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 第4節(jié)　平行關系 最新考綱　1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點，認識和理解空間中線面平行的有關性質與判定定理；2.能運用公理、定理和已獲得的結論證明一些有關空間圖形的平行關系的簡單命題. 知 識 梳 理 1.直線與平面平行 (1)直線與平面平行的定義 直線l與平面α沒有公共點，則稱直線l與平面α平行. (2)判定定理與性質定理 文字語言 圖形表示 符號表示 判定定理 平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線平行于此平面 aα，bα，a∥b?a∥α 性質定理 一條直線和一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行

2、 a∥α，aβ，α∩β＝b?a∥b 2.平面與平面平行 (1)平面與平面平行的定義 沒有公共點的兩個平面叫作平行平面. (2)判定定理與性質定理 文字語言 圖形表示 符號表示 判定定理 一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行 aα，bα，a∩b＝P，a∥β，b∥β?α∥β 性質定理 兩個平面平行，則其中一個平面內的直線平行于另一個平面 α∥β，aα?a∥β 如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b [常用結論與微點提醒] 1.平行關系中的兩個重要結論 (1)

3、垂直于同一條直線的兩個平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β. (2)平行于同一平面的兩個平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ. 2.線線、線面、面面平行間的轉化 診 斷 自 測 1.思考辨析(在括號內打“√”或“×”) (1)若一條直線和平面內一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行.(　　) (2)若直線a∥平面α，P∈α，則過點P且平行于直線a的直線有無數(shù)條.(　　) (3)如果一個平面內的兩條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行.(　　) (4)如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內的兩條直線平行或異面.(　　) 解析　(1)若一條直線和平面內的一條直線平

4、行，那么這條直線和這個平面平行或在平面內，故(1)錯誤. (2)若a∥α，P∈α，則過點P且平行于a的直線只有一條，故(2)錯誤. (3)如果一個平面內的兩條直線平行于另一個平面，則這兩個平面平行或相交，故(3)錯誤. 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2.(教材習題改編)下列命題中正確的是(　　) A.若a，b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經過b的任何平面 B.若直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內的任何直線平行 C.平行于同一條直線的兩個平面平行 D.若直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，bα，則b∥α 解析　根據線面平行的判定與性質定理知，選D.

5、 答案　D 3.設α，β是兩個不同的平面，m是直線且mα.“m∥β”是“α∥β”的(　　) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 解析　當m∥β時，可能α∥β，也可能α與β相交. 當α∥β時，由mα可知，m∥β. ∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分條件. 答案　B 4.(2018·西安模擬)已知m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，則下列命題中正確的是(　　) A.m∥α，n∥α，則m∥n B.m∥n，m∥α，則n∥α C.m⊥α，m⊥β，則α∥β D.α⊥γ，β⊥γ，則α∥β 解析　

6、A中，m與n平行、相交或異面，A不正確；B中，n∥α或nα，B不正確；根據線面垂直的性質，C正確；D中，α∥β或α與β相交，D錯. 答案　C 5.(教材練習改編)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為DD1的中點，則BD1與平面AEC的位置關系為________. 解析　連接BD，設BD∩AC＝O，連接EO，在△BDD1中，O為BD的中點，E為DD1的中點，所以EO為△BDD1的中位線，則BD1∥EO，而BD1平面ACE，EO平面ACE，所以BD1∥平面ACE. 答案　平行 考點一　與線、面平行相關命題的判定 【例1】 (1)(2018·成都診斷)已知m，n是空間

7、中兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，且mα，nβ.有下列命題： ①若α∥β，則m∥n； ②若α∥β，則m∥β； ③若α∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，則α⊥β； ④若α∩β＝l，且m⊥l，m⊥n，則α⊥β. 其中真命題的個數(shù)是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 (2)(2018·安慶模擬)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N，Q分別是棱D1C1，A1D1，BC的中點，點P在BD1上且BP＝BD1，則下面說法正確的是________(填序號). ①MN∥平面APC；②C1Q∥平面APC；③A，P，M三點共線；④平面MNQ∥平面APC. 解析　(1

8、)①若α∥β，則m∥n或m，n異面，不正確； ②若α∥β，根據平面與平面平行的性質，可得m∥β，正確； ③若α∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，則α與β不一定垂直，不正確； ④若α∩β＝l，且m⊥l，m⊥n，l與n不一定相交，不能推出α⊥β，不正確. (2)如圖，對于①，連接MN，AC，則MN∥AC，連接AM，CN， 易得AM，CN交于點P，即MN面APC，所以MN∥面APC是錯誤的. 對于②，由①知M，N在平面APC內，由題易知AN∥C1Q，且AN平面APC，C1Q平面APC. 所以C1Q∥面APC是正確的. 對于③，由①知，A，P，M三點共線是正確的. 對于④，由①知MN

9、面APC，又MN面MNQ，所以面MNQ∥面APC是錯誤的. 答案　(1)B　(2)②③ 規(guī)律方法　1.判斷與平行關系相關命題的真假，必須熟悉線、面平行關系的各個定義、定理，無論是單項選擇還是含選擇項的填空題，都可以從中先選出最熟悉最容易判斷的選項先確定或排除，再逐步判斷其余選項. 2.(1)結合題意構造或繪制圖形，結合圖形作出判斷. (2)特別注意定理所要求的條件是否完備，圖形是否有特殊情況，通過舉反例否定結論或用反證法推斷命題是否正確. 【訓練1】 (1)設m，n是不同的直線，α，β是不同的平面，且m，nα，則“α∥β”是“m∥β且n∥β”的(　　) A.充分不必要條件

10、 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 (2)(2016·全國Ⅱ卷)α，β是兩個平面，m，n是兩條直線，有下列四個命題： ①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β. ②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n. ③如果α∥β，mα，那么m∥β. ④如果m∥n，α∥β，那么m與α所成的角和n與β所成的角相等. 其中正確的命題有________(填寫所有正確命題的編號). 解析　(1)若m，nα，α∥β，則m∥β且n∥β；反之若m，nα，m∥β且n∥β，則α與β相交或平行，即“α∥β”是“m∥β且n∥β”的充分不必要條件. (2)當m⊥n，m⊥α，n∥

11、β時，兩個平面的位置關系不確定，故①錯誤，經判斷知②③④均正確，故正確答案為②③④. 答案　(1)A　(2)②③④ 考點二　直線與平面平行的判定與性質(多維探究) 命題角度1　直線與平面平行的判定 【例2－1】 (2016·全國Ⅲ卷)如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M為線段AD上一點，AM＝2MD，N為PC的中點. (1)證明：MN∥平面PAB； (2)求四面體N－BCM的體積. (1)證明　由已知得AM＝AD＝2. 如圖，取BP的中點T，連接AT，TN，由N為PC中點知TN∥BC，TN＝BC＝2. 又AD∥B

12、C，故TN綊AM，所以四邊形AMNT為平行四邊形，于是MN∥AT. 因為AT平面PAB，MN平面PAB， 所以MN∥平面PAB. (2)解　因為PA⊥平面ABCD，N為PC的中點， 所以N到平面ABCD的距離為PA. 如圖，取BC的中點E，連接AE.由AB＝AC＝3得AE⊥BC，AE＝＝. 由AM∥BC得M到BC的距離為，故S△BCM＝×4×＝2.所以四面體N－BCM的體積VN－BCM＝×S△BCM×＝. 命題角度2　直線與平面平行性質定理的應用 【例2－2】 (2018·宜春質檢)如圖，五面體ABCDE，四邊形ABDE是矩形，△ABC是正三角形，AB＝1，AE＝2，F(xiàn)是線

13、段BC上一點，直線BC與平面ABD所成角為30°，CE∥平面ADF. (1)試確定F的位置； (2)求三棱錐A－CDF的體積. 解　(1)連接BE交AD于點O，連接OF， ∵CE∥平面ADF，CE平面BEC，平面ADF∩平面BEC＝OF， ∴CE∥OF. ∵O是BE的中點，∴F是BC的中點. (2)∵BC與平面ABD所成角為30°，BC＝AB＝1， ∴C到平面ABD的距離為h＝BC·sin 30°＝. ∵AE＝2， ∴VA－CDF＝VF－ACD＝VB－ACD＝VC－ABD ＝×××1×2×＝. 規(guī)律方法　1.利用判定定理判定線面平行，關鍵是找平面內與已知直線平行的直線

14、.常利用三角形的中位線、平行四邊形的對邊或過已知直線作一平面找其交線. 2.在解決線面、面面平行的判定時，一般遵循從“低維”到“高維”的轉化，即從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而在應用性質定理時，其順序恰好相反. 【訓練2】 (2017·江蘇卷)如圖，在三棱錐A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD. 求證：(1)EF∥平面ABC； (2)AD⊥AC. 證明　(1)在平面ABD內，AB⊥AD，EF⊥AD， 則AB∥EF. ∵AB平面ABC，EF平面ABC， ∴EF

15、∥平面ABC. (2)∵BC⊥BD，平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABD⊥平面BCD，BC平面BCD， ∴BC⊥平面ABD. ∵AD平面ABD，∴BC⊥AD. 又AB⊥AD，BC，AB平面ABC，BC∩AB＝B， ∴AD⊥平面ABC， 又因為AC平面ABC，∴AD⊥AC. 考點三　面面平行的判定與性質(典例遷移) 【例3】 (經典母題)如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點，求證： (1)B，C，H，G四點共面； (2)平面EFA1∥平面BCHG. 證明　(1)∵G，H分別是A1B1，A1C1的中點，

16、 ∴GH是△A1B1C1的中位線，則GH∥B1C1. 又∵B1C1∥BC， ∴GH∥BC，∴B，C，H，G四點共面. (2)∵E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，∴EF∥BC， ∵EF平面BCHG，BC平面BCHG， ∴EF∥平面BCHG. 又G，E分別為A1B1，AB的中點，A1B1綊AB， ∴A1G綊EB， ∴四邊形A1EBG是平行四邊形，∴A1E∥GB. ∵A1E平面BCHG，GB平面BCHG， ∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E， ∴平面EFA1∥平面BCHG. 【遷移探究1】 在本例中，若將條件“E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1

17、的中點”變?yōu)椤癉1，D分別為B1C1，BC的中點”，求證：平面A1BD1∥平面AC1D. 證明　如圖所示，連接A1C交AC1于點M， ∵四邊形A1ACC1是平行四邊形， ∴M是A1C的中點，連接MD， ∵D為BC的中點， ∴A1B∥DM. ∵A1B平面A1BD1， DM平面A1BD1， ∴DM∥平面A1BD1， 又由三棱柱的性質知，D1C1綊BD， ∴四邊形BDC1D1為平行四邊形， ∴DC1∥BD1. 又DC1平面A1BD1，BD1平面A1BD1， ∴DC1∥平面A1BD1， 又DC1∩DM＝D，DC1，DM平面AC1D， 因此平面A1BD1∥平面AC

18、1D. 【遷移探究2】 在本例中，若將條件“E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點”變?yōu)椤包cD，D1分別是AC，A1C1上的點，且平面BC1D∥平面AB1D1”，試求的值. 解　連接A1B交AB1于O，連接OD1. 由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，所以BC1∥D1O，則＝＝1. 又由題設＝， ∴＝1，即＝1. 規(guī)律方法　1.判定面面平行的主要方法 (1)利用面面平行的判定定理. (2)線面垂直的性質(垂直于同一直線的兩平面平行). 2.面面平行條件的應用 (1)兩平面平

19、行，分析構造與之相交的第三個平面，交線平行. (2)兩平面平行，其中一個平面內的任意一條直線與另一個平面平行. 提醒　利用面面平行的判定定理證明兩平面平行，需要說明是在一個平面內的兩條直線是相交直線. 【訓練3】 (2018·東北三省四校聯(lián)考)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC＝AA1，E，F(xiàn)分別是棱BC，CC1的中點. (1)若線段AC上存在點D滿足平面DEF∥平面ABC1，試確定點D的位置，并說明理由； (2)證明：EF⊥A1C. (1)解　點D是AC的中點，理由如下： ∵平面DEF∥平面ABC1，平面ABC∩平面DEF＝DE，平面AB

20、C∩平面ABC1＝AB， ∴AB∥DE， ∵在△ABC中，E是BC的中點， ∴D是AC的中點. (2)證明　∵三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝AA1， ∴四邊形A1ACC1是菱形，∴A1C⊥AC1. ∵AA1⊥底面ABC，AB平面ABC，∴AA1⊥AB， 又AB⊥AC，AA1∩AC＝A，∴AB⊥平面AA1C1C， ∵A1C平面AA1C1C，∴AB⊥A1C. 又AB∩AC1＝A，從而A1C⊥平面ABC1， 又BC1平面ABC1， ∴A1C⊥BC1. 又∵E，F(xiàn)分別是BC，CC1的中點， ∴EF∥BC1，從而EF⊥A1C. 基礎鞏固題組 (建議用時：40

21、分鐘) 一、選擇題 1.(2018·安康模擬)有下列命題： ①若直線l平行于平面α內的無數(shù)條直線，則直線l∥α； ②若直線a在平面α外，則a∥α； ③若直線a∥b，b∥α，則a∥α； ④若直線a∥b，b∥α，則a平行于平面α內的無數(shù)條直線. 其中真命題的個數(shù)是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析　命題①l可以在平面α內，不正確；命題②直線a與平面α可以是相交關系，不正確；命題③a可以在平面α內，不正確；命題④正確. 答案　A 2.(2018·長郡中學質檢)如圖所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，過A1B1的平面與平面ABC交于DE，則DE與AB的位置

22、關系是(　　) A.異面 　　 B.平行 C.相交 　　 D.以上均有可能 解析　在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1， ∵AB平面ABC，A1B1平面ABC， ∴A1B1∥平面ABC，∵過A1B1的平面與平面ABC交于DE.∴DE∥A1B1，∴DE∥AB. 答案　B 3.(2018·廣東省際名校聯(lián)考)已知α，β為平面，a，b，c為直線，下列命題正確的是(　　) A.aα，若b∥a，則b∥α B.α⊥β，α∩β＝c，b⊥c，則b⊥β C.a⊥b，b⊥c，則a∥c D.a∩b＝A，aα，bα，a∥β，b∥β，則α∥β 解析　選項A中，bα或b

23、∥α，不正確. B中b與β可能斜交，B錯誤. C中a∥c，a與c異面，或a與c相交，C錯誤. 利用面面平行的判定定理，易知D正確. 答案　D 4.(2018·合肥模擬)若平面α截三棱錐所得截面為平行四邊形，則該三棱錐與平面α平行的棱有(　　) A.0條 B.1條 C.2條 D.1條或2條 解析　如圖所示，四邊形EFGH為平行四邊形，則EF∥GH. ∵EF平面BCD，GH平面BCD， ∴EF∥平面BCD. 又∵EF平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD， ∴EF∥CD. 又EF平面EFGH，CD平面EFGH. ∴CD∥平面EFGH， 同理，AB

24、∥平面EFGH， 所以與平面α(面EFGH)平行的棱有2條. 答案　C 5.(2018·吉安模擬)設直線l，m，平面α，β，則下列條件能推出α∥β的是(　　) A.lα，mα，且l∥β，m∥β B.lα，mβ，且l∥m C.l⊥α，m⊥β，且l∥m D.l∥α，m∥β，且l∥m 解析　借助如圖所示的長方體模型，可以判定選項A，B，D不一定推出α∥β.對于選項C，由l⊥α，l∥m，得m⊥α，又m⊥β，從而α∥β. 答案　C 二、填空題 6.設α，β，γ是三個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，在命題“α∩β＝m，nγ，且________，則m∥n”中的橫線處填入下

25、列三組條件中的一組，使該命題為真命題. ①α∥γ，nβ；②m∥γ，n∥β；③n∥β，mγ. 可以填入的條件有________. 解析　由面面平行的性質定理可知，①正確；當n∥β，mγ時，n和m在同一平面內，且沒有公共點，所以平行，③正確. 答案?、倩颌? 7.如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，點E為AD的中點，點F在CD上.若EF∥平面AB1C，則線段EF的長度等于________. 解析　在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，∴AC＝2. 又E為AD中點，EF∥平面AB1C，EF平面ADC，平面ADC∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC，

26、∴F為DC中點， ∴EF＝AC＝. 答案　 8.(2018·鄭州調研)設m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，給出下列四個命題： ①若mα，n∥α，則m∥n； ②若α∥β，β∥γ，m⊥α，則m⊥γ； ③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，則m∥β； ④若m∥α，n∥β，m∥n，則α∥β. 其中是真命題的是________(填上正確命題的序號). 解析?、賛∥n或m，n異面，故①錯誤；易知②正確；③m∥β或mβ，故③錯誤；④α∥β或α與β相交，故④錯誤. 答案　② 三、解答題 9.一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示. (1)請將字母

27、F，G，H標記在正方體相應的頂點處(不需說明理由)； (2)判斷平面BEG與平面ACH的位置關系，并證明你的結論. 解　(1)點F，G，H的位置如圖所示. (2)平面BEG∥平面ACH，證明如下：因為ABCD－EFGH為正方體， 所以BC∥FG，BC＝FG， 又FG∥EH，F(xiàn)G＝EH， 所以BC∥EH，BC＝EH， 于是四邊形BCHE為平行四邊形，所以BE∥CH. 又CH平面ACH，BE平面ACH，所以BE∥平面ACH. 同理BG∥平面ACH. 又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH. 10.(2018·張家口檢測)如圖，四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD為正

28、方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝2，點E，F(xiàn)分別為AD，PC的中點. (1)證明：DF∥平面PBE； (2)求點F到平面PBE的距離. (1)證明　取PB的中點G，連接EG，F(xiàn)G，則FG∥BC，且FG＝BC. ∵DE∥BC且DE＝BC， ∴DE∥FG且DE＝FG， ∴四邊形DEGF為平行四邊形， ∴DF∥EG. 又DF平面PBE，EG平面PBE， 故DF∥平面PBE. (2)解　由(1)知DF∥平面PBE， ∴點D到平面PBE的距離與F到平面PBE的距離是相等的，故轉化為求點D到平面PBE的距離，設為d，連接BD. ∵VD－PBE＝VP－BDE，∴S△PBE·

29、d＝S△BDE·PD， 由題意可求得PE＝BE＝，PB＝2， ∴S△PBE＝×2×＝. 又S△BDE＝DE·AB＝×1×2＝1， ∴d＝，即點F到平面PBE的距離為. 能力提升題組 (建議用時：20分鐘) 11.已知m，n是兩條不同直線，α，β是兩個不同平面，則下列命題正確的是(　　) A.若α，β垂直于同一平面，則α與β平行 B.若m，n平行于同一平面，則m與n平行 C.若α，β不平行，則在α內不存在與β平行的直線 D.若m，n不平行，則m與n不可能垂直于同一平面 解析　A項，α，β可能相交，故錯誤；B項，直線m，n的位置關系不確定，可能相交、平行或異面，故錯誤；C項

30、，若mα，α∩β＝n，m∥n，則m∥β，故錯誤；D項，假設m，n垂直于同一平面，則必有m∥n與已知m，n不平行矛盾，所以原命題正確，故D項正確. 答案　D 12.如圖所示，棱柱ABC－A1B1C1的側面BCC1B1是菱形，設D是A1C1上的點且A1B∥平面B1CD，則A1D∶DC1的值為________. 解析　設BC1∩B1C＝O，連接OD. ∵A1B∥平面B1CD且平面A1BC1∩平面B1CD＝OD， ∴A1B∥OD，∵四邊形BCC1B1是菱形，∴O為BC1的中點，∴D為A1C1的中點，則A1D∶DC1＝1. 答案　1 13.(2016·山東卷)在如圖所示的幾何體中，D

31、是AC的中點，EF∥DB. (1)已知AB＝BC，AE＝EC.求證：AC⊥FB； (2)已知G，H分別是EC和FB的中點.求證：GH∥平面ABC. 證明　(1)因為EF∥DB，所以EF與DB確定平面BDEF， 圖① 如圖①，連接DE.因為AE＝EC，D為AC的中點， 所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC. 又BD∩DE＝D， 所以AC⊥平面BDEF. 因為FB平面BDEF， 所以AC⊥FB. (2)如圖②，設FC的中點為I，連接GI，HI. 圖② 在△CEF中，因為G是CE的中點， 所以GI∥EF.又EF∥DB， 所以GI∥DB. 在△CFB中，因為H是FB的中點，所以HI∥BC.又HI∩GI＝I， 所以平面GHI∥平面ABC， 因為GH平面GHI， 所以GH∥平面ABC. 15