2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第10章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 第1節(jié) 排列與組合教學(xué)案 理(含解析)新人教A版
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1、第一節(jié) 排列與組合 [考綱傳真] 1.理解分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理.2.能正確區(qū)分“類”和“步”,并能利用兩個(gè)原理解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.3.理解排列的概念及排列數(shù)公式,并能利用公式解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.4.理解組合的概念及組合數(shù)公式,并能利用公式解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題. 1.兩個(gè)計(jì)數(shù)原理 分類加法計(jì)數(shù)原理 分步乘法計(jì)數(shù)原理 條件 完成一件事有兩類不同方案,在第1類方案中有m種不同的方法,在第2類方案中有n種不同的方法 完成一件事需要兩個(gè)步驟,做第1步有m種不同的方法,做第2步有n種不同的方法 結(jié)論 完成這件事共有N=m+n種不同的方法 完成這件事共有N
2、=mn種不同的方法 2.排列、組合的定義 排列的定義 從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素 按照一定的順序排成一列 組合的定義 合成一組 3.排列數(shù)、組合數(shù)的定義、公式、性質(zhì) 排列數(shù) 組合數(shù) 定義 從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù) 從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù) 公式 A=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)= C== 性質(zhì) A=n!,0?。? C=C,C+C=C [基礎(chǔ)自測(cè)] 1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”) (1)所有元素完全相同的兩個(gè)排列為相同排列
3、.( ) (2)在分類加法計(jì)數(shù)原理中,每類方案中的方法都能直接完成這件事.( ) (3)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中,每個(gè)步驟中完成這個(gè)步驟的方法是各不相同的.( ) (4)kC=nC.( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√ 2.(教材改編)圖書館的一個(gè)書架有三層,第一層有3本不同的數(shù)學(xué)書,第二層有5本不同的語(yǔ)文書,第三層有8本不同的英語(yǔ)書,現(xiàn)從中任取1本書,不同的取法有( ) A.12 B.16 C.64 D.120 B [書架上共有3+5+8=16本不同的書,從中任取一本共有16種不同的取法,故選B.] 3.(教材改編)用數(shù)字1,2,3,4,5
4、組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù),其中偶數(shù)的個(gè)數(shù)為( ) A.8 B.24 C.48 D.120 C [末位只能從2,4中選一個(gè),其余的三個(gè)數(shù)字任意排列,故這樣的偶數(shù)共有AC=4×3×2×2=48個(gè).故選C.] 4.某市委從組織機(jī)關(guān)10名科員中選3人擔(dān)任駐村第一書記,則甲、乙至少有1人入選,而丙沒(méi)有入選的不同選法的種數(shù)為( ) A.85 B.56 C.49 D.28 C [法一(直接法):甲、乙兩人均入選,有CC種方法, 甲、乙兩人只有1人入選,有CC種方法, 由分類加法計(jì)數(shù)原理,共有CC+CC=49種選法. 法二(間接法):從9人中選3人有C種方法, 其中甲、
5、乙均不入選有C種方法, ∴滿足條件的選排方法有C-C=84-35=49種.] 5.將6名教師分到三所中學(xué)任教,一所1名,一所2名,一所3名,則有________種不同的分法. 360 [將6名教師分組,分3步完成: 第1步,在6名教師中任取1名作為一組,有C種取法; 第2步,在余下的5名教師中任取2名作為一組,有C種取法; 第3步,余下的3名教師作為一組,有C種取法. 根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有CCC=60(種)取法. 將這三組教師分配到三所中學(xué),有A=6(種)分法, 故共有60×6=360(種)不同的分法.] 兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用 【例1】 (1)從甲地到
6、乙地每天有直達(dá)汽車4班,從甲到丙地,每天有5個(gè)班車,從丙地到乙地每天有3個(gè)班車,則從甲地到乙地不同的乘車方法有( ) A.12種 B.19種 C.32種 D.60種 (2)如圖,用6種不同的顏色分別給圖中A,B,C,D四塊區(qū)域涂色,若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色,則不同的涂法共有( ) A.400種 B.460種 C.480種 D.496種 (1)B (2)C [(1)分兩類:一類是直接從甲到乙,有n1=4種方法; 另一類是從甲經(jīng)丙再到乙,可分為兩步,有n2=5×3=15種方法. 由分類計(jì)數(shù)原理可得:從甲到乙的不同乘車方法n=n1+n2=4+15=19.故選B.
7、 (2)完成此事可能使用4種顏色,也可能使用3種顏色.當(dāng)使用4種顏色時(shí):從A開(kāi)始,有6種方法,B有5種,C有4種,D有3種,完成此事共有6×5×4×3=360種方法;當(dāng)使用3種顏色時(shí),A,D使用同一種顏色,從A,D開(kāi)始,有6種方法,B有5種,C有4種,完成此事共有6×5×4=120種方法.由分類加法計(jì)數(shù)原理可知:不同的涂法有360+120=480(種).] [規(guī)律方法] 與兩個(gè)計(jì)數(shù)原理有關(guān)問(wèn)題的解題策略 (1)在綜合應(yīng)用兩個(gè)原理解決問(wèn)題時(shí),一般是先分類再分步,但在分步時(shí)可能又會(huì)用到分類加法計(jì)數(shù)原理. (2)對(duì)于較復(fù)雜的兩個(gè)原理綜合應(yīng)用的問(wèn)題,可恰當(dāng)?shù)禺嫵鍪疽鈭D或列出表格,化抽象為直觀.
8、 (1)五名學(xué)生報(bào)名參加四項(xiàng)體育比賽,每人限報(bào)一項(xiàng),則不同的報(bào)名方法的種數(shù)為_(kāi)_______.五名學(xué)生爭(zhēng)奪四項(xiàng)比賽的冠軍(冠軍不并列),則獲得冠軍的可能性有________種. (2)用0,1,2,3,4,5,6這7個(gè)數(shù)字可以組成________個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù).(用數(shù)字作答) (1)45 54 (2)420 [(1)五名學(xué)生參加四項(xiàng)體育比賽,每人限報(bào)一項(xiàng),可逐個(gè)學(xué)生落實(shí),每個(gè)學(xué)生有4種報(bào)名方法,共有45種不同的報(bào)名方法.五名學(xué)生爭(zhēng)奪四項(xiàng)比賽的冠軍,可對(duì)4個(gè)冠軍逐一落實(shí),每個(gè)冠軍有5種獲得的可能性,共有54種獲得冠軍的可能性. 圖(1) (2)①當(dāng)末位數(shù)字是0時(shí),如圖(1
9、)所示,共有A個(gè)不同的四位偶數(shù); 圖(2) ②當(dāng)末位數(shù)字是2或4或6時(shí),如圖(2)所示,共有AAC個(gè)不同的四位偶數(shù);即共有A+AAC=120+5×5×4×3=420個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù).] 排列問(wèn)題 【例2】 3名女生和5名男生排成一排. (1)若女生全排在一起,有多少種排法? (2)若女生都不相鄰,有多少種排法? (3)若女生不站兩端,有多少種排法? (4)其中甲必須排在乙左邊(可不鄰),有多少種排法? (5)其中甲不站最左邊,乙不站最右邊,有多少種排法? [解] (1)(捆綁法)由于女生排在一起,可把她們看成一個(gè)整體,這樣同5名男生合在一起有6個(gè)元素,排成
10、一排有A種排法,而其中每一種排法中,3名女生之間又有A種排法,因此共有A·A=4 320種不同排法. (2)(插空法)先排5名男生,有A種排法,這5名男生之間和兩端有6個(gè)位置,從中選取3個(gè)位置排女生,有A種排法,因此共有A·A=14 400種不同排法. (3)法一(位置分析法):因?yàn)閮啥瞬慌排荒軓?名男生中選2人排,有A種排法,剩余的位置沒(méi)有特殊要求,有A種排法,因此共有A·A=14 400種不同排法. 法二(元素分析法):從中間6個(gè)位置選3個(gè)安排女生,有A種排法,其余位置無(wú)限制,有A種排法,因此共有A·A=14 400種不同排法. (4)8名學(xué)生的所有排列共A種,其中甲在乙左
11、邊與乙在甲左邊的各占,因此符合要求的排法種數(shù)為A=20 160. (5)甲、乙為特殊元素,左、右兩邊為特殊位置. 法一(特殊元素法):甲在最右邊時(shí),其他的可全排,有A種不同排法;甲不在最右邊時(shí),可從余下6個(gè)位置中任選一個(gè),有A種.而乙可排在除去最右邊位置后剩余的6個(gè)中的任一個(gè)上,有A種,其余人全排列,共有A·A·A種不同排法. 由分類加法計(jì)數(shù)原理知,共有A+A·A·A=30 960種不同排法. 法二(特殊位置法):先排最左邊,除去甲外,有A種排法,余下7個(gè)位置全排,有A種排法,但應(yīng)剔除乙在最右邊時(shí)的排法A·A種,因此共有A·A-A·A=30 960種排法. 法三(間接法):8名學(xué)生全
12、排列,共A種,其中,不符合條件的有甲在最左邊時(shí),有A種排法,乙在最右邊時(shí),有A種排法,其中都包含了甲在最左邊,同時(shí)乙在最右邊的情形,有A種排法.因此共有A-2A+A=30 960種排法. [規(guī)律方法] 求解排列應(yīng)用問(wèn)題的六種常用方法 直接法 把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算 優(yōu)先法 優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置 捆綁法 相隔問(wèn)題把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素一起排列,同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列 插空法 對(duì)不相鄰問(wèn)題,先考慮不受限制的元素的排列,再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當(dāng)中 定序問(wèn)題 除法處理 對(duì)于定序問(wèn)題,可先不考慮順序限制,排列后,再除以定序元素的全排列
13、間接法 正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法 (1)6把椅子擺成一排,3人隨機(jī)就座,任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為( ) A.144 B.120 C.72 D.24 (2)旅游體驗(yàn)師小明受某網(wǎng)站邀請(qǐng),決定對(duì)甲、乙、丙、丁這四個(gè)景區(qū)進(jìn)行體驗(yàn)式旅游,若不能最先去甲景區(qū)旅游,不能最后去乙景區(qū)和丁景區(qū)旅游,則小李可選的旅游路線數(shù)為( ) A.24 B.18 C.16 D.10 (1)D (2)D [(1)先把3把椅子隔開(kāi)擺好,它們之間和兩端共有4個(gè)位置,再把3人帶椅子插放在4個(gè)位置,共有A=24(種)方法.故選D. (2)分兩種情況,第一種:最后體驗(yàn)甲景區(qū),則有A種可選的路線;
14、第二種:不在最后體驗(yàn)甲景區(qū),則有C·A種可選的路線.所以小李可選的旅游路線數(shù)為A+C·A=10.故選D.] 組合問(wèn)題 【例3】 某課外活動(dòng)小組共13人,其中男生8人,女生5人,并且男、女生各有一名隊(duì)長(zhǎng).現(xiàn)從中選5人主持某種活動(dòng),依下列條件各有多少種選法? (1)只有一名女生當(dāng)選; (2)兩隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選; (3)至少有一名隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選; (4)至多有兩名女生當(dāng)選. [解] (1)只有一名女生當(dāng)選等價(jià)于有一名女生和四名男生當(dāng)選.故共有C·C=350種. (2)兩隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選,共有C·C=165種. (3)至少有一名隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選含有兩類:只有一名隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選,有兩名隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選.故共有C·C+C·
15、C=825種.(或采用排除法:C-C=825(種)). (4)至多有兩名女生當(dāng)選含有三類:有兩名女生當(dāng)選,只有一名女生當(dāng)選,沒(méi)有女生當(dāng)選.故選法共有C·C+C·C+C=966種. [規(guī)律方法] 組合問(wèn)題的常見(jiàn)類型與處理方法 (1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型:“含”,則先將這些元素取出,再由另外元素補(bǔ)足;“不含”,則先將這些元素剔除,再?gòu)氖O碌脑刂羞x取. (2)“至少”或“至多”含有幾個(gè)元素的題型:若直接法分類復(fù)雜時(shí),逆向思維,間接求解. (1)某單位擬安排6位員工在今年6月9日至11日值班,每天安排2人,每人值班1天.若6位員工中的甲不值9日,乙不值11日,則不同的安
16、排方法共有( ) A.30種 B.36種 C.42種 D.48種 (2)現(xiàn)有16張不同的卡片,其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張,從中任取3張,要求這3張卡片不能是同一種顏色,且紅色卡片至多1張,不同取法的種數(shù)為( ) A.232 B.252 C.472 D.484 (1)C (2)C [(1)若甲在11日值班,則在除乙外的4人中任選1人在11日值班,有C種選法,9日、10日有CC種安排方法,共有CCC=24(種)安排方法; 若甲在10日值班,乙在9日值班,余下的4人有CCC種安排方法,共有12種安排方法; 若甲、乙都在10日值班,則共有CC=6(種)安排
17、方法. 所以總共有24+12+6=42(種)安排方法. (2)分兩類:第一類,含有1張紅色卡片,不同的取法共有CC=264(種); 第二類,不含有紅色卡片,不同的取法共有C-3C=220-12=208(種). 由分類加法計(jì)數(shù)原理知,不同的取法有264+208=472(種).] 排列、組合的綜合應(yīng)用 【例4】 (1)將5名同學(xué)分到甲、乙、丙3個(gè)小組,若甲小組至少2人,乙、丙組至少1人,則不同的分配方案種數(shù)為( ) A.80 B.120 C.140 D.50 (2)如果一個(gè)三位正整數(shù)“a1a2a3”滿足a1<a2,且a2>a3,則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(如120,
18、343,275等),那么所有凸數(shù)的個(gè)數(shù)為( ) A.240 B.204 C.729 D.920 (1)A (2)A [(1)先將5名同學(xué)分成3組,有兩種分配方案,一是三組人數(shù)分別為2,2,1,分組方法有=15(種),然后將有2人的兩組分給甲、乙或甲、丙,分配方法是15×(A+A)=60(種);二是三組人數(shù)分別為3,1,1,分組方法有=10(種),然后將1人的兩組分給乙、丙兩組,分配方法是10×A=20(種).故共有60+20=80(種). (2)如果這個(gè)三位數(shù)含0,則0必在末位,共有這樣的凸數(shù)C個(gè);如果這個(gè)三位數(shù)不含0,則這樣的凸數(shù)共有CA+C個(gè).即共有2C+CA=240個(gè).
19、] [規(guī)律方法] 1.排列組合綜合題思路,先選后排,先組合后排列. 當(dāng)有多個(gè)限制條件時(shí),應(yīng)以其中一個(gè)限制條件為標(biāo)準(zhǔn)分類,限制條件多時(shí),多考慮用間接法,但需確定一個(gè)總數(shù). 2.(1)不同元素的分配問(wèn)題,往往是先分組再分配.在分組時(shí),通常有三種類型:①不均勻分組;②均勻分組;③部分均勻分組,注意各種分組類型中,不同分組方法的求法. (2)對(duì)于相同元素的“分配”問(wèn)題,常用的方法是采用“隔板法”. (1)(2019·長(zhǎng)春質(zhì)檢)要將甲、乙、丙、丁4名同學(xué)分到A,B,C三個(gè)班級(jí)中,要求每個(gè)班級(jí)至少分到一人,則甲被分到A班的分法種數(shù)為( ) A.6 B.12 C.24 D.36
20、(2)(2017·浙江高考)從6男2女共8名學(xué)生中選出隊(duì)長(zhǎng)1人,副隊(duì)長(zhǎng)1人,普通隊(duì)員2人組成4人服務(wù)隊(duì),要求服務(wù)隊(duì)中至少有1名女生,共有________種不同的選法.(用數(shù)字作答) (1)B (2)660 [(1)甲和另一個(gè)人一起分到A班有CA=6種分法,甲一個(gè)人分到A班的方法有:CA=6種分法,共有12種分法.故選B. (2)法一:只有1名女生時(shí),先選1名女生,有C種方法;再選3名男生,有C種方法;然后排隊(duì)長(zhǎng)、副隊(duì)長(zhǎng)位置,有A種方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理,知共有CCA=480(種)選法. 有2名女生時(shí),再選2名男生,有C種方法;然后排隊(duì)長(zhǎng)、副隊(duì)長(zhǎng)位置,有A種方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理,知共
21、有CA=180(種)選法.所以依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知共有480+180=660(種)不同的選法. 法二:不考慮限制條件,共有AC種不同的選法, 而沒(méi)有女生的選法有AC種, 故至少有1名女生的選法有AC-AC=840-180=660(種).] 1.(2017·全國(guó)卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作,每人至少完成1項(xiàng),每項(xiàng)工作由1人完成,則不同的安排方式共有( ) A.12種 B.18種 C.24種 D.36種 D [由題意可得其中1人必須完成2項(xiàng)工作,其他2人各完成1項(xiàng)工作,可得安排方式為C·C·A=36(種),或列式為C·C·C=3××2=36(種). 故選D.]
22、 2.(2016·全國(guó)卷Ⅱ)如圖,小明從街道的E處出發(fā),先到F處與小紅會(huì)合,再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng),則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為( ) A.24 B.18 C.12 D.9 B [從E到G需要分兩步完成:先從E到F,再?gòu)腇到G.從F到G的最短路徑,只要考慮縱向路徑即可,一旦縱向路徑確定,橫向路徑即可確定,故從F到G的最短路徑共有3條.如圖,從E到F的最短路徑有兩類:先從E到A,再?gòu)腁到F,或先從E到B,再?gòu)腂到F.因?yàn)閺腁到F或從B到F都與從F到G的路徑形狀相同,所以從A到F,從B到F最短路徑的條數(shù)都是3,所以從E到F的最短路徑有3+3=6(條
23、).所以小明到老年公寓的最短路徑條數(shù)為6×3=18.] 3.(2018·全國(guó)卷Ⅰ)從2位女生,4位男生中選3人參加科技比賽,且至少有1位女生入選,則不同的選法共有________種.(用數(shù)字填寫答案) 16 [法一:可分兩種情況:第一種情況,只有1位女生入選,不同的選法有CC=12(種);第二種情況,有2位女生入選,不同的選法有CC=4(種). 根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知,至少有1位女生入選的不同的選法有16種. 法二:從6人中任選3人,不同的選法有C=20(種),從6人中任選3人都是男生,不同的選法有C=4(種),所以至少有1位女生入選的不同的選法有20-4=16(種).] - 8 -
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