《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第8節(jié) 函數(shù)與方程教學(xué)案 理(含解析)新人教A版》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第8節(jié) 函數(shù)與方程教學(xué)案 理(含解析)新人教A版(7頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第八節(jié) 函數(shù)與方程
[考綱傳真] 結(jié)合二次函數(shù)的圖象,了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系,判斷一元二次方程根的存在性與根的個數(shù).
1.函數(shù)的零點
(1)定義:對于函數(shù)y=f(x)(x∈D),把使f(x)=0成立的實數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)(x∈D)的零點.
(2)函數(shù)零點與方程根的關(guān)系:方程f(x)=0有實根?函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點?函數(shù)y=f(x)有零點.
(3)零點存在性定理:如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,并且有f(a)·f(b)<0,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點,即存在x0∈(a,b),使得f(x0)=0.
2.二
2、次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象與零點的關(guān)系
Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函數(shù)
y=ax2+bx+c
(a>0)的圖象
與x軸的交點
(x1,0),(x2,0)
(x1,0)
無交點
零點個數(shù)
2
1
0
[常用結(jié)論]
1.f(a)·f(b)<0是連續(xù)函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上有零點的充分不必要條件.
2.若函數(shù)f(x)在[a,b]上是單調(diào)函數(shù),且f(x)的圖象連續(xù)不斷,則f(a)·f(b)<0?函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上只有一個零點.
[基礎(chǔ)自測]
1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√
3、”,錯誤的打“×”)
(1)函數(shù)的零點就是函數(shù)的圖象與x軸的交點.( )
(2)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(函數(shù)圖象連續(xù)不斷),則f(a)·f(b)<0.( )
(3)若函數(shù)f(x)在(a,b)上單調(diào)且f(a)·f(b)<0,則函數(shù)f(x)在[a,b]上有且只有一個零點.( )
(4)二次函數(shù)y=ax2+bx+c在b2-4ac<0時沒有零點.( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2.(教材改編)函數(shù)f(x)=ln x+2x-6的零點所在的區(qū)間是( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
C [由題
4、意得f(1)=ln 1+2-6=-4<0,f(2)=ln 2+4-6=ln 2-2<0,
f(3)=ln 3+6-6=ln 3>0,
f(4)=ln 4+8-6=ln 4+2>0,
∴f(x)的零點所在的區(qū)間為(2,3).]
3.(教材改編)已知函數(shù)y=f(x)的圖象是連續(xù)不斷的曲線,且有如下的對應(yīng)值表:
x
1
2
3
4
5
6
y
124.4
33
-74
24.5
-36.7
-123.6
則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[1,6]上的零點至少有( )
A.2個 B.3個
C.4個 D.5個
B [∵f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4
5、)<0,f(4)·f(5)<0,
故函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,6]內(nèi)至少有3個零點.]
4.函數(shù)f(x)=x-x的零點有________個.
1 [如圖所示,函數(shù)f(x)=x-x的零點有1個.]
5.函數(shù)f(x)=ax+1-2a在區(qū)間(-1,1)上存在一個零點,則實數(shù)a的取值范圍是________.
[∵函數(shù)f(x)的圖象為直線,
由題意可得f(-1)·f(1)<0,
∴(-3a+1)·(1-a)<0,解得<a<1,
∴實數(shù)a的取值范圍是.]
判斷函數(shù)零點所在的區(qū)間
1.函數(shù)f(x)=ln x-的零點所在的區(qū)間為( )
A.(0,1) B.(1,2)
6、C.(2,3) D.(3,4)
B [由題意知函數(shù)f(x)是增函數(shù),因為f(1)<0,f(2)=ln 2-=ln 2-ln >0,所以函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間是(1,2).故選B.]
2.若a<b<c,則函數(shù)f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的兩個零點分別位于區(qū)間( )
A.(a,b)和(b,c)內(nèi)
B.(-∞,a)和(a,b)內(nèi)
C.(b,c)和(c,+∞)內(nèi)
D.(-∞,a)和(c,+∞)內(nèi)
A [∵a<b<c,∴f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0,
由
7、函數(shù)零點存在性判定定理可知:在區(qū)間(a,b)(b,c)內(nèi)分別存在一個零點;
又函數(shù)f(x)是二次函數(shù),最多有兩個零點,
因此函數(shù)f(x)的兩個零點分別位于區(qū)間(a,b),(b,c)內(nèi),故選A.]
3.已知函數(shù)f(x)=ln x+2x-6的零點在(k∈Z)內(nèi),那么k=________.
5 [∵f′(x)=+2>0,x∈(0,+∞),∴f(x)在x∈(0,+∞)上單調(diào)遞增,且f=ln -1<0,f(3)=ln 3>0,∴f(x)的零點在內(nèi),則整數(shù)k=5.]
[規(guī)律方法] 判斷函數(shù)零點所在區(qū)間的方法
(1)解方程,當(dāng)對應(yīng)方程易解時,可通過解方程,看方程是否有根落在給定區(qū)間上來判斷.
8、(2)利用零點存在性定理進(jìn)行判斷.
(3)數(shù)形結(jié)合畫出函數(shù)圖象,通過觀察圖象與x軸在給定區(qū)間內(nèi)是否有交點來判斷.
判斷函數(shù)零點的個數(shù)
【例1】 (1)函數(shù)f(x)=的零點個數(shù)為( )
A.0 B.1
C.2 D.3
(2)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時,f(x)=ex+x-3,則f(x)的零點個數(shù)為( )
A.1 B.2
C.3 D.4
(1)D (2)C [依題意,在考慮x>0時可以畫出函數(shù)y=ln x與y=x2-2x的圖象(如圖),可知兩個函數(shù)的圖象有兩個交點,當(dāng)x≤0時,函數(shù)f(x)=2x+1與x軸只有一個交點,綜上,函數(shù)
9、f(x)有3個零點.故選D.
(2)因為函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù),所以f(0)=0,即x=0是函數(shù)f(x)的1個零點.
當(dāng)x>0時,令f(x)=ex+x-3=0,則ex=-x+3,分別畫出函數(shù)y=ex和y=-x+3的圖象,如圖所示,兩函數(shù)圖象有1個交點,所以函數(shù)f(x)有1個零點.
根據(jù)對稱性知,當(dāng)x<0時,函數(shù)f(x)也有1個零點.綜上所述,f(x)的零點個數(shù)為3.]
[規(guī)律方法] 函數(shù)零點個數(shù)的判斷方法
(1)直接求零點,令f(x)=0,有幾個解就有幾個零點;
(2)零點存在性定理,要求函數(shù)在區(qū)間[a,b]上是連續(xù)不斷的曲線,且f(a)·f(b)<0,再結(jié)合函數(shù)的圖象與
10、性質(zhì)確定函數(shù)零點個數(shù);
(3)利用圖象交點個數(shù),作出兩函數(shù)圖象,觀察其交點個數(shù)即得零點個數(shù).
(1)函數(shù)f(x)=2x|log0.5 x|-1的零點個數(shù)為( )
A.1 B.2
C.3 D.4
(2)已知函數(shù)f(x)=若f(0)=-2,f(-1)=1,則函數(shù)g(x)=f(x)+x的零點個數(shù)為________.
(1)B (2)3 [(1)令f(x)=2x|log0.5x|-1=0,
可得|log0.5x|=x.
設(shè)g(x)=|log0.5x|,h(x)=x.
在同一坐標(biāo)系下分別畫出函數(shù)g(x),h(x)的圖象,可以發(fā)現(xiàn)兩個函數(shù)圖象一定有2個交點,因此函數(shù)f(x
11、)有2個零點.故選B.
(2)依題意得
由此解得
由g(x)=0得f(x)+x=0,
該方程等價于①
或②
解①得x=2,解②得x=-1或x=-2.因此,函數(shù)g(x)=f(x)+x的零點個數(shù)為3.]
函數(shù)零點的應(yīng)用
【例2】 (1)設(shè)函數(shù)f(x)=ex+x-2,g(x)=ln x+x2-3.若實數(shù)a,b滿足f(a)=0,g(b)=0,則( )
A.g(a)<0<f(b) B.f(b)<0<g(a)
C.0<g(a)<f(b) D.f(b)<g(a)<0
(2)已知函數(shù)f(x)=其中m>0.若存在實數(shù)b,使得關(guān)于x的方程f(x)=b有三個不同的根,則m的取
12、值范圍是________.
(1)A (2)(3,+∞) [(1)∵f(x)=ex+x-2,
∴f′(x)=ex+1>0,
則f(x)在R上為增函數(shù),
又f(0)=e0-2<0,f(1)=e-1>0,
且f(a)=0,∴0<a<1.∵g(x)=ln x+x2-3,
∴g′(x)=+2x.
當(dāng)x∈(0,+∞)時,g′(x)>0,
∴g(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),
又g(1)=ln 1-2=-2<0,g(2)=ln 2+1>0,且g(b)=0,∴1<b<2,∴a<b,
∴故選A.
(2)畫出f(x)的草圖如圖所示,若存在實數(shù)b,使得f(x)=b有3個不同的根,
則4m-
13、m2<m,即m2-3m>0,
又m>0,解得m>3.]
[規(guī)律方法] 已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法
(1)直接法:直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式,再通過解不等式確定參數(shù)范圍.
(2)分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決.
(3)數(shù)形結(jié)合法:先對解析式變形,在同一平面直角坐標(biāo)系中,畫出函數(shù)的圖象,然后數(shù)形結(jié)合求解.
(1)已知函數(shù)f(x)=ex+x,g(x)=ln x+x,h(x)=ln x-1的零點依次為a,b,c,則( )
A.a(chǎn)<b<c B.c<b<a
C.c<a<b D.b<a<c
(2)函數(shù)f(x)=2x--a的一個零點在
14、區(qū)間(1,2)內(nèi),則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.(1,3) B.(1,2)
C.(0,3) D.(0,2)
(1)A (2)C [(1)在同一坐標(biāo)系中,畫出函數(shù)y=ex,y=ln x與y=-x,y=-1的圖象如圖所示.
由圖可知a<b<c,
故選A.
(2)∵函數(shù)f(x)=2x--a在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增,又函數(shù)f(x)=2x--a的一個零點在區(qū)間(1,2)內(nèi),則有f(1)·f(2)<0,
∴(-a)(4-1-a)<0,即a(a-3)<0,∴0<a<3.]
1.(2018·全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2個零點,則
15、a的取值范圍是( )
A.[-1,0) B.[0,+∞)
C.[-1,+∞) D.[1,+∞)
C [函數(shù)g(x)=f(x)+x+a存在2個零點,即關(guān)于x的方程f(x)=-x-a有2個不同的實根,即函數(shù)f(x)的圖象與直線y=-x-a有2個交點,作出直線y=-x-a與函數(shù)f(x)的圖象,如圖所示,
由圖可知,-a≤1,解得a≥-1,故選C.]
2.(2017·全國卷Ⅲ)已知函數(shù)f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零點,則a=( )
A.- B.
C. D.1
C [法一:f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)=(x-1)2+
16、a[ex-1+e-(x-1)]-1,
令t=x-1,則g(t)=f(t+1)=t2+a(et+e-t)-1.
∵g(-t)=(-t)2+a(e-t+et)-1=g(t),
∴函數(shù)g(t)為偶函數(shù).
∵f(x)有唯一零點,∴g(t)也有唯一零點.
又g(t)為偶函數(shù),由偶函數(shù)的性質(zhì)知g(0)=0,
∴2a-1=0,解得a=.
故選C.
法二:f(x)=0?a(ex-1+e-x+1)=-x2+2x.
ex-1+e-x+1≥2=2,
當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取“=”.
又-x2+2x=-(x-1)2+1≤1,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取“=”.
若a>0,則a(ex-1+e-x+1)≥2a,
要使f(x)有唯一零點,則必有2a=1,即a=.
若a≤0,則f(x)的零點不唯一.
故選C.]
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