4、,0)時，f ′(x)＜0，則f(x)在(－3,0)上是減函數(shù)．其他判斷均不正確．]
4．(教材改編)函數(shù)f(x)＝cos x－x在(0，π)上的單調(diào)性是( )
A．先增后減 B．先減后增
C．增函數(shù) D．減函數(shù)
D [f ′(x)＝－sin x－1，又x∈(0，π)，所以f ′(x)＜0，因此f(x)在(0，π)上是減函數(shù)，故選D.]
5．已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是增函數(shù)，則a的取值范圍是________．
(－∞，3] [f ′(x)＝3x2－a，由題意知f ′(x)≥0，即a≤3x2對x∈[1，＋∞)恒成立．
又當x∈[1，＋∞)時，3x2≥3，所以a≤3
5、.]
不含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性
1．函數(shù)y＝x2－ln x的遞減區(qū)間為( )
A．(－1,1) B．(0,1)
C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)
B [函數(shù)y＝x2－ln x的定義域為(0，＋∞)，
y′＝x－＝＝，
令y′＜0，得0＜x＜1，
所以遞減區(qū)間為(0,1)，故選B．]
2．已知函數(shù)f(x)＝xln x，則f(x)( )
A．在(0，＋∞)上遞增 B．在(0，＋∞)上遞減
C．在上遞增 D．在上遞減
D [因為函數(shù)f(x)＝xln x，定義域為(0，＋∞)，
所以f ′(x)＝ln x＋1(x＞0)，
當f ′(x)＞0時，解
6、得x＞，
即函數(shù)的遞增區(qū)間為；
當f ′(x)＜0時，解得0＜x＜，
即函數(shù)的遞減區(qū)間為，故選D.]
3．已知定義在區(qū)間(－π，π)上的函數(shù)f(x)＝xsin x＋cos x，則f(x)的遞增區(qū)間是________．
和 [f ′(x)＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x，
令f ′(x)＝xcos x＞0，
則其在區(qū)間(－π，π)上的解集為和，
即f(x)的遞增區(qū)間為和.]
[規(guī)律方法] 求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟
(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；
(2)求f ′(x)；
(3)在定義域內(nèi)解不等式f ′(x)＞0，得遞增區(qū)間；
(4)在定義域內(nèi)解不等式f
7、′(x)＜0，得遞減區(qū)間．
易錯警示：(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，一定要先確定函數(shù)的定義域，否則極易出錯．
(2)個別導數(shù)為0的點不影響所在區(qū)間的單調(diào)性，如函數(shù)f(x)＝x3，f ′(x)＝3x2≥0(x＝0時，f ′(x)＝0)，但f(x)＝x3在R上是增函數(shù)．
含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性
【例1】 討論函數(shù)f(x)＝(a－1)ln x＋ax2＋1的單調(diào)性．
[解] f(x)的定義域為(0，＋∞)，
f ′(x)＝＋2ax＝.
①當a≥1時，f ′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)上遞增；
②當a≤0時，f ′(x)＜0，故f(x)在(0，＋∞)上遞減；
③當0＜a＜
8、1時，令f ′(x)＝0，解得x＝，則當x∈時，f ′(x)＜0；當x∈時，f ′(x)＞0，故f(x)在上遞減，在上遞增．
[規(guī)律方法] 解決含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性問題應注意兩點
(1)研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，要依據(jù)參數(shù)對不等式解集的影響進行分類討論．
(2)劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，要在函數(shù)定義域內(nèi)討論，還要確定導數(shù)為0的點和函數(shù)的間斷點．
(1)已知函數(shù)f(x)＝x3＋x2＋ax＋1(a∈R)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．
[解] f ′(x)＝x2＋2x＋a開口向上，Δ＝4－4a＝4(1－a)．
①當1－a≤0，即a≥1時，f ′(x)≥0恒成立，
f(x)在R上遞增．
②當
9、1－a＞0，即a＜1時，令f ′(x)＝0，
解得x1＝－1－，x2＝－1＋，令f ′(x)＞0，解得x＜－1－或x＞－1＋；
令f ′(x)＜0，解得－1－＜x＜－1＋，
所以f(x)的遞增區(qū)間為(－∞，－1－)和(－1＋，＋∞)；
f(x)的遞減區(qū)間為(－1－，－1＋)．
綜上所述：當a≥1時，f(x)在R上遞增；
當a＜1時，f(x)的遞增區(qū)間為(－∞，－1－)和(－1＋，＋∞)，
f(x)的遞減區(qū)間為(－1－，－1＋)．
(2)已知函數(shù)f(x)＝ex(ax2－2x＋2)(a＞0)．求f(x)的區(qū)間．
[解] 由題意得
f ′(x)＝ex[ax2＋(2a－2)x](a
10、＞0)，
令f ′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝.
①當0＜a＜1時，f(x)的遞增區(qū)間為(－∞，0)和，遞減區(qū)間為；
②當a＝1時，f(x)在(－∞，＋∞)內(nèi)遞增；
③當a＞1時，f(x)的遞增區(qū)間為和(0，＋∞)，遞減區(qū)間為.
函數(shù)單調(diào)性的應用
?考法1 比較大小
【例2】 (2019·莆田模擬)設函數(shù)f ′(x)是定義在(0,2π)上的函數(shù)f(x)的導函數(shù)，f(x)＝f(2π－x)，當0＜x＜π時，若f(x)sin x－f ′(x)cos x＜0，a＝f ，b＝0，c＝－f ，則( )
A．a(chǎn)＜b＜c B．b＜c＜a
C．c＜b＜a D．c＜a＜b
A
11、 [由f(x)＝f(2π－x)，得函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x＝π對稱，令g(x)＝f(x)cos x，則g′(x)＝f ′(x)cos x－f(x)·sin x＞0，
所以當0＜x＜π時，g(x)在(0，π)內(nèi)遞增，
所以g＜g＜g＝g，即a＜b＜c，故選A．]
?考法2 根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)
【例3】 (1)(2017·江蘇高考)已知函數(shù)f(x)＝x3－2x＋ex－，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)．若f(a－1)＋f(2a2)≤0，則實數(shù)a的取值范圍是________．
[因為f(－x)＝(－x)3－2(－x)＋e－x－
＝－x3＋2x－ex＋＝－f(x)，
所以f(x)＝x3－
12、2x＋ex－是奇函數(shù)．
因為f(a－1)＋f(2a2)≤0，
所以f(2a2)≤－f(a－1)，即f(2a2)≤f(1－a)．
因為f ′(x)＝3x2－2＋ex＋e－x≥3x2－2＋2＝3x2≥0，
所以f(x)在R上遞增，
所以2a2≤1－a，即2a2＋a－1≤0，
所以－1≤a≤.]
(2)已知函數(shù)f(x)＝ln x，g(x)＝ax2＋2x(a≠0)．
①若函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；
②若函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上遞減，求a的取值范圍．
[解] ①h(x)＝ln x－ax2－2x，x∈(0，＋∞)，所以h′(
13、x)＝－ax－2，由于h(x)在(0，＋∞)上存在遞減區(qū)間，
所以當x∈(0，＋∞)時，－ax－2＜0有解，
即a＞－有解．
設G(x)＝－，所以只要a＞G(x)min即可．
而G(x)＝－1，
所以G(x)min＝－1，所以a＞－1，即a的取值范圍為(－1，＋∞)．
②由h(x)在[1,4]上遞減得，
當x∈[1,4]時，h′(x)＝－ax－2≤0恒成立，
即a≥－恒成立．
所以a≥G(x)max，而G(x)＝－1，
因為x∈[1,4]，所以∈，
所以G(x)max＝－(此時x＝4)，
所以a≥－，即a的取值范圍是.
[規(guī)律方法] 根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的一般思路
14、(1)利用集合間的包含關(guān)系處理：y＝f(x)在(a，b)上單調(diào)，則區(qū)間(a，b)是相應單調(diào)區(qū)間的子集．
(2)f(x)為增函數(shù)的充要條件是對任意的x∈(a，b)都有f ′(x)≥0且在(a，b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上，f ′(x)不恒為零，應注意此時式子中的等號不能省略，否則漏解．
(3)函數(shù)在某個區(qū)間存在單調(diào)區(qū)間可轉(zhuǎn)化為不等式有解問題．
(1)已知函數(shù)y＝f(x)對任意的x∈滿足f ′(x)cos x＋f(x)sin x＞0(其中f ′(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù))，則下列不等式成立的是( )
A．f ＜f B．f ＜f
C．f(0)＞2f D．f(0)＞f
(2)已知
15、a≥0，函數(shù)f(x)＝(x2－2ax)ex，若f(x)在[－1,1]上是減函數(shù)，則a的取值范圍是( )
A． B．
C． D．
(1)A (2)C [(1)令g(x)＝，則g′(x)＝＞0，
即g(x)在區(qū)間上是增函數(shù)，則有g(shù)＜g，即＜，
即2f ＜f .
即f ＜f ，故選A．
(2)f ′(x)＝(2x－2a)ex＋(x2－2ax)ex＝[x2＋(2－2a)x－2a]ex，由題意知當x∈[－1,1]時，f ′(x)≤0恒成立，即x2＋(2－2a)x－2a≤0恒成立．
令g(x)＝x2＋(2－2a)x－2a，
則有
即
解得a≥，故選C．]
1．(2016·全國
16、卷Ⅰ)若函數(shù)f(x)＝x－sin 2x＋asin x在(－∞，＋∞)上遞增，則a的取值范圍是( )
A．[－1,1] B．
C． D．
C [取a＝－1，則f(x)＝x－sin 2x－sin x，f ′(x)＝1－cos 2x－cos x，但f ′(0)＝1－－1＝－＜0，不具備在(－∞，＋∞)遞增的條件，故排除A，B，D.故選C．]
2．(2018·全國卷Ⅰ節(jié)選)已知函數(shù)f(x)＝aex－ln x－1.
設x＝2是f(x)的極值點，求a，并求f(x)的單調(diào)區(qū)間．
[解] f(x)的定義域為(0，＋∞)，f ′(x)＝aex－.
由題設知，f ′(2)＝0，所以a＝.
從而
17、f(x)＝ex－ln x－1，f ′(x)＝ex－.
當02時，f ′(x)>0.
所以f(x)在(0,2)上是減少的，在(2，＋∞)上是增加的．
3．(2017·全國卷Ⅰ節(jié)選)已知函數(shù)f(x)＝ex(ex－a)－a2x.討論f(x)的單調(diào)性．
[解] 函數(shù)f(x)的定義域為(－∞，＋∞)，
f ′(x)＝2e2x－aex－a2＝(2ex＋a)(ex－a)．
①若a＝0，則f(x)＝e2x在(－∞，＋∞)上遞增．
②若a＞0，則由f ′(x)＝0得x＝ln a.
當x∈(－∞，ln a)時，f ′(x)＜0；
當x∈(ln a，＋∞)時，f ′(x)＞0.
故f(x)在(－∞，ln a)上遞減，
在(ln a，＋∞)上遞增．
③若a<0，則由f ′(x)＝0得x＝ln.
當x∈時，f ′(x)＜0；
當x∈時，f ′(x)＞0.
故f(x)在上遞減，
在上遞增．
綜上所述，若a＝0時，f(x)在(－∞，＋∞)上遞增．
若a＞0時，f(x)在(－∞，ln a)上遞減，在(ln a，＋∞)上遞增．
若a＜0時，f(x)在上遞減，在上遞增．
- 9 -
2020版高考數(shù)學一輪復習 第2章 函數(shù)、導數(shù)及其應用 第11節(jié) 導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性教學案 文（含解析）北師大版
