2020版高考數(shù)學一輪復習 第8章 平面解析幾何 第6節(jié) 雙曲線教學案 理(含解析)新人教A版
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1、第六節(jié) 雙曲線 [考綱傳真] 1.了解雙曲線的實際背景,了解雙曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用.2.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程,知道其簡單的幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、離心率、漸近線).3.理解數(shù)形結(jié)合思想.4.了解雙曲線的簡單應用. 1.雙曲線的定義 (1)平面內(nèi)與兩個定點F1,F(xiàn)2(|F1F2|=2c>0)的距離之差的絕對值為非零常數(shù)2a(2a<2c)的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點叫做雙曲線的焦點. (2)集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c, 其中a,c為常數(shù)且a>0,c>0. ①當2a<|F1F2|時,M點的軌跡是雙
2、曲線; ②當2a=|F1F2|時,M點的軌跡是兩條射線; ③當2a>|F1F2|時,M點不存在. 2.雙曲線的標準方程和幾何性質(zhì) 標準方程 -=1(a>0,b>0) -=1 (a>0,b>0) 圖形 性質(zhì) 范圍 x≥a或x≤-a,y∈R y≤-a或y≥a,x∈R 對稱性 對稱軸:坐標軸,對稱中心:原點 頂點 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a) 漸近線 y=±x y=±x 離心率 e=,e∈(1,+∞) 實、虛軸 線段A1A2叫做雙曲線的實軸,它的長|A1A2|=2a;線段B1B2叫做雙曲線的虛軸,它的長|B1
3、B2|=2b;a叫做雙曲線的實半軸長,b叫做雙曲線的虛半軸長 a,b,c的關(guān)系 c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0) 3.等軸雙曲線 實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線,其漸近線方程為y=±x,離心率為e=. [常用結(jié)論] 1.雙曲線-=1(a>0,b>0)中,過焦點垂直于實軸所在直線的弦長為. 2.雙曲線的焦點到漸近線的距離等于其虛半軸長. 3.已知雙曲線-=λ(a>0,b>0,λ≠0),求其漸近線的方程,只需把λ改寫為0整理即可. [基礎自測] 1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”) (1)平面內(nèi)到點F1(0,4),F(xiàn)2(0,-
4、4)距離之差的絕對值等于8的點的軌跡是雙曲線.( ) (2)方程-=1(mn>0)表示焦點在x軸上的雙曲線.( ) (3)雙曲線-=λ(m>0,n>0,λ≠0)的漸近線方程是-=0,即±=0.( ) (4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直,離心率等于.( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ 2.雙曲線3x2-y2=1的漸近線方程是( ) A.y=±3x B.y=±x C.y=±x D.y=±x C [由3x2-y2=0得y=±x.故選C.] 3.(教材改編)若雙曲線-=1(a>0,b>0)的焦點到其漸近線的距離等于實軸長,則該雙曲線的離心率為(
5、 ) A. B.5 C. D.2 A [由題意可知b=2a, ∴e===,故選A.] 4.若雙曲線E:-=1的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,點P在雙曲線E上,且|PF1|=3,則|PF2|等于( ) A.11 B.9 C.5 D.3 B [由題意知a=3,b=4,∴c=5.由雙曲線的定義||PF1|-|PF2||=|3-|PF2||=2a=6,∴|PF2|=9.] 5.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的焦距為2,且雙曲線的一條漸近線與直線2x+y=0垂直,則雙曲線的方程為________. -y2=1 [由題意可得解得a=2, b=1,所以雙曲線的方程為
6、-y2=1.] 雙曲線的定義及其應用 【例1】 (1)已知圓C1:(x+3)2+y2=1和圓C2:(x-3)2+y2=9,動圓M同時與圓C1及圓C2相外切,則動圓圓心M的軌跡方程為________. (2)已知F1,F(xiàn)2為雙曲線C:x2-y2=2的左、右焦點,點P在C上,|PF1|=2|PF2|,則cos∠F1PF2=________. (1)x2-=1(x≤-1) (2) [(1)如圖所示,設動圓M與圓C1及圓C2分別外切于點A和B. 根據(jù)兩圓外切的條件,得|MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|. 因為|MA|=|MB|, 所以|MC1|
7、-|AC1|=|MC2|-|BC2|, 即|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=2, 所以點M到兩定點C1,C2的距離的差是常數(shù)且小于|C1C2|. 根據(jù)雙曲線的定義,得動點M的軌跡為雙曲線的左支(點M與C2的距離大,與C1的距離小),其中a=1,c=3,則b2=8. 故點M的軌跡方程為x2-=1(x≤-1). (2)因為由雙曲線的定義有|PF1|-|PF2|=|PF2|=2a=2, 所以|PF1|=2|PF2|=4, 所以cos∠F1PF2 = ==.] [母題探究] (1)將本例(2)中的條件“|PF1|=2|PF2|”改為“∠F1PF2=60°”,則△F1P
8、F2的面積是多少? (2)將本例(2)中的條件“|PF1|=2|PF2|”改為“·=0”,則△F1PF2的面積是多少? [解] (1)不妨設點P在雙曲線的右支上, 則|PF1|-|PF2|=2a=2, 在△F1PF2中,由余弦定理,得 cos∠F1PF2==, ∴|PF1|·|PF2|=8, ∴S△F1PF2=|PF1|·|PF2|·sin 60°=2. (2)不妨設點P在雙曲線的右支上, 則|PF1|-|PF2|=2a=2, ∵·=0,∴⊥, ∴在△F1PF2中,有|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2, 即|PF1|2+|PF2|2=16, ∴|PF1|·|P
9、F2|=4, ∴S△F1PF2=|PF1|·|PF2|=2. [規(guī)律方法] 1.利用雙曲線的定義判定平面內(nèi)動點的軌跡是否為雙曲線,進而根據(jù)要求可求出曲線方程; 2.在“焦點三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,經(jīng)常結(jié)合||PF1|-|PF2||=2a,運用平方的方法,建立與|PF1|·|PF2|的聯(lián)系. (1)方程-=12的化簡結(jié)果為( ) A.-=1 B.-=1 C.-=1(x>0) D.-=1(x>0) (2)設P是雙曲線-=1上一點,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別是雙曲線左、右兩個焦點,若|PF1|=9,則|PF2|等于________. (1)C (2)17 [(1)設F
10、1(-10,0),F(xiàn)2(10,0),動點P(x,y),則由題意可知 |PF1|-|PF2|=12,又|F1F2|=20, ∴動點P的軌跡是以F1,F(xiàn)2為焦點的雙曲線的右支. 又2a=12,2c=20,∴a=6,c=10,b=8. 即所求方程為-=1(x>0). (2)由題意知|PF1|=9<a+c=10,所以P點在雙曲線的右支,則有|PF2|-|PF1|=2a=8,故|PF2|=|PF1|+8=17.] 雙曲線的標準方程 【例2】 (1)(2018·天津高考)已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的離心率為2,過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A,B兩點.設A,B到雙曲線
11、的同一條漸近線的距離分別為d1和d2,且d1+d2=6,則雙曲線的方程為( ) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 (2)已知雙曲線過點(2,3),漸近線方程為y=±x,則該雙曲線的標準方程是( ) A.-=1 B.-=1 C.x2-=1 D.-=1 (1)C (2)C [(1)由d1+d2=6,得雙曲線的右焦點到漸近線的距離為3,所以b=3.因為雙曲線-=1(a>0,b>0)的離心率為2,所以=2,所以=4,所以=4,解得a2=3,所以雙曲線的方程為-=1,故選C. (2)因為雙曲線的漸近線方程為y=±x, 即=±x.所以可設雙曲線的方程是x2-
12、=λ(λ≠0),將點(2,3)代入,得λ=1,所以該雙曲線的標準方程為x2-=1,故選C.] [規(guī)律方法] 求雙曲線標準方程的主要方法 (1)定義法:由條件判定動點的軌跡是雙曲線,求出a2,b2,得雙曲線方程. (2)待定系數(shù)法:即“先定位,后定量”,如果不能確定焦點的位置,應注意分類討論或恰當設置簡化討論. (1)(2017·全國卷Ⅲ)已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程為y=x,且與橢圓+=1有公共焦點,則C的方程為( ) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 (2)已知點A(-1,0),B(1,0)為雙曲線-=1(a>0,b>0)
13、的左、右頂點,點M在雙曲線上,△ABM為等腰三角形,且頂角為120°,則該雙曲線的標準方程為( ) A.x2-=1 B.x2-=1 C.x2-=1 D.x2-y2=1 (1)B (2)D [(1)由y=x可得=.① 由橢圓+=1的焦點為(3,0),(-3,0), 可得a2+b2=9.② 由①②可得a2=4,b2=5. 所以C的方程為-=1. 故選B. (2)由題意知a=1.不妨設點M在第一象限,則由題意有|AB|=|BM|=2,∠ABM=120°.過點M作MN⊥x軸于點N,則|BN|=1,|MN|=,所以M(2,),代入雙曲線方程得4-=1,解得b=1,所以雙曲線的
14、方程為x2-y2=1,故選D.] 雙曲線的幾何性質(zhì) ?考法1 雙曲線的離心率問題 【例3】 (2018·廣州一模)如圖,在梯形ABCD中,已知|AB|=2|CD|,=,雙曲線過C,D,E三點,且以A,B為焦點,則雙曲線的離心率為( ) A. B.2 C.3 D. A [如圖,以AB所在直線為x軸,以線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系,則由梯形的性質(zhì)與雙曲線的對稱性知C,D關(guān)于y軸對稱.設A(-c,0),則B(c,0),C(其中h為梯形的高),因為=,所以xE=-c,yE=h.設雙曲線的方程為-=1(a>0,b>0),因為點C,E在雙曲線上,則解得=7,所
15、以雙曲線的離心率e==,故選A.] ?考法2 雙曲線的漸近線問題 【例4】 (2019·福州模擬)過雙曲線-=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別作雙曲線的兩條漸近線的平行線,若這4條直線所圍成的四邊形的周長為8b,則該雙曲線的漸近線方程為( ) A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±2x A [由雙曲線的對稱性得該四邊形為菱形,因為該四邊形的周長為8b,所以菱形的邊長為2b,由勾股定理得4條直線與y軸的交點到x軸的距離為=,又4條直線分別與兩條漸近線平行,所以=,解得a=b,所以該雙曲線的漸近線的斜率為±1,所以該雙曲線的漸近線方程為y=±x,故選A.]
16、?考法3 雙曲線幾何性質(zhì)的綜合應用 【例5】 (1)(2019·福州模擬)已知雙曲線-=1與直線y=2x有交點,則雙曲線離心率的取值范圍為( ) A.(1,) B.(1,] C.(,+∞) D.[,+∞) (2)已知雙曲線C1:-y2=1,雙曲線C2:-=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,點M在雙曲線C2的一條漸近線上,且OM⊥MF2(O為坐標原點),若S△OMF2=16,且雙曲線C1,C2的離心率相同,則雙曲線C2的實軸長為( ) A.32 B.16 C.8 D.4 (1)C (2)B [(1)∵雙曲線的一條漸近線方程為y=x,則由題意,得>2,
17、∴e==>=,即雙曲線離心率的取值范圍為(,+∞). (2)雙曲線C1:-y2=1的離心率為,設F2(c,0),雙曲線C2的一條漸近線方程為y=x,可得|MF2|==b,|OM|==a.由S△OMF2=16,可得ab=16,即ab=32.又a2+b2=c2,且=,得a=8,b=4,c=4,所以雙曲線C2的實軸長為16.] [規(guī)律方法] 與雙曲線幾何性質(zhì)有關(guān)問題的解題策略 (1)求雙曲線的離心率(或范圍).依據(jù)題設條件,將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于a,c的等式(或不等式),解方程(或不等式)即可求得. (2)求雙曲線的漸近線方程.依據(jù)題設條件,求雙曲線中a,b的值或a與b的比值,進而得出雙曲線的漸近
18、線方程. (1)(2019·??谀M)在平面直角坐標系xOy中,雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的一條漸近線與圓(x-2)2+(y-1)2=1相切,則C的離心率為( ) A. B. C. D. (2)若實數(shù)k滿足0<k<9,則曲線-=1與曲線-=1的( ) A.焦距相等 B.實半軸長相等 C.虛半軸長相等 D.離心率相等 (3)已知雙曲線C1,C2的焦點分別在x軸、y軸上,漸近線方程為y=±x(a>0),離心率分別為e1,e2,則e1+e2的最小值為________. (1)B (2)A (3)2 [(1)雙曲線C的漸近線方程為by±ax=0,與圓相切的
19、只能是直線by-ax=0,則=1,化簡得3a=4b,所以9a2=16b2=16(c2-a2),e2=,故e=,故選B. (2)∵0<k<9,∴9-k>0,25-k>0. ∴-=1與-=1均表示雙曲線, 又25+(9-k)=34-k=(25-k)+9, ∴它們的焦距相等,故選A. (3)e1+e2=+=·≥×=2,當且僅當a=1時取等號,故e1+e2的最小值是2.] 1.(2018·全國卷Ⅱ)雙曲線-=1(a>0,b>0)的離心率為,則其漸近線方程為( ) A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x A [法一:由題意知,e==,所以c=a,所以b==
20、a,所以=,所以該雙曲線的漸近線方程為y=±x=±x,故選A. 法二:由e===,得=,所以該雙曲線的漸近線方程為y=±x=±x,故選A.] 2.(2018·全國卷Ⅰ)已知雙曲線C:-y2=1,O為坐標原點,F(xiàn)為C的右焦點,過F的直線與C的兩條漸近線的交點分別為M,N.若△OMN為直角三角形,則|MN|=( ) A. B.3 C.2 D.4 B [因為雙曲線-y2=1的漸近線方程為y=±x,所以∠MON=60°.不妨設過點F的直線與直線y=x交于點M,由△OMN為直角三角形,不妨設∠OMN=90°,則∠MFO=60°,又直線MN過點F(2,0),所以直線MN的方程為y=-(
21、x-2),
由得所以M,所以|OM|==,所以|MN|=|OM|=3,故選B.]
3.(2016·全國卷Ⅰ)已知方程-=1表示雙曲線,且該雙曲線兩焦點間的距離為4,則n的取值范圍是( )
A.(-1,3) B.(-1,)
C.(0,3) D.(0,)
A [若雙曲線的焦點在x軸上,則
又∵(m2+n)+(3m2-n)=4,∴m2=1,∴
∴-1
22、圓A,圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M,N兩點.若∠MAN=60°,則C的離心率為________. [如圖,由題意知點A(a,0),雙曲線的一條漸近線l的方程為y=x,即bx-ay=0,∴點A到l的距離d=. 又∠MAN=60°,MA=NA=b,∴△MAN為等邊三角形, ∴d=MA=b,即=b,∴a2=3b2,∴e===.] 5.(2015·全國卷Ⅰ)已知F是雙曲線C:x2-=1的右焦點,P是C的左支上一點,A(0,6).當△APF周長最小時,該三角形的面積為________. 12 [由雙曲線方程x2-=1可知,a=1,c=3,故F(3,0),F(xiàn)1(-3,0). 當點P在雙曲線左支上運動時,由雙曲線定義知|PF|-|PF1|=2,所以|PF|=|PF1|+2,從而△APF的周長=|AP|+|PF|+|AF|=|AP|+|PF1|+2+|AF|. 因為|AF|==15為定值, 所以當(|AP|+|PF1|)最小時,△APF的周長最小,由圖象可知,此時點P在線段AF1與雙曲線的交點處(如圖所示). 由題意可知直線AF1的方程為y=2x+6, 由 得y2+6y-96=0, 解得y=2或y=-8(舍去), 所以S△APF=S△AF1F-S△PF1F =×6×6-×6×2=12.] - 10 -
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