《2020版高考數學一輪復習 第8章 平面解析幾何 第8節(jié) 圓錐曲線的綜合問題（第1課時）直線與圓錐曲線教學案 文（含解析）北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2020版高考數學一輪復習 第8章 平面解析幾何 第8節(jié) 圓錐曲線的綜合問題（第1課時）直線與圓錐曲線教學案 文（含解析）北師大版（7頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、第八節(jié)　圓錐曲線的綜合問題 [考綱傳真]　1.掌握解決直線與橢圓、拋物線的位置關系的思想方法；2.了解圓錐曲線的簡單應用；3.理解數形結合的思想． 1．直線與圓錐曲線的位置關系 設直線l：Ax＋By＋C＝0，圓錐曲線C：F(x，y)＝0， 由消去y得到關于x的方程ax2＋bx＋c＝0. (1)當a≠0時，設一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判別式為Δ，則Δ＞0?直線l與圓錐曲線C有兩個公共點； Δ＝0?直線l與圓錐曲線C有一個公共點； Δ＜0?直線l與圓錐曲線C有零個公共點． (2)當a＝0，b≠0時，圓錐曲線C為拋物線或雙曲線． 當C為雙曲線時，l與雙曲線的漸近線平行或

2、重合，它們的公共點有1個或0個． 當C為拋物線時，l與拋物線的對稱軸平行或重合，它們的公共點有1個． 2．圓錐曲線的弦長公式 設斜率為k的直線l與圓錐曲線C相交于A，B兩點，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝|x1－x2|＝·＝|y1－y2|＝·. 過一點的直線與圓錐曲線的位置關系 (1)過橢圓外一點總有兩條直線與橢圓相切； 過橢圓上一點有且只有一條直線與橢圓相切； 過橢圓內一點的直線與橢圓相交． (2)過拋物線外一點總有三條直線和拋物線有且只有一個公共點：兩條切線和一條與對稱軸平行或重合的直線；過拋物線上一點總有兩條直線與拋物線有且只有一個公共點：一條切線和

3、一條與對稱軸平行或重合的直線；過拋物線內一點只有一條直線與拋物線有且只有一個公共點：一條與對稱軸平行或重合的直線． [基礎自測] 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)直線l與橢圓C相切的充要條件是直線l與橢圓C只有一個公共點． (　　) (2)直線l與雙曲線C相切的充要條件是直線l與雙曲線C只有一個公共點． (　　) (3)過拋物線y2＝2px(p>0)焦點的弦中最短弦的弦長是2p． (　　) (4)若拋物線上存在關于直線l對稱的兩點，則l與拋物線有兩個交點． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2．(教材改編)

4、直線y＝k(x－1)＋1與橢圓＋＝1的位置關系是(　　) A．相交　　　B．相切　　　C．相離　　　D．不確定 A　[直線y＝k(x－1)＋1恒過定點(1,1)，又點(1,1)在橢圓內部，故直線與橢圓相交．] 3．“直線與雙曲線相切”是“直線與雙曲線只有一個公共點”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 A　[直線與雙曲線相切時，只有一個公共點，但直線與雙曲線相交時，也可能有一個公共點，例如：與雙曲線的漸近線平行的直線與雙曲線只有一個交點．故選A．] 4．過點(0,1)作直線，使它與拋物線y2＝4x僅有一個公共點，這樣的直線有_

5、_______條． 3　[結合圖形分析可知，滿足題意的直線共有3條：直線x＝0，過點(0,1)且平行于x軸的直線以及過點(0,1)且與拋物線相切的直線(非直線x＝0). ] 5．(教材改編)已知與向量v＝(1,0)平行的直線l與雙曲線－y2＝1相交于A，B兩點，則|AB|的最小值為________． 4　[由題意可設直線l的方程為y＝m，代入－y2＝1得x2＝4(1＋m2)，所以x1＝＝2，x2＝－2，所以|AB|＝|x1－x2|＝4≥4，即當m＝0時，|AB|有最小值4.] 第1課時　直線與圓錐曲線 直線與圓錐曲線的位置關系 1．過拋物線y2＝2x的焦點作一條直線與拋

6、物線交于A，B兩點，它們的橫坐標之和等于2，則這樣的直線(　　) A．有且只有一條　 B．有且只有兩條 C．有且只有三條 D．有且只有四條 B　[設該拋物線焦點為F，A(xA，yA)，B(xB，yB)，則|AB|＝|AF|＋|FB|＝xA＋＋xB＋＝xA＋xB＋1＝3>2p＝2.所以符合條件的直線有且只有兩條．] 2．若直線y＝kx＋1與橢圓＋＝1總有公共點，則m的取值范圍是(　　) A．m>1 B．m>0 C．0

7、直線y＝kx＋2與雙曲線x2－y2＝6的右支交于不同的兩點，則k的取值范圍是(　　) A． B． C． D． D　[由得(1－k2)x2－4kx－10＝0.設直線與雙曲線右支交于不同的兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則 解得－＜k＜－1， 即k的取值范圍是.] [規(guī)律方法]　 直線與圓錐曲線位置關系的判定方法 代數法 即聯(lián)立直線與圓錐曲線方程可得到一個關于x，y的方程組，消去y(或x)得一元方程，此方程根的個數即為交點個數，方程組的解即為交點坐標 幾何法 即畫出直線與圓錐曲線的圖像，根據圖像判斷公共點個數 弦長問題 ?考法1　與弦長有關的問題

8、【例1】　斜率為1的直線l與橢圓＋y2＝1相交于A，B兩點，則|AB|的最大值為(　　) A．2 B． C． D． C　[設A，B兩點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，直線l的方程為y＝x＋t，由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0， 則x1＋x2＝－t，x1x2＝. ∴|AB|＝|x1－x2|＝· ＝·＝·， 當t＝0時，|AB|max＝.] ?考法2　中點弦問題 【例2】　已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的右焦點為F(3，0)，過點F的直線交橢圓E于A，B兩點．若AB的中點坐標為(1，－1)，則E的方程為(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1

9、D．＋＝1 D　 [設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 所以運用點差法，所以直線AB的斜率為k＝，設直線方程為y＝(x－3)， 聯(lián)立直線與橢圓的方程得(a2＋b2)x2－6b2x＋9b2－a4＝0， 所以x1＋x2＝＝2，又因為a2－b2＝9，解得b2＝9，a2＝18，方程為＋＝1.] ?考法3　與弦長有關的綜合問題 【例3】　如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，過橢圓右焦點F作兩條互相垂直的弦AB與CD．當直線AB斜率為0時，AB＝4. (1)求橢圓的方程； (2)若|AB|＋|CD|＝，求直線AB的方程． [解]　(1)由題意知e＝

10、＝，2a＝4.又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝，所以橢圓方程為＋＝1. (2)①當兩條弦中一條弦所在直線的斜率為0時，另一條弦所在直線的斜率不存在，由題意知|AB|＋|CD|＝7，不滿足條件． ②當兩弦所在直線的斜率均存在且不為0時，設直線AB的方程為y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則直線CD的方程為y＝－(x－1)． 將直線AB方程代入橢圓方程中并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，則x1＋x2＝，x1·x2＝， 所以|AB|＝|x1－x2|＝· ＝. 同理，|CD|＝＝. 所以|AB|＋|CD|＝＋ ＝＝，解得k＝±1， 所

11、以直線AB的方程為x－y－1＝0或x＋y－1＝0. [規(guī)律方法]　求解弦長的四種方法 (1)當弦的兩端點坐標易求時，可直接利用兩點間的距離公式求解． (2)聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，解方程組求出兩個交點坐標，代入兩點間的距離公式求解． (3)聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，消元得到關于x(或y)的一元二次方程，利用根與系數的關系得到(x1－x2)2，(y1－y2)2，代入兩點間的距離公式． (4)當弦過焦點時，可結合焦半徑公式求解弦長． 設橢圓M：＋＝1(a＞b＞0)的離心率與雙曲線x2－y2＝1的離心率互為倒數，且橢圓的長軸長為4. (1)求橢圓M的方程； (2)若直線y＝x＋1交橢圓M于A，B兩點，P(1，)為橢圓M上一點，求△PAB的面積． [解]　(1)由題可知，雙曲線的離心率為，則橢圓的離心率e＝＝， 由2a＝4，＝，b2＝a2－c2，得a＝2，c＝，b＝， 故橢圓M的方程為＋＝1. (2)聯(lián)立方程得4x2＋2x－3＝0， 且 所以|AB|＝|x1－x2|＝· ＝·＝. 又P到直線AB的距離為d＝， 所以S△PAB＝|AB|·d＝··＝. - 7 -