《2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第4節(jié) 二次函數(shù)與冪函數(shù)學(xué)案 理 北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第4節(jié) 二次函數(shù)與冪函數(shù)學(xué)案 理 北師大版（8頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第四節(jié)　二次函數(shù)與冪函數(shù) [考綱傳真]　(教師用書獨(dú)具)1.(1)了解冪函數(shù)的概念；(2)結(jié)合函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝的圖像，了解它們的變化情況.2.理解二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，能用二次函數(shù)、方程、不等式之間的關(guān)系解決簡單問題． (對應(yīng)學(xué)生用書第16頁) [基礎(chǔ)知識填充] 1．二次函數(shù) (1)二次函數(shù)解析式的三種形式 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； 頂點(diǎn)式：f(x)＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h，k)； 零點(diǎn)式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2為f(x)的零點(diǎn)． (2)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)

2、函數(shù) y＝ax2＋bx＋c(a＞0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0) 圖像 定義域 R 值域 單調(diào)性 在上減，在上增 在上增，在上減 對稱性 函數(shù)的圖像關(guān)于x＝－對稱 2.冪函數(shù) (1)定義：如果一個函數(shù)，底數(shù)是自變量x，指數(shù)是常量α，即y＝xα，這樣的函數(shù)稱為冪函數(shù)． (2)五種常見冪函數(shù)的圖像與性質(zhì) 函 數(shù) 特 征 性 質(zhì) y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 圖像 定義域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {

3、y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 單調(diào)性 增 (－∞，0)減，(0，＋∞)增 增 增 (－∞，0)和(0，＋∞)減 公共點(diǎn) (1,1) [知識拓展]　若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，則當(dāng)時(shí)，恒有f(x)＞0；當(dāng)時(shí)，恒有f(x)＜0. [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函數(shù)．(　　) (2)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.(　　) (3)冪函數(shù)的圖像一定經(jīng)過點(diǎn)(1,1)和點(diǎn)(0,0)．(　　) (4)

4、當(dāng)n＞0時(shí)，冪函數(shù)y＝xn在(0，＋∞)上是增函數(shù)．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．y＝x2，y＝，y＝4x2，y＝x5＋1，y＝(x－1)2，y＝x，y＝ax(a＞1)，上述函數(shù)是冪函數(shù)的有(　　) A．0個　　　　　 B．1個 C．2個 D．3個 C　[只有y＝x2，y＝x是冪函數(shù)，故選C.] 3．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋x＋5的圖像在x軸上方，則a的取值范圍是(　　) A. B. C. D. C　[由題意知即得a＞.] 4．若f(x)＝(x＋a)(x－4)為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝________. 4　[f(x)＝x2＋(a－4

5、)x－4a，由f(x)是偶函數(shù)知a－4＝0，所以a＝4.] 5．(教材改編)已知冪函數(shù)y＝f(x)的圖像過點(diǎn)，則此函數(shù)的解析式為________；在區(qū)間________上遞減． y＝x　(0，＋∞)　[設(shè)f(x)＝xα，則2α＝， 所以α＝－，即冪函數(shù)的解析式為y＝x，單調(diào)減區(qū)間為(0，＋∞)．] (對應(yīng)學(xué)生用書第17頁) 冪函數(shù)的圖像與性質(zhì) 　(1)冪函數(shù)y＝f(x)的圖像過點(diǎn)(4,2)，則冪函數(shù)y＝f(x)的圖像是(　　) (2)(2016·全國卷Ⅲ)已知a＝2，b＝3，c＝25，則(　　) A．b＜a＜c B．a(chǎn)＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜

6、b (1)C　(2)A　[(1)令f(x)＝xα，由4α＝2，∴α＝， ∴f(x)＝x.故選C. (2)a＝2＝4，b＝3，c＝25＝5. ∵y＝x在第一象限內(nèi)為增函數(shù)，又5＞4＞3， ∴c＞a＞b.] [規(guī)律方法]　(1)冪函數(shù)的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一個參數(shù)α，因此只需一個條件即可確定其解析式. (2)若冪函數(shù)y＝xα(α∈R)是偶函數(shù)，則α必為偶數(shù).當(dāng)α是分?jǐn)?shù)時(shí)，一般先將其化為根式，再判斷. (3)若冪函數(shù)y＝xα在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則α＞0，若在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，則α＜0.) [跟蹤訓(xùn)練]　(1)已知冪函數(shù)f(x)＝(n2＋2n－2)·x (n

7、∈Z)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，則n的值為(　　) A．－3 B．1 C．2 D．1或2 (2)若(a＋1)＜(3－2a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． (1)B　(2)　[(1)由于f(x)為冪函數(shù)，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3.當(dāng)n＝1時(shí)，f(x)＝x－2＝在(0，＋∞)上是減函數(shù)；當(dāng)n＝－3時(shí)，f(x)＝x18在(0，＋∞)上是增函數(shù)．故n＝1符合題意，應(yīng)選B. (2)易知函數(shù)y＝x的定義域?yàn)閇0，＋∞)，在定義域內(nèi)為增函數(shù)， 所以解得－1≤a＜.] 求二次函數(shù)的解析式 　已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f

8、(x)的最大值是8，試確定此二次函數(shù)的解析式. 【導(dǎo)學(xué)號：79140037】 [解]　法一(利用一般式)： 設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 由題意得 解得∴所求二次函數(shù)為f(x)＝－4x2＋4x＋7. 法二(利用頂點(diǎn)式)： 設(shè)f(x)＝a(x－m)2＋n. ∵f(2)＝f(－1)， ∴拋物線的圖像的對稱軸為x＝＝. ∴m＝.又根據(jù)題意函數(shù)有最大值8，∴n＝8. ∴y＝f(x)＝a＋8. ∵f(2)＝－1，∴a＋8＝－1，解得a＝－4， ∴f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7. 法三(利用零點(diǎn)式)： 由已知f(x)＋1＝0的兩根為x1＝2，x2＝－1，

9、 故可設(shè)f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)， 即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函數(shù)的最大值是8，即＝8，解得a＝－4， ∴所求函數(shù)的解析式為f(x)＝－4x2＋4x＋7. [規(guī)律方法]　用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，關(guān)鍵是靈活選取二次函數(shù)解析式的形式，選法如下： [跟蹤訓(xùn)練]　已知二次函數(shù)f(x)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(4,3)，它在x軸上截得的線段長為2，并且對任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式． [解]　∵f(2－x)＝f(2＋x)對x∈R恒成立， ∴f(x)的對稱軸為x＝2. 又∵f(x)的圖像被x軸截得的線段長為2， ∴f(x)＝0

10、的兩根為1和3. 設(shè)f(x)的解析式為f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)． 又∵f(x)的圖像過點(diǎn)(4,3)， ∴3a＝3，a＝1. ∴所求f(x)的解析式為f(x)＝(x－1)(x－3)， 即f(x)＝x2－4x＋3. 二次函數(shù)的圖像與性質(zhì) ◎角度1　二次函數(shù)圖像的識別及應(yīng)用 　設(shè)abc＞0，則二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的圖像可能是(　　) D　[由A，C，D知，f(0)＝c＜0. ∵abc＞0，∴ab＜0，∴對稱軸x＝－＞0，知A，C錯誤，D符合要求．由B知f(0)＝c＞0，∴ab＞0，∴x＝－＜0，B錯誤．] ◎角度2　二次函數(shù)的最值

11、問題 　(2017·廣州十六中月考)若函數(shù)f(x)＝x2－2x＋1在區(qū)間[a，a＋2]上的最小值為4，則a的取值集合為(　　) A．[－3,3] B．[－1,3] C．{－3,3} D．{－1，－3,3} C　[f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，圖像的對稱軸是x＝1. 因?yàn)閒(x)在區(qū)間[a，a＋2]上的最小值為4， 所以當(dāng)1≤a時(shí)，ymin＝f(a)＝(a－1)2＝4，解得a＝－1(舍去)或a＝3； 當(dāng)a＋2≤1，即a≤－1時(shí)，ymin＝f(a＋2)＝(a＋1)2＝4，解得a＝1(舍去)或a＝－3； 當(dāng)a＜1＜a＋2，即－1＜a＜1時(shí)，ymin＝f(1)＝0≠4，不符合

12、題意，故a的取值集合為{－3,3}．] ◎角度3　二次函數(shù)中的恒成立問題 　已知函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c(b，c∈R)，對任意的x∈R，恒有f′(x)≤f(x)． (1)證明：當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≤(x＋c)2； (2)若對滿足題設(shè)條件的任意b，c，不等式f(c)－f(b)≤M(c2－b2)恒成立，求M的最小值． [解]　(1)證明：易知f′(x)＝2x＋b. 由題設(shè)，對任意的x∈R,2x＋b≤x2＋bx＋c， 即x2＋(b－2)x＋c－b≥0恒成立， 所以Δ＝(b－2)2－4(c－b)≤0，從而c≥＋1. 于是c≥1，且c≥2＝|b|， 當(dāng)且僅當(dāng)b＝±2時(shí)等號成立．

13、 因此2c－b＝c＋(c－b)＞0. 當(dāng)x≥0時(shí)，有(x＋c)2－f(x)＝(2c－b)x＋c(c－1)≥0. 故當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≤(x＋c)2. (2)由(1)知，c≥|b|，則 當(dāng)c＞|b|時(shí)，有 M≥＝＝. 令t＝，則－1＜t＜1，＝2－. 而函數(shù)g(t)＝2－(－1＜t＜1)的值域?yàn)椋? 因此，當(dāng)c＞|b|時(shí)，M 的取值范圍為. 當(dāng)c＝|b|時(shí)，由(1)知，b＝±2，c＝2. 此時(shí)f(c)－f(b)＝－8或0，且c2－b2＝0， 從而f(c)－f(b)≤M(c2－b2)恒成立． 綜上所述，M的最小值為. [規(guī)律方法]　1.二次函數(shù)的最值問題的類型及求解方法

14、 (1)類型：①對稱軸、區(qū)間都是給定的；②對稱軸動、區(qū)間固定；③對稱軸定、區(qū)間變動. (2)求解方法：抓住“三點(diǎn)一軸”進(jìn)行數(shù)形結(jié)合，三點(diǎn)是指區(qū)間兩個端點(diǎn)和中點(diǎn)，一軸指的是對稱軸，具體方法是利用配方法、函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想求解. 2.二次函數(shù)中恒成立問題的求解思路 由不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，常用分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，其依據(jù)是a≥f(x)?a≥f(x)max，a≤f(x)?a≤f(x)min. [跟蹤訓(xùn)練]　(1)已知函數(shù)f(x)＝ax2－2x＋2，若對一切x∈，f(x)＞0都成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：79140038】 A． B． C．[－4，＋∞) D．(－4，＋∞) (2)已知函數(shù)f(x)＝x2＋mx－1，若對于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________． (1)B　(2)　[(1)因?yàn)閷σ磺衳∈，f(x)＞0都成立，所以當(dāng)x∈時(shí)，a＞＝－＋＝－2＋， 又－2＋≤， 則實(shí)數(shù)a的取值范圍為. (2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x2＋mx－1的圖像是開口向上的拋物線，要使對于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0，則有 即解得－＜m＜0. 所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.] 8