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2020版高考數(shù)學一輪復習 第4章 平面向量、數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 第3節(jié) 平面向量的數(shù)量積與平面向量應用舉例教學案 理(含解析)新人教A版

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2020版高考數(shù)學一輪復習 第4章 平面向量、數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 第3節(jié) 平面向量的數(shù)量積與平面向量應用舉例教學案 理(含解析)新人教A版_第1頁
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1、第三節(jié) 平面向量的數(shù)量積與平面向量應用舉例 [考綱傳真] 1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關系.3.掌握數(shù)量積的坐標表達式,會進行平面向量數(shù)量積的運算.4.能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角,會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系.5.會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題.6.會用向量方法解決簡單的力學問題與其他一些實際問題. 1.向量的夾角 已知兩個非零向量a和b,作=a,=b,則∠AOB就是向量a與b的夾角,向量夾角的范圍是:[0,π]. 2.平面向量的數(shù)量積 定義 設兩個非零向量a,b的夾角為θ,則數(shù)量|a||b|cos θ叫做a

2、與b的數(shù)量積,記作a·b 投影 |a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影, |b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影 幾何 意義 數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘積 3.平面向量數(shù)量積的運算律 (1)交換律:a·b=b·a; (2)數(shù)乘結(jié)合律:(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb); (3)分配律:a·(b+c)=a·b+a·c. 4.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標表示 設非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ=〈a,b〉. 結(jié)論 幾何表示 坐標表示 模 |a|= |a|= 數(shù)量積 a·b=|a||

3、b|cos θ a·b=x1x2+y1y2 夾角 cos θ= cos θ= a⊥b a·b=0 x1x2+y1y2=0 |a·b|與 |a||b|的 關系 |a·b|≤|a||b| |x1x2+y1y2| ≤· [常用結(jié)論] 1.平面向量數(shù)量積運算的常用公式 (1)(a+b)·(a-b)=a2-b2; (2)(a±b)2=a2±2a·b+b2. 2.兩個向量a,b的夾角為銳角?a·b>0且a,b不共線; 兩個向量a,b的夾角為鈍角?a·b<0且a,b不共線. [基礎自測] 1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”) (1

4、)兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù),向量的數(shù)乘運算的運算結(jié)果是向量.(  ) (2)向量在另一個向量方向上的投影為數(shù)量,而不是向量.(  ) (3)由a·b=0可得a=0或b=0.(  ) (4)(a·b)c=a(b·c).(  ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)× 2.(教材改編)已知|a|=6,|b|=3,向量a在b方向上的投影是4,則a·b為(  ) A.12  B.8  C.-8   D.2 A [∵a·b=|a||b|cos〈a,b〉 =|b||a|cos〈a,b〉 =3×4=12.] 3.已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,則m

5、=(  ) A.-8 B.-6 C.6 D.8 D [∵a=(1,m),b=(3,-2), ∴a+b=(4,m-2),由(a+b)⊥b可得 (a+b)·b=12-2m+4=16-2m=0,即m=8.] 4.已知a,b是平面向量,如果|a|=3,|b|=4,|a+b|=2,那么|a-b|=(  ) A. B.7 C.5 D. A [∵|a|=3,|b|=4,|a+b|=2,∴a2+b2+2a·b=4,即2a·b=-21. ∴|a-b|===.] 5.已知向量a=(1,),b=(,1),則a與b夾角的大小為________.  [由題意得|a|==2,|b|==2

6、, a·b=1×+×1=2. 設a與b的夾角為θ,則cos θ==. ∵θ∈[0,π],∴θ=.] 平面向量數(shù)量積的運算 1.已知點A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),則向量在方向上的投影是(  ) A.-3   B.-   C.3   D. A [依題意得,=(-2,-1),=(5,5),·=-15,||=,因此向量在方向上的投影是==-3,故選A.] 2.在△ABC中,AB=4,BC=6,∠ABC=,D是AC的中點,E在BC上,且AE⊥BD,則·=(  ) A.16 B.12 C.8 D.-4 A [建立如圖所示的平面直角坐標系

7、,則A(4,0),B(0,0),C(0,6),D(2,3).設E(0,b),因為AE⊥BD,所以·=0,即(-4,b)·(2,3)=0,所以b=,所以E,=,所以·=16,故選A.] 3.已知菱形ABCD的邊長為6,∠ABD=30°,點E,F(xiàn)分別在邊BC,DC上,BC=2BE,CD=λCF.若·=-9,則λ的值為(  ) A.2 B.3 C.4 D.5 B [依題意得=+=-,=+,因此·=·=2-2+·,于是有×62+×62×cos 60°=-9,由此解得λ=3,故選B.] [規(guī)律方法] 1.向量數(shù)量積的兩種運算方法 (1)當已知向量的模和夾角時,可利用定義法求解,即a·b=

8、|a||b|cos〈a,b〉; (2)當已知向量的坐標時,可利用坐標法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a·b=x1x2+y1y2. 2.解決涉及幾何圖形的向量的數(shù)量積運算問題時,常利用解析法,巧妙構(gòu)造坐標系,利用坐標求解. 平面向量的夾角與模 ?考法1 平面向量的模 【例1】 (1)設向量a,b滿足|a|=2,|b|=|a+b|=3,則|a+2b|=________. (2)已知向量a=(cos θ,sin θ),b=(-,1),則|2a-b|的最大值為________. (1)4 (2)4 [(1)因為|a|=2,|b|=|a+b|=3, 所以(a

9、+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=4+9+2a·b=9, 所以a·b=-2,所以|a+2b|====4. (2)由題意得|a|=1,|b|=2,a·b=sin θ-cos θ=2sin,所以|2a-b|2=4|a|2+|b|2-4a·b=4×12+22-8sin=8-8sin,所以|2a-b|2的最大值為8-8×(-1)=16,故|2a-b|的最大值為4(此時θ=2kπ-,k∈Z).] ?考法2 平面向量的夾角 【例2】 (1)若非零向量a,b滿足|a|=|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),則a與b的夾角為(  ) A. B. C. D.π (2)(2018·遼南一

10、模)設向量a=(1,),b=(m,),且a,b的夾角為銳角,則實數(shù)m的取值范圍是________. (1)A (2)(-3,1)∪(1,+∞) [(1)∵(a-b)⊥(3a+2b),∴(a-b)·(3a+2b)=0,即3a2-a·b-2b2=0,∴a·b=3a2-2b2,又|a|=|b|,∴cos〈a,b〉====,又〈a,b〉∈[0,π],∴a與b的夾角為,故選A. (2)由a,b的夾角是銳角得a·b>0且a,b不共線,則解得m>-3且m≠1,即實數(shù)m的取值范圍為(-3,1)∪(1,+∞).] [規(guī)律方法] 1.求解平面向量模的方法 (1)寫出有關向量的坐標,利用公式|a|= (2

11、)當利用向量的線性運算和向量的數(shù)量積公式進行求解, 2.求平面向量的夾角的方法 (1)定義法:注意θ的取值范圍為[0,π]; (2)坐標法:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則 (3)解三角形法:可以把所求兩向量的夾角放到三角形中進行求解. (1)(2018·廣州一模)已知向量a=(m,2),b=(1,1),若|a+b|=|a|+|b|,則實數(shù)m=________. (2)(2017·山東高考)已知e1,e2是互相垂直的單位向量.若e1-e2與e1+λe2的夾角為60°,則實數(shù)λ的值是________. (1)2 (2) [(1)|a+b|=|a|+|b|兩邊平方,得

12、2a·b=2|a||b|,即m+2=×,解得m=2. (2)由題意知|e1|=|e2|=1,e1·e2=0, |e1-e2|= ===2. 同理|e1+λe2|=. 所以cos 60°= ===, 解得λ=.] 平面向量的應用 【例3】 (1)在△ABC中,已知向量=(2,2),||=2,·=-4,則△ABC的面積為(  ) A.4 B.5 C.2 D.3 (2)(2017·全國卷Ⅱ)已知△ABC是邊長為2的等邊三角形,P為平面ABC內(nèi)一點,則·(+)的最小值是(  ) A.-2 B.- C.- D.-1 (1)C (2)B  [(1)∵=(2,

13、2),∴||=2, ∴·=||||cos A =2×2cos A=-4, ∴cos A=-, 又A∈(0,π),∴sin A=, ∴S△ABC=||||sin A=2,故選C. (2)建立坐標系如圖所示,則A,B,C三點的坐標分別為A(0,),B(-1,0),C(1,0). 設P點的坐標為(x,y),則=(-x,-y),=(-1-x,-y),=(1-x,-y), ∴·(+)=(-x,-y)·(-2x,-2y)=2(x2+y2-y)=2≥2×=-. 當且僅當x=0,y=時,·(+)取得最小值,最小值為-. 故選B.] [規(guī)律方法] 1.用向量法解決平面(解析)幾何問題的兩種

14、方法: (1)幾何法:選取適當?shù)幕?基底中的向量盡量已知?;驃A角),將題中涉及的向量用基底表示,利用向量的運算法則、運算律或性質(zhì)計算; (2)坐標法:建立平面直角坐標系,實現(xiàn)向量的坐標化,將幾何問題中的長度、垂直、平行等問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算. 一般地,存在坐標系或易建坐標系的題目適合用坐標法. 2.平面向量與三角函數(shù)的綜合問題,運用向量共線或垂直或等式成立等,得到三角函數(shù)的關系式然后求解.  (1)(2019·廈門模擬)平行四邊形ABCD中,AB=4,AD=2,·=4,點P在邊CD上,則·的取值范圍是(  ) A.[-1,8]   B.[-1,+∞) C.[0,8] D.[

15、-1,0] (2)(2019·沈陽模擬)已知向量a,b滿足|a|=|b|=a·b=2且(a-c)·(b-c)=0,則|2b-c|的最大值為________. (1)A (2)+1 [(1)由題意得·=||·||·cos∠BAD=4,解得∠BAD=.以A為原點,AB所在的直線為x軸建立平面直角坐標系(圖略),則A(0,0),B(4,0),C(5,),D(1,),因為點P在邊CD上,所以不妨設點P的坐標為(a,)(1≤a≤5),則·=(-a,-)·(4-a,-)=a2-4a+3=(a-2)2-1,則當a=2時,·取得最小值-1;當a=5時,·取得最大值8,故選A. (2)∵|a|=|b|=a

16、·b=2, ∴cos〈a,b〉==, ∴〈a,b〉=60°. 設=a=(2,0),=b=(1,),=c, ∵(a-c)·(b-c)=0, ∴⊥, ∴點C在以AB為直徑的圓M上,其中M,半徑r=1. 延長OB到D,使得=2b(圖略),則D(2,2). ∵2b-c=-=, ∴|2b-c|的最大值為CD的最大值. ∵DM= =, ∴CD的最大值為DM+r=+1.] 1.(2018·全國卷Ⅱ)已知向量a,b滿足|a|=1,a·b=-1,則a·(2a-b)=(  ) A.4  B.3  C.2   D.0 B [a·(2a-b)=2a2-a·b=2-(-1)=3

17、,故選B.] 2.(2016·全國卷Ⅲ)已知向量=,=,則∠ABC=(  ) A.30° B.45° C.60° D.120° A [因為=,=,所以·=+=.又因為·=||||cos∠ABC=1×1×cos∠ABC,所以cos∠ABC=.又0°≤∠ABC≤180°,所以∠ABC=30°.故選A.] 3.(2014·全國卷Ⅱ)設向量a,b滿足|a+b|=,|a-b|=,則a·b=(  ) A.1 B.2 C.3 D.5 A [|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=10,① |a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=6,② ①-②,得4a·b=4,∴a·b=1.] 4.(2017·全國卷Ⅰ)已知向量a,b的夾角為60°,|a|=2,|b|=1,則|a+2b|=________. 2 [|a+2b|= = = ==2.] 5.(2016·全國卷Ⅰ)設向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,則m=________. -2 [∵|a+b|2=|a|2+|b|2+2a·b=|a|2+|b|2, ∴a·b=0. 又a=(m,1),b=(1,2),∴m+2=0,∴m=-2.] - 8 -

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