《2019年高考數(shù)學一輪復習 第3章 三角函數(shù)、解三角形 第2節(jié) 同角三角函數(shù)的基本關系與誘導公式學案 文 北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2019年高考數(shù)學一輪復習 第3章 三角函數(shù)、解三角形 第2節(jié) 同角三角函數(shù)的基本關系與誘導公式學案 文 北師大版（6頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第二節(jié)　同角三角函數(shù)的基本關系與誘導公式 [考綱傳真]　1.理解同角三角函數(shù)的基本關系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.2.能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導出±α，π±α的正弦、余弦、正切的誘導公式． (對應學生用書第41頁) [基礎知識填充] 1．同角三角函數(shù)的基本關系式 (1)平方關系：sin2α＋cos2α＝1； (2)商數(shù)關系：tan α＝. 2．誘導公式 組序 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋ α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α c

2、os α cos_α 余弦 cos α －cos α cos α －cos_α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan_α 口訣 函數(shù)名不變，符號看象限 函數(shù)名改變符號看象限 [知識拓展] 同角三角函數(shù)的基本關系式的幾種變形 (1)(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (2)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)． (3)cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)． (4)sin α＝tan αcos α. [基本能力自

3、測] 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)若α，β為銳角，則sin2α＋cos2β＝1.(　　) (2)若α∈R，則tan α＝恒成立．(　　) (3)sin(π＋α)＝－sin α成立的條件是α為銳角．(　　) (4)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，則sin α＝.(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．(教材改編)已知α是第二象限角，sin α＝，則cos α等于(　　) A．－　　　 B．－　　　 C．　　　 D． B　[∵sin α＝，α是第二象限角， ∴cos α＝－＝－.]

4、 3．(2017·陜西質檢(二))若tan α＝，則sin4α－cos4α的值為(　　) A．－ B．－ C． D． B　[sin4α－cos4α＝(sin2α－cos2α)(sin2α＋cos2α)＝＝＝－，故選B．] 4．(2016·四川高考)sin 750°＝________. 　[sin 750°＝sin(750°－360°×2)＝sin 30°＝.] 5．已知sin＝，α∈，則sin(π＋α)＝________. －　[因為sin＝cos α＝，α∈，所以sin α＝＝，所以sin(π＋α)＝－sin α＝－.] (對應學生用書第41頁)

5、同角三角函數(shù)基本關系式的應用 　(1)(2016·全國卷Ⅲ)若tan α＝，則cos2α＋2sin 2α＝(　　) A．　　　　 B．　　　　 C．1　　　　 D． (2)(2018·寧德模擬)已知α為第二象限角，sin α＋cos α＝，則cos 2α＝________. 【導學號：00090085】 (1)A　　(2) －　[(1)∵tan α＝，則cos2α＋2sin 2α＝＝＝＝，故選A． (2)由(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝得2sin αcos α＝－， 所以(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝， 又

6、α是第二象限角，所以cos α－sin α＜0， 所以cos α－sin α＝－， 因此cos 2α＝cos2α－sin2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝×＝－.] [規(guī)律方法]　1.利用sin2α＋cos2α＝1可以實現(xiàn)角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以實現(xiàn)角α的弦切互化． 2．應用公式時要注意方程思想的應用：對于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α這三個式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二． 3．注意公式逆用及變形應用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝

7、1－cos2α，cos2α＝1－sin2α. [變式訓練1]　(1)已知＝5，則sin2α－sin αcos α的值為(　　) A．－ B．－ C． D． (2)若α是三角形的內角，且tan α＝－，則sin α＋cos α的值為________． (1)D　(2)－　[(1)依題意得：＝5， ∴tan α＝2. ∴sin2α－sin αcos α ＝ ＝＝＝. (2)由tan α＝－，得sin α＝－cos α， 將其代入sin2α＋cos2α＝1， 得cos2α＝1，∴cos2α＝，易知cos α＜0， ∴cos α＝－，sin α＝，

8、 故sin α＋cos α＝－.] 誘導公式的應用 　(1)已知A＝＋(k∈Z)，則A的值構成的集合是(　　) A．{1，－1,2，－2}　　 B．{－1,1} C．{2，－2} D．{1，－1,0,2，－2} (2)(2018·郴州模擬)已知sin＝，則cos＝________. 【導學號：00090086】 (1)C　(2)　[(1)當k為偶數(shù)時，A＝＋＝2； k為奇數(shù)時，A＝－＝－2. (2)因為＋＝. 所以cos＝cos＝sin＝.] [規(guī)律方法]　1.利用誘導公式應注意已知角或函數(shù)名稱與所求角或函數(shù)名稱之間存在的關系，尤其是角之間的互余、互

9、補關系，選擇恰當?shù)墓?，向所求角和三角函?shù)進行化歸． 2．誘導公式的應用原則：負化正、大化小、小化銳、銳求值． [變式訓練2]　已知cos＝，則cos－sin2的值為________． －　[∵cos＝cos ＝－cos＝－， sin2＝sin2＝sin2 ＝1－cos2＝1－2＝， ∴cos－sin2＝－－＝－.] 同角關系式與誘導公式的綜合應用 　(1)(2016·全國卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sinθ＋＝，則tan＝________. (2)(2017·鄭州質檢)已知cos＝2sin，則的值為________． (1)－　(2)　[(1)由題意

10、知sin＝，θ是第四象限角，所以cos＞0，所以cos＝＝. 又－＝，所以sin＝cos＝，cos＝－sin＝－，從而tan＝＝－. (2)∵cos＝2sin， ∴－sin α＝－2cos α，則sin α＝2cos α， 代入sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝. ＝ ＝＝cos2α－＝.] [規(guī)律方法]　利用同角三角函數(shù)基本關系式和誘導公式化簡三角函數(shù)的基本思路和化簡要求：(1)基本思路：①分析結構特點，選擇恰當公式；②利用公式化成單角三角函數(shù)；③整理得最簡形式． (2)化簡要求：①化簡過程是恒等變形；②結果要求項數(shù)盡可能少，次數(shù)盡可能低，結構盡可能簡單，能求值的要求出值． [變式訓練3]　(1)(2016·安徽皖南八校聯(lián)考)已知sin α＝，α是第二象限角，則tan(π－α)＝________. (2)(2018·九江模擬)已知tan θ＝3，則cos＝________. 【導學號：00090087】 (1)　(2)　[(1)∵sin α＝，α是第二象限角，∴cos α＝－， ∴tan α＝－，故tan(π－α)＝－tan α＝. (2)因為tan θ＝3，所以cos＝sin 2θ＝＝＝＝.] 6