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2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 不等式、推理與證明 第34講 二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題學(xué)案

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1、 第34講 二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題 考綱要求 考情分析 命題趨勢 1.會從實際情境中抽象出二元一次不等式組. 2.了解二元一次不等式的幾何意義,能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組. 3.會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題,并能加以解決. 2017·山東卷,3 2017·浙江卷,3 2016·全國卷Ⅰ,16 2016·江蘇卷,4 對線性規(guī)劃的考查常以線性目標(biāo)函數(shù)的最值為重點,兼顧考查代數(shù)式的幾何意義,有時也考查用線性規(guī)劃知識解決實際問題. 分值:5分 1.二元一次不等式表示的平面區(qū)域 (1)一般地,在平面直角坐標(biāo)系中,二元一次

2、不等式Ax+By+C>0表示直線Ax+By+C=0某一側(cè)的所有點組成的平面區(qū)域(半平面)__不包括__邊界直線,把邊界直線畫成虛線;不等式Ax+By+C≥0所表示的平面區(qū)域(半平面)__包括__邊界直線,把邊界直線畫成實線. (2)對于直線Ax+By+C=0同一側(cè)的所有點(x,y),使得Ax+By+C的值符號相同,也就是位于同一半平面的點,如果其坐標(biāo)滿足Ax+By+C>0,則位于另一個半平面內(nèi)的點,其坐標(biāo)滿足__Ax+By+C<0__. (3)可在直線Ax+By+C=0的同一側(cè)任取一點,一般取特殊點(x0,y0),從Ax0+By0+C的__符號__就可以判斷Ax+By+C>0(或Ax+By

3、+C<0)所表示的區(qū)域. (4)由幾個不等式組成的不等式組所表示的平面區(qū)域,是各不等式所表示的平面區(qū)域的__公共部分__. 2.線性規(guī)劃中的基本概念 名稱 意義 約束條件 由變量x,y組成的__不等式(組)__ 線性約束條件 由x,y的__一次__不等式(或方程)組成的不等式(組) 目標(biāo)函數(shù) 欲求___最大值__或__最小值__的函數(shù) 線性目標(biāo)函數(shù) 關(guān)于x,y的__一次__解析式 可行解 滿足__線性約束條件__的解(x,y) 可行域 所有__可行解__組成的集合 最優(yōu)解 使目標(biāo)函數(shù)取得___最大值__或__最小值__的可行解 線性規(guī)劃問題 在線性約束條

4、件下求線性目標(biāo)函數(shù)的__最大值__或__最小值__問題 1.思維辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”). (1)不等式Ax+By+C>0表示的平面區(qū)域一定在直線Ax+By+C=0的上方.( × ) (2)任何一個二元一次不等式組都表示平面上的一個區(qū)域.( × ) (3)線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解可能是不唯一的.( √ ) (4)目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(b≠0)中,z的幾何意義是直線ax+by-z=0在y軸上的截距.( × ) 解析 (1)錯誤.當(dāng)B<0時,不等式Ax+By+C>0表示的平面區(qū)域在直線Ax+By+C=0的下方. (2)錯誤.當(dāng)二元一次不等式組中的不等式所表示的區(qū)域沒有公共部

5、分時,就無法表示平面上的一個區(qū)域. (3)正確.當(dāng)線性目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化成的直線和某個邊界重合時,最優(yōu)解無窮多. (4)錯誤.目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(b≠0)中,是直線ax+by-z=0在y軸上的截距. 2.點(3,1)和(-4,6)在直線3x-2y+a=0的兩側(cè),則( B ) A.a(chǎn)<-7或a>24   B.-7<a<24 C.a(chǎn)=-7或a=24   D.以上都不對 解析 依題意,(9-2+a)(-12-12+a)<0,解得-7

6、標(biāo)為(1,1).又B,C兩點的坐標(biāo)分別為(0,4),.故S△ABC=××1=. 4.(2017·山東卷)若x,y滿足約束條件則x+2y的最大值為( D ) A.1   B.3   C.5   D.9 解析 畫出可行域如圖中陰影部分所示,令z=x+2y,平移直線x+2y=0,可知當(dāng)z=x+2y過點C(3,3)時,目標(biāo)函數(shù)取得最大值,即zmax=3+2×3=9,故選D. 5.已知實數(shù)x,y滿足不等式組目標(biāo)函數(shù)z=y(tǒng)-ax(a∈R).若z取最大值時的唯一最優(yōu)解是(1,3),則實數(shù)a的取值范圍是__(1,+∞)__. 解析 如圖,依題意,直線x+y-4=0與x-y+2=0交于A

7、(1,3),此時目標(biāo)函數(shù)取最大值,故a>1. 一 二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域 確定二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域的方法 (1)“直線定界,特殊點定域”,即先作直線,再取特殊點并代入不等式組.若滿足不等式組,則不等式(組)表示的平面區(qū)域為直線與特殊點同側(cè)的那部分區(qū)域;否則就對應(yīng)與特殊點異側(cè)的平面區(qū)域.若直線不過原點,特殊點一般取(0,0)點. (2)當(dāng)不等式中帶等號時,邊界為實線,不帶等號時,邊界應(yīng)畫為虛線. 【例1】 (1)如圖陰影部分表示的區(qū)域可用二元一次不等式組表示為( A ) A. B. C. D. (2)若不等式組表示的平面區(qū)域為三角形,且其

8、面積等于,則m的值為( B ) A.-3   B.1   C.   D.3 解析 (1)兩直線方程分別為x-2y+2=0與x+y-1=0. 由(0,0)點在直線x-2y+2=0右下方, 可知x-2y+2≥0, 又(0,0)點在直線x+y-1=0左下方可知x+y-1≥0. 即為所表示的可行域. (2)作出可行域,如圖中陰影部分所示,易求A,B,C,D的坐標(biāo)分別為A(2,0),B(1-m,1+m),C,D(-2m,0). S△ABC=S△ADB-S△ADC =· =(2+2m) =(1+m)=. 解得m=1或m=-3(舍去). 二 線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題 (1

9、)求線性目標(biāo)函數(shù)的最值.線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解一般在平面區(qū)域的頂點或邊界處取得,所以對于一般的線性規(guī)劃問題,我們可以直接解出可行域的頂點,然后將坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出相應(yīng)的數(shù)值,從而確定目標(biāo)函數(shù)的最值. (2)由目標(biāo)函數(shù)的最值求參數(shù).求解線性規(guī)劃中含參問題的基本方法有兩種:一是把參數(shù)當(dāng)成常數(shù)用,根據(jù)線性規(guī)劃問題的求解方法求出最優(yōu)解,代入目標(biāo)函數(shù)確定最值,通過構(gòu)造方程或不等式求解參數(shù)的值或取值范圍;二是先分離含有參數(shù)的式子,通過觀察的方法確定含參的式子所滿足的條件,確定最優(yōu)解的位置,從而求出參數(shù). (3)利用可行域及最優(yōu)解求參數(shù)及其范圍.利用約束條件作出可行域,通過分析可行域及目標(biāo)函數(shù)確定最優(yōu)解

10、的點,再利用已知可求參數(shù)的值或范圍. 【例2】 (1)設(shè)變量x,y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z=2x+5y的最小值為( B ) A.-4   B.6   C.10   D.17 (2)x,y滿足約束條件若z=y(tǒng)-ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一,則實數(shù)a的值為( D ) A.或-1   B.2或 C.2或1   D.2或-1 解析 (1)由線性約束條件畫出可行域(如圖中陰影部分). 當(dāng)直線2x+5y-z=0過點A(3,0)時,zmin=2×3+5×0=6.故選B. (2)作出可行域(如圖所示的△ABC及其內(nèi)部). 由題設(shè)z=y(tǒng)-ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一可知:線性目標(biāo)函數(shù)

11、取最大值時對應(yīng)的直線與可行域某一邊界重合. 又kAB=-1,kAC=2,kBC=,∴a=-1或a=2或a=, 驗證:a=-1或a=2時,滿足題意;a=時,不滿足題意,故選D. 三 非線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題 非線性目標(biāo)函數(shù)常見類型的幾何意義 (1)(x-a)2+(y-b)2為點(x,y)與點(a,b)距離的平方. (2)為點(x,y)與點(a,b)連線的斜率. (3)|Ax+By+C|是點(x,y)到直線Ax+By+C=0的距離的倍. 【例3】 設(shè)x,y滿足條件 (1)求u=x2+y2的最大值與最小值; (2)求v=的最大值與最小值; (3)求z=|2x+y+4|的最大

12、值與最小值. 解析 畫出滿足條件的可行域,如圖所示. (1)x2+y2=u表示一組同心圓(圓心為原點O),且對同一圓上的點x2+y2的值都相等,由圖象可知:當(dāng)(x,y)在可行域內(nèi)取值時,當(dāng)且僅當(dāng)圓O過C點時,u最大,過點(0,0)時,u最?。? 又C(3,8),所以umax=73,umin=0. (2)v=表示可行域內(nèi)的點P(x,y)到定點D(5,0)的斜率,由圖象可知,kBD最大,kCD最?。? 又因為C(3,8),B(3,-3), 所以vmax==,vmin==-4. (3)因為z=|2x+y+4|=·表示可行域內(nèi)點P(x,y)到直線2x+y+4=0的距離的倍,由圖象知A到直

13、線2x+y+4=0的距離最小,C到直線2x+y+4=0的距離最大.又因為A,C(3,8), 故當(dāng)x=-,y=時, zmin=·=. 當(dāng)x=3,y=8時,zmax=·=18. 四 線性規(guī)劃的實際應(yīng)用 解線性規(guī)劃應(yīng)用題的一般步驟 第一步:分析題意,設(shè)出未知量; 第二步:列出線性約束條件和目標(biāo)函數(shù); 第三步:作出可行域并利用數(shù)形結(jié)合求解; 第四步:將數(shù)學(xué)問題的答案還原為實際問題的答案. 【例4】 (2016·天津卷)某化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料,需要A,B,C三種主要原料.生產(chǎn)1車皮甲種肥料和生產(chǎn)1車皮乙種肥料所需三種原料的噸數(shù)如下表所示. 原料 肥料    A B

14、 C 甲 4 8 3 乙 5 5 10 現(xiàn)有A種原料200噸,B種原料360噸,C種原料300噸,在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)甲、乙兩種肥料.已知生產(chǎn)1車皮甲種肥料,產(chǎn)生的利潤為2萬元;生產(chǎn)1車皮乙種肥料,產(chǎn)生的利潤為3萬元.分別用x,y表示計劃生產(chǎn)甲、乙兩種肥料的車皮數(shù). (1)用x,y列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式,并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域; (2)問分別生產(chǎn)甲、乙兩種肥料各多少車皮,能夠產(chǎn)生最大的利潤?并求出此最大利潤. 解析 (1)由已知,x,y滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式為 該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域為圖1中的陰影部分.   (2)設(shè)利潤為z萬元,則目標(biāo)函數(shù)為z=2x+3y.

15、考慮z=2x+3y,將它變形為y=-x+,這是斜率為-,隨z變化的一族平行直線,為直線在y軸上的截距,當(dāng)取最大值時,z的值最大.又因為x,y滿足約束條件,所以由圖2可知,當(dāng)直線z=2x+3y經(jīng)過可行域上的點M時,截距最大,即z最大. 解方程組得點M的坐標(biāo)為(20,24). 所以zmax=2×20+3×24=112. 故生產(chǎn)甲種肥料20車皮、乙種肥料24車皮時利潤最大,且最大利潤為112萬元. 1.(2017·浙江卷)若x,y滿足約束條件則z=x+2y的取值范圍是( D ) A.[0,6]   B.[0,4]   C.[6,+∞)   D.[4,+∞) 解析 畫出可行域如圖陰影

16、部分所示,平移直線x+2y=0,可知,直線z=x+2y過點(2,1)時取得最小值4,無最大值,故選D. 2.若實數(shù)x,y滿足不等式組目標(biāo)函數(shù)t=x-2y的最大值為2,則實數(shù)a的值是( D ) A.-2   B.0   C.1   D.2 解析 可行域為△ABC及其內(nèi)部,如圖所示.由圖可知,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)t=x-2y過點A時有最大值,由直線x-2y=2與直線x-2=0的交點坐標(biāo)為(2,0),代入直線x+2y-a=0,得a=2,故選D. 3.已知實數(shù)x,y滿足則k=的最大值為( C ) A.   B.   C.1   D. 解析 如圖,不等式組表示的平面區(qū)域為△AOB的邊界及其

17、內(nèi)部區(qū)域, k==表示點(x,y)和(-1,0)的連線的斜率. 由圖知,點(0,1)和點(-1,0)連線的斜率最大,所以kmax==1,故選C. 4.(2016·全國卷Ⅰ)某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料.生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5個工時;生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3個工時.生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2 100元,生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元.該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg,乙材料90 kg,則在不超過600個工時的條件下,生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為__216_000__元. 解析 設(shè)生產(chǎn)

18、產(chǎn)品A x件,生產(chǎn)產(chǎn)品B y件,利潤之和為z元,則z=2 100x+900y. 根據(jù)題意得即 作出可行域(如圖). 由得 當(dāng)直線2 100x+900y-z=0過點M(60,100)時,z取得最大值,zmax=2 100×60+900×100=216 000. 故所求的最大值為216 000元. 易錯點 不能準(zhǔn)確確定最優(yōu)解的位置 錯因分析:“截距型”最優(yōu)解問題一是要弄清z與截距的關(guān)系,二是要看與目標(biāo)函數(shù)相應(yīng)的直線的斜率的正負(fù)以及與可行域邊界直線斜率的大小關(guān)系. 【例1】 已知約束條件目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)的值最大為12,則+的最小值為________

19、. 解析 畫出可行域,如圖中陰影部分所示. 由z=ax+by得,y=-x+. ∵-<0,∴一定是過點A時z取最大值. 由得A(4,6), ∴zmax=4a+6b=12,∴+=1. ∴+==+++≥++2=(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時,取等號). ∴+的最小值為. 答案 【跟蹤訓(xùn)練1】 設(shè)變量x,y滿足約束條件若目標(biāo)函數(shù)z=x+ky(k>0)的最小值為13,則實數(shù)k=( C ) A.7   B.5或13     C.5或   D.13 解析 作出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖所示,可知z=x+ky(k>0)過點A或B時取得最小值,所以+k=13或+k=13,解得k=5或.

20、 課時達(dá)標(biāo) 第34講 [解密考綱]考查線性規(guī)劃以選擇題或填空題的形式出現(xiàn). 一、選擇題 1.已知實數(shù)x,y滿足則z=4x+y的最大值為( B ) A.10   B.8   C.2   D.0 解析 畫出可行域,根據(jù)圖形可知,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的圖象經(jīng)過點A(2,0)時,z=4x+y取得最大值8. 2.設(shè)變量x,y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z=3x-y的取值范圍是( A ) A.   B. C.[-1,6]   D. 解析 不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示.由圖可知,當(dāng)直線z=3x-y過點A(2,0)時,z取得最大值6,過點B時,z取得最小值-,故選A. 3.設(shè)變量x

21、,y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z=x2+y2的取值范圍為( C ) A.[2,8]   B.[4,13] C.[2,13]   D. 解析 作出可行域,如圖中陰影部分,將目標(biāo)函數(shù)看作是可行域內(nèi)的點到原點的距離的平方,從而可得zmin=|OA|2=2=2,zmax=|OB|2=32+22=13.故z∈[2,13]. 4.若實數(shù)x,y滿足且z=y(tǒng)-x的最小值為-2,則k=( B ) A.1   B.-1 C.2   D.-2 解析 當(dāng)k≥0時,直線z=y(tǒng)-x不存在最小值, ∴k<0.當(dāng)k<0時,當(dāng)有且僅當(dāng)直線z=y(tǒng)-x經(jīng)過kx-y+2=0與x軸的交點,(-,0)時,z取得最小值-2

22、,∴-2=,即k=-1. 5.若關(guān)于x,y的不等式組所表示的平面區(qū)域的面積等于2,則a=( A ) A.3   B.6 C.5   D.4 解析 先作出不等式組對應(yīng)的區(qū)域,如圖.因為直線ax-y+1=0過定點(0,1),且不等式ax-y+1≥0表示的區(qū)域在直線ax-y+1=0的下方,所以△ABC為不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域. 因為A到直線BC的距離為1,所以S△ABC=×1×BC=2, 所以BC=4.當(dāng)x=1時,yC=1+a,所以yC=1+a=4, 解得a=3. 6.設(shè)實數(shù)x, y滿足則z=+的取值范圍是( D ) A.   B. C.   D. 解析 作出不等式組表示的

23、平面區(qū)域,如圖中陰影所示.解方程組得可行域的頂點分別為A(3,1),B(1,2),C(4,2).由于表示可行域內(nèi)的點(x,y)與原點(0,0)的連線的斜率,則kOA=,kOB=2,kOC=,所示∈.結(jié)合對勾函數(shù)的圖象,得z∈,故選D. 二、填空題 7.(2016·全國卷Ⅰ)若x,y滿足約束條件則的最大值為__3__. 解析 由約束條件畫出可行域,如圖. 的幾何意義是可行域內(nèi)的點(x,y)與原點連線的斜率,所以的最大值即為直線OA的斜率,又由得點A的坐標(biāo)為(1,3),于是max=kOA=3. 8.已知實數(shù)x,y滿足x2+(y-2)2=1,則ω=的取值范圍是__[1,2]__.

24、 解析 設(shè)P(x,y),M(1,),則cos〈,〉==,過原點O作⊙C的切線OA,OB,切點為A,B, 易知:∠MOx=∠AOx=60°,∠BOx=120°, ∴0°≤〈,〉≤60°, ∴≤cos〈,〉≤1,∴1≤ω≤2. 9.已知a>0,實數(shù)x,y滿足約束條件若z=2x+y的最小值為1,則a的值為____. 解析 由題意得直線y=a(x-3)過x=1與2x+y=1的交點(1,-1),因此a的值為. 三、解答題 10.已知D是以點A(4,1),B(-1,-6),C(-3,2)為頂點的三角形區(qū)域(包括邊界與內(nèi)部),如圖所示. (1)寫出表示區(qū)域D的不等式組; (2)設(shè)點B(

25、-1,-6),C(-3,2)在直線4x-3y-a=0的異側(cè),求a的取值范圍. 解析 (1)直線AB,AC,BC的方程分別為7x-5y-23=0,x+7y-11=0,4x+y+10=0. 原點(0,0)在區(qū)域D內(nèi),故表示區(qū)域D的不等式組為 (2)依題意[4×(-1)-3×(-6)-a][4×(-3)-3×2-a]<0, 即(14-a)(-18-a)<0, 解得-18

26、如圖陰影部分. 由 解得A. 由解得C(1,1). 由解得B(5,2). (1)設(shè)P(x,y),則z===kPO, 由圖知zmin=kOB=. (2)z=x2+y2=|PO|2,∵|OC|2=2,|OB|2=29, ∴由圖得2≤z≤29,即z∈[2,29]. (3)z=x2+y2+6x-4y+13=(x+3)2+(y-2)2的幾何意義是可行域上的點到點(-3,2)的距離的平方.結(jié)合圖形可知,可行域上的點到(-3,2)的距離中, dmin=1-(-3)=4,dmax==8. ∴16≤z≤64,即z∈[16,64]. 12.某客運公司用A,B兩種型號的車輛承擔(dān)甲、乙兩地

27、間的長途客運業(yè)務(wù),每輛車每天往返一次.A,B兩種車輛的載客量分別為36人和60人,從甲地去乙地的營運成本分別為1 600元/輛和2 400元/輛,公司擬組建一個不超過21輛車的客運車隊,并要求B型車不多于A型車7輛.若每天運送人數(shù)不少于900,且使公司從甲地去乙地的營運成本最小,那么應(yīng)配備A型車、B型車各多少輛? 解析 設(shè)A型,B型車分別為x,y輛, 相應(yīng)營運成本為z元,則z=1 600x+2 400y. 由題意,得x,y滿足約束條件 作出可行域如圖陰影部分所示,可行域的三個頂點坐標(biāo)分別為P(5,12),Q(7,14),R(15,6). 由圖可知,當(dāng)直線1 600x+2 400y=z經(jīng)過可行域的點P時,直線z=1 600x+2 400y在y軸上的截距最小,即z取得最小值. 故應(yīng)配備A型車5輛,B型車12輛,可以滿足公司從甲地去乙地的營運成本最?。? 15

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