《2018年高考數(shù)學二輪復習 專題20 坐標系與參數(shù)方程教學案 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2018年高考數(shù)學二輪復習 專題20 坐標系與參數(shù)方程教學案 理（22頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 專題20 坐標系與參數(shù)方程 1.考查參數(shù)方程與普通方程、極坐標方程與直角坐標方程的互化． 2.考查利用曲線的參數(shù)方程、極坐標方程計算某些量或討論某些量之間的關系． 一、直角坐標與極坐標的互化 如圖，把直角坐標系的原點作為極點，x軸正半軸作為極軸，且在兩坐標系中取相同的長度單位．設M是平面內(nèi)的任意一點，它的直角坐標、極坐標分別為(x，y)和(ρ，θ)，則 【特別提醒】在曲線方程進行互化時，一定要注意變量的范圍，要注意轉化的等價性． 二、直線、圓的極坐標方程 (1)直線的極坐標方程 若直線過點M(ρ0，θ0)，且極軸到此直線的角為α，則它的方程為：ρsin(θ－α)

2、＝ρ0sin(θ0－α)． 幾個特殊位置直線的極坐標方程 ①直線過極點：θ＝α； ②直線過點M(a,0)且垂直于極軸：ρcos θ＝a； ③直線過點M且平行于極軸：ρsin θ＝b. (2)幾個特殊位置圓的極坐標方程 ①圓心位于極點，半徑為r：ρ＝r； ②圓心位于M(r,0)，半徑為r：ρ＝2rcos θ； ③圓心位于M，半徑為r：ρ＝2rsin θ. 【特別提醒】當圓心不在直角坐標系的坐標軸上時，要建立圓的極坐標方程，通常把極點放置在圓心處，極軸與x軸同向，然后運用極坐標與直角坐標的變換公式． 三、參數(shù)方程 (1)直線的參數(shù)方程 過定點M(x0，y0)，傾斜角為α的直

3、線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． (2)圓、橢圓的參數(shù)方程 ①圓心在點M(x0，y0)，半徑為r的圓的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)，0≤θ≤2π)． ②橢圓＋＝1的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù))． 【特別提醒】在參數(shù)方程和普通方程的互化中，必須使x，y的取值范圍保持一致． 考點一　坐標系與極坐標 例1．【2017天津，理11】在極坐標系中，直線與圓的公共點的個數(shù)為___________. 【答案】2 【變式探究】【2016年高考北京理數(shù)】在極坐標系中，直線與圓交于A，B兩點，則______. 【答案】2 【解析】直線過圓的圓心，因此 【變式探究】在極坐標系中，圓ρ＝2cos θ

4、的垂直于極軸的兩條切線方程分別為(　　) A．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝2 B．θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2 C．θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝1 D．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝1 解析　由ρ＝2cos θ得x2＋y2－2x＝0. ∴(x－1)2＋y2＝1， 圓的兩條垂直于x軸的切線方程為x＝0和x＝2. 故極坐標方程為θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2，故選B. 答案　B 考點二　參數(shù)方程 例2．【2017·江蘇】[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]（本小題滿分10分） 在平面坐標系中中,已知直線的參考方程為(為參數(shù)),曲線的參數(shù)方程為( 為參數(shù)).設為

5、曲線上的動點，求點到直線的距離的最小值. 【答案】 【考點】參數(shù)方程化普通方程 【變式探究】【2016高考新課標1卷】（本小題滿分10分）選修4—4：坐標系與參數(shù)方程 在直角坐標系xy中,曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù),a＞0）． 在以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C2：ρ=. （I）說明C1是哪一種曲線,并將C1的方程化為極坐標方程； （II）直線C3的極坐標方程為,其中滿足tan=2,若曲線C1與C2的公共點都在C3上,求a． 【答案】（I）圓,（II）1 【變式探究】(2015·重慶，15)已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標原點為極點

6、，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ2cos 2θ＝4，則直線l與曲線C的交點的極坐標為________． 解析　直線l的直角坐標方程為y＝x＋2，由ρ2cos 2θ＝4得ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4，直角坐標方程為x2－y2＝4，把y＝x＋2代入雙曲線方程解得x＝－2，因此交點為(－2，0)，其極坐標為(2，π)． 答案　(2，π) 【變式探究】(2014·江西，11(2))若以直角坐標系的原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，則線段y＝1－x(0≤x≤1)的極坐標方程為(　　) A．ρ＝，0≤θ≤ B．ρ＝，0≤θ≤ C．ρ＝cos θ＋sin

7、 θ，0≤θ≤ D．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤ 答案　A 1.【2017天津，理11】在極坐標系中，直線與圓的公共點的個數(shù)為___________. 【答案】2 【解析】直線為 ，圓為 ，因為 ，所以有兩個交點 2. 【2017北京，理11】在極坐標系中，點A在圓上，點P的坐標為（1,0），則|AP|的最小值為___________. 【答案】1 【解析】將圓的極坐標方程化為普通方程為 ，整理為 ，圓心，點是圓外一點，所以的最小值就是. 3. 【2017課標1，理22】在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為 . （1）若

8、a=?1，求C與l的交點坐標； （2）若C上的點到l的距離的最大值為，求a. 【答案】（1）與的交點坐標為， ；（2）或. 【解析】（1）曲線的普通方程為. 當時，直線的普通方程為. 由解得或. 從而與的交點坐標為， . 【2017·江蘇】[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]（本小題滿分10分） 在平面坐標系中中,已知直線的參考方程為(為參數(shù)),曲線的參數(shù)方程為( 為參數(shù)).設為曲線上的動點，求點到直線的距離的最小值. 【答案】 【解析】直線的普通方程為. 因為點在曲線上，設， 從而點到直線的的距離， 當時， . 因此當點的坐標為時，曲線上點到直線的距離取到最小值

9、. 1.【2016年高考北京理數(shù)】在極坐標系中，直線與圓交于A，B兩點，則______. 【答案】2 【解析】直線過圓的圓心，因此 2.【2016高考新課標1卷】（本小題滿分10分）選修4—4：坐標系與參數(shù)方程 在直角坐標系xy中,曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù),a＞0）． 在以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C2：ρ=. （I）說明C1是哪一種曲線,并將C1的方程化為極坐標方程； （II）直線C3的極坐標方程為,其中滿足tan=2,若曲線C1與C2的公共點都在C3上,求a． 【答案】（I）圓,（II）1 （Ⅱ）曲線的公共點的極坐標滿足方程組

10、若，由方程組得，由已知， 可得，從而，解得（舍去），. 時，極點也為的公共點，在上.所以. 3.【2016高考新課標2理數(shù)】選修4—4：坐標系與參數(shù)方程 在直角坐標系中，圓的方程為． （Ⅰ）以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，求的極坐標方程； （Ⅱ）直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）, 與交于兩點，，求的斜率． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 4.【2016高考新課標3理數(shù)】（本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程 在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為，以坐標原點為極點，以軸的正半軸為極軸，，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為． （I）寫出的普通方程和的直角坐標方程；

11、 （II）設點在上，點在上，求的最小值及此時的直角坐標. 【答案】（Ⅰ）的普通方程為，的直角坐標方程為；（Ⅱ）． 1．(2015·廣東，14)已知直線l的極坐標方程為2ρsin＝，點A的極坐標為A，則點A到直線l的距離為________． 解析　依題已知直線l：2ρsin＝和點A可化為l：x－y＋1＝0和A(2，－2)，所以點A到直線l的距離為d＝＝. 答案　 2．(2015·北京，11)在極坐標系中，點到直線ρ(cos θ＋sin θ)＝6的距離為________． 解析　在平面直角坐標系下，點化為(1，)，直線方程為：x＋y＝6，∴點(1，)到直線的距離為d＝＝＝1. 答

12、案　1 3．(2015·安徽，12)在極坐標系中，圓ρ＝8sin θ上的點到直線θ＝(ρ∈R)距離的最大值是________． 解析　由ρ＝8sin θ得x2＋y2＝8y，即x2＋(y－4)2＝16，由θ＝得y＝x，即x－y＝0，∴圓心(0，4)到直線y＝x的距離為2，圓ρ＝8sin θ上的點到直線θ＝的最大距離為4＋2＝6. 答案　6 4．(2015·江蘇，21)已知圓C的極坐標方程為ρ2＋2ρsin－4＝0，求圓C的半徑． 解　以極坐標系的極點為平面直角坐標系的原點O，以極軸為x軸的正半軸，建立直角坐標系xOy. 圓C的極坐標方程為 ρ2＋2ρ－4＝0， 化簡，得ρ2＋2ρ

13、sin θ－2ρcos θ－4＝0. 則圓C的直角坐標方程為x2＋y2－2x＋2y－4＝0， 即(x－1)2＋(y＋1)2＝6， 所以圓C的半徑為. 5．(2015·新課標全國Ⅰ，23)在直角坐標系xOy中，直線C1：x＝－2，圓C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系． (1)求C1，C2的極坐標方程； (2)若直線C3的極坐標方程為θ＝(ρ∈R)，設C2與C3的交點為M，N，求△C2MN的面積． 6．(2015·福建，21(2))在平面直角坐標系xOy中，圓C的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))．在極坐標系(與平面直角坐標系xOy取相同

14、的長度單位，且以原點O為極點，以x軸非負半軸為極軸)中，直線l的方程為ρsin＝m(m∈R)． ①求圓C的普通方程及直線l的直角坐標方程； ②設圓心C到直線l的距離等于2，求m的值． 解?、傧?shù)t，得到圓C的普通方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝9. 由ρsin＝m，得 ρsin θ－ρcos θ－m＝0. 所以直線l的直角坐標方程為x－y＋m＝0. ②依題意，圓心C到直線l的距離等于2， 即＝2， 解得m＝－3±2. 7．(2015·湖南，16Ⅱ)已知直線l：(t為參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ＝2cos θ. (1

15、)將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程； (2)設點M的直角坐標為(5，)，直線l與曲線C的交點為A，B，求|MA|·|MB|的值． 1. 【2014高考安徽卷理第4題】以平面直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，兩種坐標系中取相同的長度單位，已知直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），圓的極坐標方程是，則直線被圓截得的弦長為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】將直線的參數(shù)方程消去參數(shù)，化成直角坐標方程為，圓的極坐標方程兩邊同乘為，化成直角坐標方程為，則圓心到直線的距離，所以直線被圓截得的弦長，故選D. 2. 【2014高考北京卷

16、理第3題】曲線，（為參數(shù)）的對稱中心（ ） A．在直線上 B．在直線上 C．在直線上 D．在直線上 【答案】B 【解析】參數(shù)方程所表示的曲線為圓心在，半徑為1的圓，其對稱中心為，逐個代入選項可知，點滿足，故選B. 3. 【2014高考湖北卷理第16題】已知曲線的參數(shù)方程是，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程是，則與交點的直角坐標為 . 【答案】 4. 【2014高考湖南卷第11題】在平面直角坐標系中，傾斜角為的直線與曲線，（為參數(shù)）交于、兩點，且，以坐標原點

17、為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，則直線的極坐標方程是________. 【答案】 【解析】試題分析：利用可得曲線的普通方程為,即曲線為直角的圓,因為弦長,所以圓心在直線上,又因為直線的斜率為,所以直線的直角坐標方程為,則根據(jù)直角坐標與極坐標之間的轉化可得 ,故填. 5.【2014江西高考理第12題】若以直角坐標系的原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，則線段的極坐標為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】根據(jù)，得： 解得，選A. 6. 【2014重慶高考理第15題】

18、已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，則直線與曲線的公共點的極徑________. 【答案】 7. 【2014陜西高考理第15題】在極坐標系中，點到直線的距離是 . 【答案】1 【解析】直線化為直角坐標方程為，點的直角坐標為，點到直線的距離，故答案為1. 8. 【2014天津高考理第13題】在以為極點的極坐標系中，圓和直線相交于兩點．若是等邊三角形，則的值為___________． 【答案】3． 【解析】圓的方程為，直線為．是等邊三角形，∴其中一個交點坐標為 ，代入圓的方程可得． 9.【20

19、14高考福建理第21（2）題】 已知直線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），圓的參數(shù)方程為 ，（為常數(shù)）. （I）求直線和圓的普通方程； （II）若直線與圓有公共點，求實數(shù)的取值范圍. 【答案】（I）,;（II） 試題解析：（I）直線的普通方程為.圓C的普通方程為. （II）因為直線與圓有公共點,故圓C的圓心到直線的距離,解得. 10. 【2014高考江蘇第21C題】在平面直角坐標系中，已知直線的參數(shù)方程（為參數(shù)），直線與拋物線相交于兩點，求線段的長. 【答案】 【解析】直線的普通方程為，即，與拋物線方程聯(lián)立方程組解得，∴. 11. 【2014高考遼寧理第2

20、3題】將圓上每一點的橫坐標保持不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得曲線C. （Ⅰ）寫出C的參數(shù)方程； (Ⅱ)設直線與C的交點為，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極坐標建立極坐標系，求過線段的中點且與垂直的直線的極坐標方程. 【答案】（1） （t為參數(shù)）；（2） . （2）由解得：，或. 不妨設,則線段的中點坐標為,所求直線的斜率為，于是所求直線方程為，化極坐標方程，并整理得 ，即. 12. 【2014高考全國1第23題】已知曲線，直線：（為參數(shù)）. （I）寫出曲線的參數(shù)方程，直線的普通方程； （II）過曲線上任意一點作與夾角為的直線，交于點，的最大值與

21、最小值． 【答案】（I）；（II）最大值為，最小值為. 13. 【2014高考全國2第23題】在直角坐標系xoy中，以坐標原點為極點，x軸為極軸建立極坐標系，半圓C的極坐標方程為， . （Ⅰ）求C的參數(shù)方程； （Ⅱ）設點D在C上，C在D處的切線與直線垂直，根據(jù)（Ⅰ）中你得到的參數(shù)方程，確定D的坐標. 【答案】（Ⅰ）是參數(shù)，；（Ⅱ） 【解析】（1）設點M是C上任意一點，則由可得C的普通方程為：， 即， 所以C的參數(shù)方程為是參數(shù)，. 14. 【2014高考上海理科】已知曲線C的極坐標方程為，則C與極軸的交點到極點的距離是 . 【答案】 【解析】令，則，

22、，所以所求距離為. （2013·新課標I理）（23）（本小題10分）選修4—4：坐標系與參數(shù)方程 已知曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ=2sinθ。 （Ⅰ）把C1的參數(shù)方程化為極坐標方程； （Ⅱ）求C1與C2交點的極坐標（ρ≥0,0≤θ＜2π） 【答案】（1）因為，消去參數(shù)，得，即 ， 故極坐標方程為； （2）的普通方程為，聯(lián)立、的方程，解得或，所以交點的極坐標為. 【解析】（1）先得到C1的一般方程，進而得到極坐標方程；（2）先聯(lián)立求出交點坐標，進而求出極坐標. 【考點定位】本題考查極坐標方

23、程的應用以及轉化，考查學生的轉化與化歸能力. （2013·新課標Ⅱ理）（23）（本小題滿分10分）選修4——4；坐標系與參數(shù)方程 已知動點，Q都在曲線C：（β為參數(shù)）上，對應參數(shù)分別為β=α 與α=2π（0＜α＜2π），M為PQ的中點。 （Ⅰ）求M的軌跡的參數(shù)方程 （Ⅱ）將M到坐標原點的距離d表示為的函數(shù)，并判斷M的軌跡是否過坐標原點。 【解題思路與技巧】本題第（Ⅰ）問，由曲線C 的參數(shù)方程,可以寫出其普通方程,從而得出點P的坐標,求出答案; 第（Ⅱ）問，由互化公式可得. 【易錯點】對第（Ⅰ）問，極坐標與普通方程之間的互化,有一部分學生不熟練而出錯;對第(2)問,不理解題意而

24、出錯. 【考點定位】本小題主要考查坐標系與參數(shù)方程的基礎知識,熟練這部分的基礎知識是解答好本類題目的關鍵. （2013·陜西理）C. (坐標系與參數(shù)方程選做題) 如圖, 以過原點的直線的傾斜角為參數(shù), 則圓的參數(shù)方程為 . 【答案】,, 【解析】以（,0）為圓心，為半徑，且過原點的圓它的標準參數(shù)方程為，由已知，以過原點的直線傾斜角θ為參數(shù),則 所以 。 所以所求圓的參數(shù)方程為,, 【考點定位】本題考查與圓的參數(shù)方程有關的問題，涉及圓的標準方程和參數(shù)方程等知識，屬于容易題。 （2013·江西理）15（1）．（坐標系與參數(shù)方程選做題）設曲線C的參數(shù)方程

25、為：x=t，y=t2 （t為參數(shù)），若以直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，則曲線C的極坐標方程為_______. 【答案】 【解析】. 【考點定位】該題主要考查參數(shù)方程，極坐標系、極坐標方程以及它們的關系. （2013·廣東理）14.(坐標系與參數(shù)方程選講選做題)已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),在點處的切線為,以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,則的極坐標方程為_____________. 【答案】 【考點定位】坐標系與參數(shù)方程 （2013·福建理）(2).(本小題滿分7分) 選修4-4：坐標系與參數(shù)方程 在直角坐標系中，以坐標原點O為

26、極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.已知點A的極坐標為，直線的極坐標方程為，且點A在直線上。 （Ⅰ）求的值及直線的直角坐標方程； （Ⅱ）圓C的參數(shù)方程為，試判斷直線l與圓C的位置關系. 【解析】 坐標系與參數(shù)方程無非就是坐標系之間的互化，之后就變?yōu)楹唵蔚慕馕鰩缀螁栴}也屬于必得分題目。 【考點定位】本題主要考查坐標間的互化以及圓的參數(shù)方程的基本內(nèi)容，屬于簡單題。 （2013·遼寧理）23．（本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程 在直角坐標系中以為極點，軸正半軸為極軸建立坐標系.圓，直線的極坐標方程分別為. （I） （II） 【答案】（I）圓的直角坐標方程為：，直線的直角坐標方程為 聯(lián)立得：得所以與交點的極坐標為 （II）由（I）可得，P，Q的直角坐標為（0,2），（1,3），故PQ的直角坐標方程為 由參數(shù)方程可得，所以 22