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2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第4章 平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 第2節(jié) 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示教學(xué)案 理(含解析)新人教A版

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1、第二節(jié) 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示 [考綱傳真] 1.了解平面向量的基本定理及其意義.2.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.3.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算.4.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件. 1.平面向量基本定理 (1)定理:如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對實(shí)數(shù)λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2. (2)基底:不共線的向量e1,e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底. 2.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 (1)向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模 設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則 a+b=(x1

2、+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2), λa=(λx1,λy1),|a|=. (2)向量坐標(biāo)的求法 ①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn),則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo). ②設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則=(x2-x1,y2-y1), ||=. 3.平面向量共線的坐標(biāo)表示 設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中a≠0,b≠0,a,b共線?x1y2-x2y1=0. [常用結(jié)論] 1.若a與b不共線,且λa+μb=0,則λ=μ=0. 2.若G是△ABC的重心,則++=0,=(+). [基礎(chǔ)自測] 1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤

3、的打“×”) (1)平面內(nèi)的任何兩個(gè)向量都可以作為一組基底.(  ) (2)在△ABC中,向量,的夾角為∠ABC.(  ) (3)同一向量在不同基底下的表示是相同的.(  ) (4)若a,b不共線,且λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,則λ1=λ2,μ1=μ2.(  ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 2.(教材改編)已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),則向量a-b=(  ) A.(-2,-1)    B.(-2,1) C.(-1,0) D.(-1,2) D [∵a=(1,1),b=(1,-1), ∴a=,b= ∴a-b==(-1,2),故選D

4、.] 3.在下列向量組中,可以把向量a=(3,2)表示出來的是(  ) A.e1=(0,0),e2=(1,2) B.e1=(-1,2),e2=(5,-2) C.e1=(3,5),e2=(6,10) D.e1=(2,-3),e2=(-2,3) B [A項(xiàng)中e1∥e2,C項(xiàng)中e2=2e1,D項(xiàng)中e1=-e2,只有B項(xiàng)中e1,e2不共線,故a可以由e1=(-1,2),e2=(5,-2)表示,故選B.] 4.設(shè)向量a=(2,4)與向量b=(x,6)共線,則實(shí)數(shù)x等于(  ) A.2  B.3 C.4  D.6 B [由a∥b可知2×6-4x=0,∴x=3.故選B.] 5.(教材改

5、編)已知?ABCD的頂點(diǎn)A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為________. (1,5) [設(shè)D(x,y),則由=,得(4,1)=(5-x,6-y), 即 解得] 平面向量基本定理及其應(yīng)用 1.如果e1,e2是平面α內(nèi)一組不共線的向量,那么下列四組向量中,不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的是(  ) A.e1與e1+e2   B.e1-2e2與e1+2e2 C.e1+e2與e1-e2 D.e1+3e2與6e2+2e1 D [選項(xiàng)A中,設(shè)e1+e2=λe1,則無解; 選項(xiàng)B中,設(shè)e1-2e2=λ(e1+2e2),則無解; 選項(xiàng)

6、C中,設(shè)e1+e2=λ(e1-e2),則無解; 選項(xiàng)D中,e1+3e2=(6e2+2e1),所以兩向量是共線向量.故選D.] 2.在△ABC中,M為邊BC上任意一點(diǎn),N為AM的中點(diǎn),=λ+μ,則λ+μ的值為(  ) A.  B. C.  D.1 A [因?yàn)镸為邊BC上任意一點(diǎn), 所以可設(shè)=x+y(x+y=1). 因?yàn)镹為AM的中點(diǎn), 所以==x+y=λ+μ. 所以λ+μ=(x+y)=.故選A.] 3.如圖,以向量=a,=b為鄰邊作?OADB,=,=,用a,b表示,,. [解] ∵=-=a-b, ==a-b, ∴=+=a+b. ∵=a+b, ∴=+=+ ==a+b

7、, ∴=-=a+b-a-b=a-b. 綜上,=a+b,=a+b,=a-b. [規(guī)律方法] 平面向量基本定理應(yīng)用的實(shí)質(zhì)和一般思路 (1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算. (2)用向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底,并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式,再通過向量的運(yùn)算來解決. 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 【例1】 (1)向量a,b滿足a+b=(-1,5),a-b=(5,-3),則b為(  ) A.(-3,4) B.(3,4) C.(3,-4) D.(-3,-4) (2)向量a,b,c在正方形

8、網(wǎng)格中,如圖所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),則=(  ) A.1  B.2 C.3   D.4 (1)A (2)D [(1)∵a+b=(-1,5),a-b=(5,-3), ∴a=(2,1),b=(-3,4),故選A. (2)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立坐標(biāo)系可得a=(-1,1),b=(6,2),c=(-1,-3). ∵c=λa+μb(λ,μ∈R). ∴解得λ=-2,μ=-. ∴=4.] [規(guī)律方法] 1.巧借方程思想求坐標(biāo):若已知向量兩端點(diǎn)的坐標(biāo),則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo),解題過程中注意方程思想的應(yīng)用. 2.向量問題坐標(biāo)化:向量的坐標(biāo)運(yùn)算,使得向量的線性運(yùn)算都可以用坐標(biāo)來進(jìn)行

9、,實(shí)現(xiàn)了向量運(yùn)算的代數(shù)化,將數(shù)與形結(jié)合起來,使幾何問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量運(yùn)算問題. (1)已知A(1,4),B(-3,2),向量=(2,4),D為AC的中點(diǎn),則=(  ) A.(1,3)    B.(3,3) C.(-3,-3) D.(-1,-3) (2)若向量a=(2,1),b=(-1,2),c=,則c可用向量a,b表示為(  ) A.c=a+b B.c=-a-b C.c=a+b D.c=a-b (1)B (2)A [(1)∵D為AC的中點(diǎn),∴=(+),又=(4,2),=(2,4), ∴=(6,6)=(3,3),故選B. (2)設(shè)c=xa+yb,易知 ∴ ∴c=a

10、+b.故選A.] 向量共線的坐標(biāo)表示 【例2】 已知a=(1,0),b=(2,1). (1)當(dāng)k為何值時(shí),ka-b與a+2b共線; (2)若=2a+3b,=a+mb,且A,B,C三點(diǎn)共線,求m的值. [解] (1)∵a=(1,0),b=(2,1), ∴ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1), a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2), ∵ka-b與a+2b共線, ∴2(k-2)-(-1)×5=0, ∴k=-. (2)=2(1,0)+3(2,1)=(8,3), =(1,0)+m(2,1)=(2m+1,m). ∵A,B,C三點(diǎn)共線,∴∥, ∴

11、8m-3(2m+1)=0,∴m=. [規(guī)律方法] 與向量共線有關(guān)的題型與解法 (1)證三點(diǎn)共線:可先證明相關(guān)的兩向量共線,再說明兩向量有公共點(diǎn); (2)已知向量共線,求參數(shù):可利用向量共線的充要條件列方程(組)求解. (1)已知向量a=(1,1),b=(2,x),若a+b與3a-b平行,則實(shí)數(shù)x的值是________. (2)已知向量=(k,12),=(4,5),=(-k,10),且A,B,C三點(diǎn)共線,則實(shí)數(shù)k的值是________. (1)2 (2)- [(1)由題意得a+b=(3,1+x),3a-b=(1,3-x),則由a+b與3a-b平行得3×(3-x)-1×(1+x)=0

12、,解得x=2. (2)=-=(4-k,-7), =-=(-2k,-2). ∵A,B,C三點(diǎn)共線, ∴,共線, ∴-2×(4-k)=-7×(-2k), 解得k=-.] 1.(2015·全國卷Ⅰ)已知點(diǎn)A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),則向量=(  ) A.(-7,-4)    B.(7,4) C.(-1,4) D.(1,4) A [=(3,2)-(0,1)=(3,1), =-=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4). 故選A.] 2.(2018·全國卷Ⅲ)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),則λ=________.  [2a+b=(4,2),因?yàn)閏=(1,λ),且c∥(2a+b),所以1×2=4λ,即λ=.] 3.(2016·全國卷Ⅱ)已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,則m=________. -6 [∵a=(m,4),b=(3,-2),a∥b, ∴-2m-4×3=0,∴m=-6.] - 6 -

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