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1、
第一單元 常用邏輯用語
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.理解命題及四種命題的概念,掌握四種命題間的相互關(guān)系.2.理解充分、必要條件的概念,掌握充分、必要條件的判定方法.3.理解邏輯聯(lián)結(jié)詞的含義,會(huì)判斷含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假.4.理解全稱量詞、存在量詞的含義,會(huì)判斷全稱命題、存在性命題的真假,會(huì)求含有一個(gè)量詞的命題的否定.
知識(shí)點(diǎn)一 全稱命題與存在性命題
1.全稱命題與存在性命題真假的判斷方法
(1)判斷全稱命題為真命題,需嚴(yán)格的邏輯推理證明,判斷全稱命題為假命題,只需舉出反例.
(2)判斷存在性命題為真命題,需要舉出正例,而判斷存在性命題為假命題時(shí),要有嚴(yán)格的邏輯證明.
2.含有一個(gè)量詞
2、的命題否定的關(guān)注點(diǎn)
全稱命題的否定是存在性命題,存在性命題的否定是全稱命題.否定時(shí)既要改寫量詞,又要否定結(jié)論.
知識(shí)點(diǎn)二 簡(jiǎn)易邏輯聯(lián)結(jié)詞“且、或、非”命題的真假判斷
可以概括為口訣:“p與綈p”一真一假,“p∨q”一真即真,“p∧q”一假就假.
p
q
綈p
p∨q
p∧q
真
真
假
真
真
真
假
假
真
假
假
真
真
真
假
假
假
真
假
假
知識(shí)點(diǎn)三 充分條件、必要條件的判斷方法
1.直接利用定義判斷:即若p?q成立,則p是q的充分條件,q是p的必要條件.(條件與結(jié)論是相對(duì)的)
2.利用等價(jià)命題的關(guān)系判斷:p?q的等
3、價(jià)命題是綈q?綈p,即若綈q?綈p成立,則p是q的充分條件,q是p的必要條件.
3.從集合的角度判斷充分條件、必要條件和充要條件
若A?B,則p是q的充分條件,若AB,則p是q的充分不必要條件
若B?A,則p是q的必要條件,若BA,則p是q的必要不充分條件
若A=B,則p,q互為充要條件
若A?B且B?A,則p既不是q的充分條件,也不是q的必要條件
其中p:A={x|p(x)成立},q:B={x|q(x)成立}.
知識(shí)點(diǎn)四 四種命題的關(guān)系
原命題與逆否命題為等價(jià)命題,逆命題與否命題為等價(jià)命題.
類型一 命題的關(guān)系及真假的判斷
例1 將下列
4、命題改寫成“如果p,則q”的形式,并寫出它的逆命題、否命題和逆否命題以及它們的真假.
(1)垂直于同一平面的兩條直線平行;
(2)當(dāng)mn<0時(shí),方程mx2-x+n=0有實(shí)數(shù)根.
反思與感悟 (1)四種命題的改寫步驟
①確定原命題的條件和結(jié)論.
②逆命題:把原命題的條件和結(jié)論交換.
否命題:把原命題中條件和結(jié)論分別否定.
逆否命題:把原命題中否定了的結(jié)論作條件、否定了的條件作結(jié)論.
(2)命題真假的判斷方法
跟蹤訓(xùn)練1 下列四個(gè)結(jié)論:①已知a,b,c∈R,命題“若a+b+c=3,則a2+b2+c2≥3”的否命題是“若a+b+c≠3,則a2+b2+c2<3”;②命題
5、“若x-sin x=0,則x=0”的逆命題為“若x≠0,則x-sin x≠0”;③命題p的否命題和命題p的逆命題同真同假;④若|C|>0,則C>0.
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
類型二 邏輯聯(lián)結(jié)詞與量詞的綜合應(yīng)用
例2 已知p:?x∈R,mx2+2≤0.q:?x∈R,x2-2mx+1>0,若p∨q為假命題,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A.[1,+∞) B.(-∞,-1]
C.(-∞,-2] D.[-1,1]
反思與感悟 解決此類問題首先理解邏輯聯(lián)結(jié)詞的含義,掌握簡(jiǎn)單命題與含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假關(guān)系.其次要善于利用等價(jià)關(guān)
6、系,如:p真與綈p假等價(jià),p假與綈p真等價(jià),將問題轉(zhuǎn)化,從而謀得最佳解決途徑.
跟蹤訓(xùn)練2 已知命題p:方程2x2+ax-a2=0在[-1,1]上有解;命題q:只有一個(gè)實(shí)數(shù)x0滿足不等式x+2ax0+2a≤0.若命題“p或q”是假命題,求a的取值范圍.
類型三 充分條件與必要條件
命題角度1 充分條件與必要條件的判斷
例3 (1)設(shè)x∈R,則“x2-3x>0”是“x>4”的( )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
(2)已知a,b是實(shí)數(shù),則“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的( )
A.充分不必
7、要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
反思與感悟 條件的充要關(guān)系的常用判斷方法
(1)定義法:直接判斷若p則q,若q則p的真假.
(2)等價(jià)法:利用A?B與綈B?綈A,B?A與綈A?綈B,A?B與綈B?綈A的等價(jià)關(guān)系,對(duì)于條件或結(jié)論是否定式的命題,一般運(yùn)用等價(jià)法.
(3)利用集合間的包含關(guān)系判斷:若A?B,則A是B的充分條件或B是A的必要條件;若A=B,則A是B的充要條件.
跟蹤訓(xùn)練3 使a>b>0成立的一個(gè)充分不必要條件是( )
A.a(chǎn)2>b2>0 B.>>0
C.ln a>ln b>0 D.xa>xb且x>0.5
命題角度2 充
8、分條件與必要條件的應(yīng)用
例4 設(shè)命題p:x2-5x+6≤0;命題q:(x-m)(x-m-2)≤0,若綈p是綈q的必要不充分條件,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
反思與感悟 利用條件的充要性求參數(shù)的范圍
(1)解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系,然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式求解.
(2)注意利用轉(zhuǎn)化的方法理解充分必要條件:若綈p是綈q的充分不必要(必要不充分、充要)條件,則p是q的必要不充分(充分不必要、充要)條件.
跟蹤訓(xùn)練4 已知p:2x2-9x+a<0,q:2
9、
1.已知命題p:?x>0,總有(x+1)ex>1,則綈p為( )
A.?x≤0,使得(x+1)ex≤1
B.?x>0,使得(x+1)ex≤1
C.?x>0,總有(x+1)ex≤1
D.?x≤0,總有(x+1)ex≤1
2.設(shè)x,y∈R,則“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的( )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
3.“若x,y全為零,則xy=0”的否命題為______________.
4.已知命題p:若x>y,則-x<-y;命題q:若x>y,則x2>y2.在命題①p∧q;②p∨q;③p∧(綈
10、q);④(綈p)∨q中,真命題是________.
5.對(duì)任意x∈[-1,2],x2-a≥0恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
1.否命題和命題的否定是兩個(gè)不同的概念
(1)否命題是將原命題的條件否定作為條件,將原命題的結(jié)論否定作為結(jié)論構(gòu)造一個(gè)新的命題.
(2)命題的否定只是否定命題的結(jié)論,常用于反證法.若命題為“如果p,則q”,則該命題的否命題是“如果綈p,則綈q”;命題的否定為“如果p,則綈q”.
2.四種命題的三種關(guān)系,互否關(guān)系,互逆關(guān)系,互為逆否關(guān)系,只有互為逆否關(guān)系的命題是等價(jià)命題.
3.判斷p與q之間的關(guān)系時(shí),要注意p與q之間關(guān)系的方向性,充分條件與必要
11、條件方向正好相反,不要混淆.
4.注意常見邏輯聯(lián)結(jié)詞的否定
一些常見邏輯聯(lián)結(jié)詞的否定要記住,如:“都是”的否定“不都是”,“全是”的否定“不全是”,“至少有一個(gè)”的否定“一個(gè)也沒有”,“至多有一個(gè)”的否定“至少有兩個(gè)”.
答案精析
問題導(dǎo)學(xué)
知識(shí)點(diǎn)四
如果p,則q 如果q,則p 如果綈p,則綈q 如果綈q,則綈p
題型探究
例1 解 (1)將命題寫成“如果p,則q”的形式為:如果兩條直線垂直于同一個(gè)平面,則這兩條直線平行.
它的逆命題、否命題和逆否命題如下:
逆命題:如果兩條直線平行,則這兩條直線垂直于同一個(gè)平面.(假)
否命題:如果兩條直線不垂直于同一個(gè)平面,則這兩條直
12、線不平行.(假)
逆否命題:如果兩條直線不平行,則這兩條直線不垂直于同一個(gè)平面.(真)
(2)將命題寫成“如果p,則q”的形式為:如果mn<0,則方程mx2-x+n=0有實(shí)數(shù)根.
它的逆命題、否命題和逆否命題如下:
逆命題:如果方程mx2-x+n=0有實(shí)數(shù)根,則mn<0.(假)
否命題:如果mn≥0,
則方程mx2-x+n=0沒有實(shí)數(shù)根.(假)
逆否命題:如果方程mx2-x+n=0沒有實(shí)數(shù)根,則mn≥0.(真)
跟蹤訓(xùn)練1 B [正確的為①③.]
例2 A [因?yàn)閜∨q為假命題,所以p和q都是假命題.
由p:?x∈R,mx2+2≤0為假,
得?x∈R,mx2+2>0,所以
13、m≥0.①
由q:?x∈R,x2-2mx+1>0為假,
得?x∈R,x2-2mx+1≤0,
所以Δ=(-2m)2-4≥0?m2≥1?m≤-1或m≥1.②
由①和②得m≥1.]
跟蹤訓(xùn)練2 解 由2x2+ax-a2=0得(2x-a)(x+a)=0,
∴x=或x=-a,
∴當(dāng)命題p為真命題時(shí),
≤1或|-a|≤1,
∴|a|≤2.
又“只有一個(gè)實(shí)數(shù)x0滿足x+2ax0+2a≤0”,
即函數(shù)y=x2+2ax+2a與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),
∴Δ=4a2-8a=0,∴a=0或a=2.
∴當(dāng)命題q為真命題時(shí),a=0或a=2.
∴命題“p或q”為真命題時(shí),|a|≤2.
∵命題“p或
14、q”為假命題,
∴a>2或a<-2.
即a的取值范圍為{a|a>2或a<-2}.
例3 (1)B (2)C
解析 (1)∵x2-3x>0?/ x>4,
x>4?x2-3x>0,
故x2-3x>0是x>4的必要不充分條件.
(2)∵a>0且b>0?a+b>0且ab>0,
∴a>0且b>0是a+b>0且ab>0的充要條件.
跟蹤訓(xùn)練3 C
例4 解 方法一 命題p:x2-5x+6≤0,
解得2≤x≤3;
命題q:(x-m)(x-m-2)≤0,
解得m≤x≤m+2,
∵綈p是綈q的必要不充分條件,
∴p是q的充分不必要條件.
∴或
解得1≤m≤2.
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是[1,2].
方法二 命題p:2≤x≤3,
命題q:m≤x≤m+2,
綈p:x<2或x>3,
綈q:xm+2,
∵綈p是綈q的必要不充分條件,
∴{x|xm+2}{x|x<2或x>3},
故解得1≤m≤2.
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是[1,2].
跟蹤訓(xùn)練4 解 ∵綈q是綈p的必要條件,
∴q是p的充分條件,
令f(x)=2x2-9x+a,
則解得a≤9,
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,9].
當(dāng)堂訓(xùn)練
1.B 2.A 3.若x,y不全為零,則xy≠0 4.②③ 5.(-∞,0]
8