《2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何 第47講 兩條直線的位置關(guān)系學(xué)案》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何 第47講 兩條直線的位置關(guān)系學(xué)案（13頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第47講　兩條直線的位置關(guān)系 考綱要求 考情分析 命題趨勢(shì) 1.能根據(jù)兩條直線的斜率判斷這兩條直線平行或垂直． 2．能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo)． 3．掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離. 2015·湖南卷，13 2014·四川卷，14 2014·江蘇卷，11 確定兩條直線的位置關(guān)系，已知兩條直線的位置關(guān)系求參數(shù)，求直線的交點(diǎn)和點(diǎn)到直線的距離，對(duì)稱問(wèn)題，過(guò)定點(diǎn)的直線系問(wèn)題. 分值：3～5分 1．兩條直線平行與垂直的判定 (1)兩條直線平行 ①對(duì)于兩條不重合的直線l1，l2，其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1

2、∥l2?__k1＝k2__； ②當(dāng)不重合的兩條直線l1，l2的斜率都不存在時(shí)，l1與l2的關(guān)系為__平行__. (2)兩條直線垂直 ①如果兩條直線l1，l2的斜率存在，設(shè)為k1，k2，則l1⊥l2?__k1k2＝－1__； ②如果l1，l2中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0，則l1與l2的關(guān)系為__垂直__. 2．兩條直線的交點(diǎn) 3．三種距離 點(diǎn)P1( x1，y1)，P2(x2，y2)之間的距離 ＝____ 點(diǎn)P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離 d＝____ 兩條平行線Ax＋ By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離 d＝____

3、 4．必會(huì)結(jié)論 (1)與直線Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直和平行的直線方程可設(shè)為： ①垂直：Bx－Ay＋m＝0； ②平行：Ax＋By＋n＝0. (2)與對(duì)稱問(wèn)題相關(guān)的兩個(gè)結(jié)論： ①點(diǎn)P(x0，y0)關(guān)于A(a，b)的對(duì)稱點(diǎn)為P′(2a－x0,2b－y0)． ②設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)關(guān)于直線y＝kx＋b的對(duì)稱點(diǎn)為P′(x′，y′)．　 則有可求出x′，y′. 1．思維辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)． (1)若兩直線的方程組成的方程組有解，則兩直線相交．(　×　) (2)點(diǎn)P(x0，y0)到直線y＝kx＋b的距離為.(　×　) (3)直線外一點(diǎn)與直線上一點(diǎn)的距離

4、的最小值就是點(diǎn)到直線的距離．(　√　) (4)兩平行線間的距離是一條直線上任一點(diǎn)到另一條直線的距離，也可以看作是兩條直線上各取一點(diǎn)的最短距離．(　√　) (5)若點(diǎn)A，B關(guān)于直線l：y＝kx＋b(k≠0)對(duì)稱，則直線AB的斜率等于－，且線段AB的中點(diǎn)在直線l上．(　√　) 解析 (1)錯(cuò)誤．當(dāng)方程組有唯一解時(shí)兩條直線相交，若方程組有無(wú)窮多個(gè)解，則兩條直線重合． (2)錯(cuò)誤．應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式時(shí)必須將直線方程化為一般式，即點(diǎn)P到直線的距離為. (3)正確．因?yàn)樽钚≈稻褪怯稍擖c(diǎn)向直線所作的垂線段的長(zhǎng)，即點(diǎn)到直線的距離． (4)正確．兩平行線間的距離是夾在兩平行線間的公垂線段的長(zhǎng)，即

5、兩條直線上各取一點(diǎn)的最短距離． (5)正確．根據(jù)對(duì)稱性可知直線AB與直線l垂直且直線l平分線段AB，所以直線AB的斜率等于－，且線段AB的中點(diǎn)在直線l上． 2．已知l1的傾斜角為45°，l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(－2，－1)，Q(3，m)，若l1⊥l2，則實(shí)數(shù)m＝(　B　) A．6　　 B．－6　　 C．5　　 D．－5 解析 由已知得k1＝1，k2＝. ∵l1⊥l2，∴k1k2＝－1，∴1×＝－1，即m＝－6. 3．點(diǎn)(0，－1)到直線x＋2y＝3的距離為(　B　) A．　　 B．　　 C．5　　 D． 解析 d＝＝. 4．點(diǎn)(a，b)關(guān)于直線x＋y＋1＝0的對(duì)稱點(diǎn)是(　B　)

6、A．(－a－1，－b－1)　　 B．(－b－1，－a－1) C．(－a，－b)　　 D．(－b，－a) 解析 設(shè)對(duì)稱點(diǎn)為(x′，y′)，則 解得x′＝－b－1，y′＝－a－1. 5．直線l1：x－y＝0與直線l2：2x－3y＋1＝0的交點(diǎn)在直線mx＋3y＋5＝0上，則m的值為(　D　) A．3　　 B．5　　　　 C．－5　　 D．－8 解析 由得l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)， 所以m＋3＋5＝0，m＝－8. 一　兩條直線的平行與垂直問(wèn)題 兩條直線平行與垂直問(wèn)題中的注意點(diǎn) (1)當(dāng)直線方程中存在字母參數(shù)時(shí)，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存

7、在的特殊情況．同時(shí)還要注意x，y的系數(shù)不能同時(shí)為零這一隱含條件． (2)在判斷兩直線平行、垂直時(shí)，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論． 【例1】 已知兩條直線l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求滿足下列條件的a，b的值． (1)l1⊥l2，且l1過(guò)點(diǎn)(－3，－1)； (2)l1∥l2，且坐標(biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等． 解析 (1)由已知可得l2的斜率存在，且k2＝1－a. 若k2＝0，則1－a＝0，a＝1. ∵l1⊥l2，直線l1的斜率k1必不存在，即b＝0. 又∵l1過(guò)點(diǎn)(－3，－1)，∴－3a＋4＝0，即a＝(矛盾)， ∴此種情況不存在，

8、∴k2≠0，即k1，k2都存在． ∵k2＝1－a，k1＝，l1⊥l2， ∴k1k2＝－1，即(1－a)＝－1.(*) 又∵l1過(guò)點(diǎn)(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0.(**) 由(*)(**)聯(lián)立，解得a＝2，b＝2. (2)∵l2的斜率存在，l1∥l2，∴直線l1的斜率存在， k1＝k2，即＝1－a，① 又∵坐標(biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等，且l1∥l2， ∴l(xiāng)1，l2在y軸上的截距互為相反數(shù)，即＝b，② 聯(lián)立①②，解得或 ∴a＝2，b＝－2或a＝，b＝2. 二　兩條直線的交點(diǎn)問(wèn)題 常用的直線系方程 (1)與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系是Ax＋By＋m＝0

9、(m≠C)． (2)與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系是Bx－Ay＋m＝0. (3)過(guò)直線l1：A1x＋B1y＋C1 ＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點(diǎn)的直線系是A1x＋B1y＋C1＋m(A2x＋B2y＋C2)＝0，但不包括l2. 【例2】 求經(jīng)過(guò)直線l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交點(diǎn)，且垂直于直線l3：3x－5y＋6＝0的直線l的方程． 解析 先解方程組 得l1，l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(－1,2)， 由于l⊥l3，故l是直線系5x＋3y＋C＝0中的一條，而l過(guò)l1，l2的交點(diǎn)(－1,2)，故5×(－1)＋3×2＋C＝0，由此求出C＝－1， 故l的方程

10、為5x＋3y－1＝0. 三　距離公式的應(yīng)用 利用距離公式應(yīng)注意的問(wèn)題 (1)點(diǎn)P(x0，y0)到直線x＝a的距離d＝，到直線y＝b的距離d＝. (2)應(yīng)用兩平行線間的距離公式的前提是把兩直線方程中x，y的系數(shù)化為相等． 【例3】 已知點(diǎn)P(2，－1)． (1)求過(guò)點(diǎn)P且與原點(diǎn)的距離為2的直線l的方程； (2)求過(guò)點(diǎn)P且與原點(diǎn)的距離最大的直線l的方程，最大距離是多少？ 解析 (1)過(guò)點(diǎn)P的直線l與原點(diǎn)的距離為2，而點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，－1)，顯然，過(guò)P(2，－1)且垂直于x軸的直線滿足條件， 此時(shí)l的方程為x＝2. 若斜率存在，設(shè)l的方程為y＋1＝k(x－2)，即kx－y－

11、2k－1＝0. 由已知得＝2，解得k＝. 此時(shí)l的方程為3x－4y－10＝0. 綜上，可得直線l的方程為x＝2或3x－4y－10＝0. (2)作圖可得過(guò)點(diǎn)P與原點(diǎn)O的距離最大的直線是過(guò)點(diǎn)P且與PO垂直的直線，如圖． 由l⊥OP，得klkOP＝－1，所以kl＝－＝2. 由直線方程的點(diǎn)斜式得y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0. 所以直線2x－y－5＝0是過(guò)點(diǎn)P且與原點(diǎn)O的距離最大的直線，最大距離為＝. 四　對(duì)稱問(wèn)題及其應(yīng)用 兩種對(duì)稱問(wèn)題的處理方法 (1)直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱，其主要方法是：在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式

12、求出直線方程；或者求出一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，再利用l1∥l2，由點(diǎn)斜式得到所求的直線方程． (2)關(guān)于軸對(duì)稱問(wèn)題的處理方法： ①點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱，若兩點(diǎn)P1 (x1，y1)與P2(x2，y2)關(guān)于直線l：Ax＋By＋C＝0對(duì)稱，則線段P1P2的中點(diǎn)在l上，而且連接P1P2的直線垂直于l，列出方程組，可得到點(diǎn)P1關(guān)于l對(duì)稱的點(diǎn)P2的坐標(biāo)(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)． ②直線關(guān)于直線的對(duì)稱，此類問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱來(lái)解決，有兩種情況：一是已知直線與對(duì)稱軸相交；二是已知直線與對(duì)稱軸平行． 【例4】 (1)已知直線l：x＋2y－2＝0. ①求直線l1：y＝x－2關(guān)于直線l對(duì)稱的直

13、線l2的方程； ②求直線l關(guān)于點(diǎn)A(1,1)對(duì)稱的直線方程． (2)光線由點(diǎn)A(－5，)入射到x軸上點(diǎn)B(－2,0)，又反射到y(tǒng)軸上的M點(diǎn)，再經(jīng)y軸反射，求第二次反射線所在直線l的方程． 解析 (1)①由解得交點(diǎn)P(2,0)． 在l1上取點(diǎn)M(0，－2)， M關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)設(shè)為N(a，b)，則 解得N，∴kl2＝＝7， 又直線l2過(guò)點(diǎn)P(2,0)，∴l(xiāng)2的方程為7x－y－14＝0. ②設(shè)所求的直線方程為x＋2y＋m＝0. 在l上取點(diǎn)B(0,1)，則點(diǎn)B(0,1)關(guān)于點(diǎn)A(1,1)的對(duì)稱點(diǎn)C(2,1)必在所求的直線上，∴m＝－4，即所求的直線方程為x＋2y－4＝0.

14、(2)點(diǎn)A(－5，)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′(－5，－)在反射光線所在的直線BM上，可知lBM：y＝(x＋2)，∴M. 又第二次反射線的斜率k＝kAB＝－，∴第二次反射線所在直線l的方程為y＝－x＋，即x＋y－2＝0. 1．(2018·福建廈門聯(lián)考)“C＝5”是“點(diǎn)(2,1)到直線3x＋4y＋C＝0的距離為3”的(　B　) A．充要條件　　　　 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件　　　　 D．既不充分也不必要條件 解析 點(diǎn)(2,1)到直線3x＋4y＋C＝0的距離為3等價(jià)于＝3，解得C＝5或C＝－25，所以“C＝5”是“點(diǎn)(2,1)到直線3x＋4y＋C＝0的距離為3”的充分不必要條

15、件，故選B． 2．(2018·河南鄭州二模)曲線f(x)＝x3－x＋3在點(diǎn)P處的切線平行于直線y＝2x－1，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(　C　) A．(1,3)　　　　 B．(－1,3) C．(1,3)或(－1,3)　　　　 D．(1，－3) 解析 f′(x)＝3x2－1.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，x－x0＋3)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知3x－1＝2，解得x0＝±1，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,3)或(－1,3)，故選C． 3．(2018·浙江杭州質(zhì)檢)設(shè)不同直線l1：2x－my－1＝0，l2：(m－1)x－y＋1＝0，則“m＝2”是“l(fā)1∥l2”的(　C　) A．充分不必要條件　　　　 B．必要不充分條件

16、C．充分必要條件　　　　 D．既不充分也不必要條件 解析 當(dāng)m＝2時(shí)，代入兩直線方程中，易知兩直線平行，即充分性成立．當(dāng)l1∥l2時(shí)，顯然m≠0，從而有＝m－1，解得m＝2或m＝－1，但當(dāng)m＝－1時(shí)，兩直線重合，不合要求，故必要性成立，故選C． 4．(2018·河北名校聯(lián)考)直線y＝a分別與直線y＝3x＋3，曲線y＝2x＋ln x交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最小值為(　A　) A．　　 B．1　　　　 C．　　 D．4 解析 設(shè)A(x1，a)，B(x2，a)，則3x1＋3＝2x2＋ln x2， ∴x1＝(2x2＋ln x2－3)，∴|AB|＝x2－x1＝(x2－ln x2)＋1，令

17、f(x)＝(x－ln x)＋1，則f′(x)＝， ∴函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增， ∴x＝1時(shí)，f(x)取最小值，即|AB|min＝. 易錯(cuò)點(diǎn)　忽略直線過(guò)定點(diǎn) 錯(cuò)因分析：不熟悉直線方程形式，忽略直線過(guò)定點(diǎn)這一特性，致使解題過(guò)程復(fù)雜化，從而造成解題錯(cuò)誤． 【例1】 已知0

18、S＝S△PAO＋S△POB＝(4－k)·2·＋(2k2＋2)·4·＝4－k＋4k2＋4＝4k2－k＋8，且0

19、y＋1＝0與直線x＋y－2＝0互相垂直，那么a＝(　D　) A．1　　 B．－ C．－　　 D．－2 解析 由a×1＋2×1＝0得a＝－2，故選D． 2．直線2x－y＋1＝0關(guān)于直線x＝1對(duì)稱的直線方程是(　C　) A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0 C．2x＋y－5＝0 D．x＋2y－5＝0 解析 由題意可知，直線2x－y＋1＝0與直線x＝1的交點(diǎn)為(1,3)，直線2x－y＋1＝0的傾斜角與所求直線的傾斜角互補(bǔ)，因此它們的斜率互為相反數(shù)．直線2x－y＋1＝0的斜率為2，故所求直線的斜率為－2，所以所求直線方程是y－3＝－2(x－1)，即2x＋y－5＝0. 3．已知過(guò)點(diǎn)

20、A(－2，m)和B(m,4)的直線與直線2x＋y－1＝0平行，則m＝(　B　) A．0　　 B．－8　　 C．2　　 D．10 解析 kAB＝＝－2，則m＝－8. 4．“m＝1”是“直線x－y＝0和直線x＋my＝0互相垂直” 的(　C　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析 因?yàn)閙＝1時(shí)，兩直線方程分別是x－y＝0和x＋y＝0，兩直線的斜率分別是1和－1，所以兩直線垂直，所以充分性成立；當(dāng)直線x－y＝0和直線x＋my＝0互相垂直時(shí)，有1×1＋(－1)·m＝0，所以m＝1，所以必要性成立．故選C． 5．若動(dòng)點(diǎn)A，B分別在直線l1：

21、x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移動(dòng)，則AB的中點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離的最小值為(　A　) A．3　　 B．2 C．3　　 D．4 解析 由條件知點(diǎn)M的軌跡是直線x＋y＋＝0，即x＋y－6＝0，所以最小距離為＝3. 6．在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，點(diǎn)P是邊AB上異于A，B的一點(diǎn)．光線從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)BC，CA反射后又回到點(diǎn)P(如圖)．若光線QR經(jīng)過(guò)△ABC的重心，則AP＝(　D　) A．2　　 B．1　　　　 C．　　 D． 解析 以AB為x軸，AC為y軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，由題設(shè)知B(4,0)，C(0,4)，則直線BC方程為x＋y－4＝0， 設(shè)P(t

22、,0)(0

23、－11＝0截得的弦長(zhǎng)為4，則該直線的方程為__x＝－1或3x＋4y－1＝0__. 解析 圓x2＋y2－2x－4y－11＝0，即(x－1)2＋(y－2)2＝16，則圓心為點(diǎn)M(1,2)，半徑r＝4. 由條件知，點(diǎn)(－1,1)在圓內(nèi)，設(shè)過(guò)點(diǎn)N(－1,1)的直線為l， 當(dāng)l的斜率k不存在時(shí)，l：x＝－1，則交點(diǎn)A(－1,2－2)，B(－1，2＋2)，滿足|AB|＝4. 當(dāng)l的斜率k存在時(shí)，設(shè)l：y－1＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋1＝0，則圓心M(1,2)到直線l的距離d＝＝. 則d2＋(2)2＝16，即d2＝＝16－12＝4，解得k＝－. 此時(shí)，y－1＝－(x＋1)，即3x＋4y－1

24、＝0. 綜上所述，直線l為x＝－1或3x＋4y－1＝0. 9．已知定點(diǎn)A(1,1)，B(3,3)，動(dòng)點(diǎn)P在x軸上，則|PA|＋|PB|的最小值是__2__. 解析 點(diǎn)A(1,1)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為C(1，－1)， 則|PA|＝|PC|，設(shè)BC與x軸的交點(diǎn)為M， 則|MA|＋|MB|＝|MC|＋|MB|＝|BC|＝2. 由三角形兩邊之和大于第三邊知， 當(dāng)P不與M重合時(shí)，|PA|＋|PB|＝|PC|＋|PB|＞|BC|， 故當(dāng)P與M重合時(shí)，|PA|＋|PB|取得最小值． 三、解答題 10．正方形的中心為點(diǎn)C(－1,0)，一條邊所在的直線方程是x＋3y－5＝0，求其他三邊所在直線

25、的方程． 解析 點(diǎn)C到直線x＋3y－5＝0的距離 d＝＝. 設(shè)與x＋3y－5＝0平行的一邊所在直線的方程是x＋3y＋m＝0(m≠－5)， 則點(diǎn)C到直線x＋3y＋m＝0的距離d＝＝， 解得m＝－5(舍去)或m＝7， 所以與x＋3y－5＝0平行的邊所在直線的方程是x＋3y＋7＝0. 設(shè)與x＋3y－5＝0垂直的邊所在直線的方程是3x－y＋n＝0， 則點(diǎn)C到直線3x－y＋n＝0的距離d＝＝， 解得n＝－3或n＝9， 所以與x＋3y－5＝0垂直的兩邊所在直線的方程分別 是3x－y－3＝0和3x－y＋9＝0. 綜上知正方形的其他三邊所在直線的方程分別為x＋3y＋7＝0，3x－y－3

26、＝0,3x－y＋9＝0. 11．已知△ABC中，A(2，－1)，B(4,3)，C(3，－2)，求： (1)BC邊上的高AD所在直線方程的一般式； (2)求△ABC的面積． 解析 (1)因?yàn)閗BC＝＝5，所以BC邊上的高AD所在直線的斜率k＝－. 所以AD所在直線方程為y＋1＝－(x－2)，即x＋5y＋3＝0. (2)由題意得BC的直線方程為y＋2＝5(x－3)， 即5x－y－17＝0. 點(diǎn)A到直線BC的距離d＝＝， |BC|＝，S△ABC＝3. 12．(1)在直線l：3x－y－1＝0上求一點(diǎn)P，使得P到A(4,1)和B(0,4)的距離之差最大． (2)在直線l：3x－

27、y－1＝0上求一點(diǎn)Q，使得Q到A(4,1)和C(3,4)的距離之和最小． 解析 (1)如圖(1)，設(shè)點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)B′的坐標(biāo)為(a，b)，直線l的斜率為k1，則k1·kBB′＝－1，即3·＝－1. 圖(1) ∴a＋3b－12＝0.① 又由于線段BB′的中點(diǎn)坐標(biāo)為， 且在直線l上，∴3×－－1＝0. 即3a－b－6＝0 ②.解①②得a＝3，b＝3， ∴B′(3,3)．于是AB′的方程為＝， 即2x＋y－9＝0. 解得 即l與AB′的交點(diǎn)坐標(biāo)為P(2,5)，此時(shí)|PA|－|PB|最大． (2)如圖(2)，設(shè)C關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為C′，求出C′的坐標(biāo)為. 圖(2) ∴AC′所在直線的方程為19x＋17y－93＝0，AC′和l的交點(diǎn)坐標(biāo)為，故Q點(diǎn)坐標(biāo)為，此時(shí)|QA|＋|QC|最?。? 13