《2020版高考數學一輪復習 第5章 數列 第2節(jié) 等差數列及其前n項和教學案 理（含解析）新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2020版高考數學一輪復習 第5章 數列 第2節(jié) 等差數列及其前n項和教學案 理（含解析）新人教A版（8頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、第二節(jié)　等差數列及其前n項和 [考綱傳真]　1.理解等差數列的概念.2.掌握等差數列的通項公式與前n項和公式.3.能在具體的問題情境中識別數列的等差關系，并能用等差數列的有關知識解決相應的問題.4.了解等差數列與一次函數的關系． 1．等差數列 (1)定義：一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用字母d表示．數學語言表示為an＋1－an＝d(n∈N*)，d為常數． (2)等差中項：數列a，A，b成等差數列的充要條件是A＝，其中A叫做a，b的等差中項． (3)等差數列的通項公式：an＝a1

2、＋(n－1)d，可推廣為an＝am＋(n－m)d. (4)等差數列的前n項和公式：Sn＝＝na1＋d. 2．等差數列的通項公式及前n項和公式與函數的關系 (1)an＝a1＋(n－1)d可化為an＝dn＋a1－d的形式．當d≠0時，an是關于n的一次函數；當d＞0時，數列為遞增數列；當d＜0時，數列為遞減數列． (2)數列{an}是等差數列，且公差不為0?Sn＝An2＋Bn(A，B為常數)． [常用結論] 1．已知數列{an}的通項公式是an＝pn＋q(其中p，q為常數)，則數列{an}一定是等差數列，且公差為p. 2．若數列{an}與{bn}均為等差數列，且前n項和分別是Sn和T

3、n，則＝. [基礎自測] 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)若一個數列從第2項起每一項與它的前一項的差都是常數，則這個數列是等差數列．(　　) (2)數列{an}為等差數列的充要條件是對任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　) (3)數列{an}為等差數列的充要條件是其通項公式為n的一次函數．(　　) (4)等差數列的前n項和公式是常數項為0的二次函數．(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．等差數列{an}中，a4＋a8＝10，a10＝6，則公差d等于(　　) A.　　 　B.　　 　C．2　

4、　 　 D．－ A　[∵a4＋a8＝2a6＝10，∴a6＝5， 又a10＝6，∴公差d＝＝＝.故選A.] 3．(教材改編)設數列{an}是等差數列，其前n項和為Sn，若a6＝2且S5＝30，則S8等于(　　) A．31 B．32 C．33 D．34 B　[設數列{an}的公差為d， 法一：由S5＝5a3＝30得a3＝6， 又a6＝2，∴S8＝＝＝＝32. 法二：由得 ∴S8＝8a1＋d＝8×－28×＝32.] 4．在等差數列{an}中，a1＝7，公差為d，前n項和為Sn，當且僅當n＝8時Sn取得最大值，則d的取值范圍為________． 　[由題意可知即解得－1

5、＜d＜－.] 5．(教材改編)在等差數列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，則a2＋a8＝________. 180　[∵{an}為等差數列， ∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90， ∴a2＋a8＝2a5＝180.] 等差數列基本量的運算 1．若等差數列{an}的前5項和S5＝25，且a2＝3，則a7＝(　　) A．12　　 　 B．13　　 　C．14　　 　 D．15 B　[由題意得S5＝＝5a3＝25，a3＝5，公差d＝a3－a2＝2，a7＝a2＋5d＝3＋5×2＝13.故選B.] 2．已知在等差數列{an}中，a1＝20

6、，an＝54，Sn＝3 700，則數列的公差d，項數n分別為(　　) A．d＝0.34，n＝100 B．d＝0.34，n＝99 C．d＝，n＝100 D．d＝，n＝99 C　[由 得解得故選C.] 3．(2018·寧德二模)已知等差數列{an}滿足a3＋a5＝14，a2a6＝33，則a1a7＝(　　) A．33 B．16 C．13 D．12 C　[由得 解得或 當a1＝1，d＝2時，a7＝1＋6×2＝13，∴a1a7＝13； 當a1＝13，d＝－2時，a7＝13＋6×(－2)＝1，∴a1a7＝13. 綜上可知a1a7＝13.故選C.] 4．(2018·

7、西寧一模)我國古代數學名著《九章算術·均輸》中記載了這樣一個問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等，問各得幾何？”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數列，問五人各得多少錢？”(“錢”是古代一種重量單位)．這個問題中，等差數列的通項公式為(　　) A．－n＋(n∈N*，n≤5) B.n＋(n∈N*，n≤5) C.n＋(n∈N*，n≤5) D．－n＋(n∈N*，n≤5) D　[由題意可設五人所得依次對應等差數列中的a1，a2，a3，a4，a5，公差為d，則 ∴ ∴ ∴通項公式為an＝＋(n－

8、1)×＝－n(n∈N*，n≤5)，故選D.] [規(guī)律方法]　解決等差數列運算問題的思想方法 (1)方程思想：等差數列的基本量為首項a1和公差d，通常利用已知條件及通項公式或前n項和公式列方程(組)求解，等差數列中包含a1，d，n，an，Sn五個量，可“知三求二”. (2)整體思想：當所給條件只有一個時，可將已知和所求都用a1，d表示，尋求兩者間的聯(lián)系，整體代換即可求解. (3)利用性質：運用等差數列性質可以化繁為簡、優(yōu)化解題過程. 等差數列的判定與證明 【例1】　數列{an}滿足an＋1＝，a1＝1. (1)證明：數列是等差數列； (2)求數列的前n項和Sn，并證明＋＋

9、…＋＞. [解]　(1)證明：∵an＋1＝， ∴＝，化簡得＝2＋，即－＝2， 故數列是以1為首項，2為公差的等差數列． (2)由(1)知＝2n－1， 所以Sn＝＝n2. 證明：＋＋…＋＝＋＋…＋＞＋＋…＋ ＝＋＋…＋＝1－＝. [規(guī)律方法]　等差數列的四個判定方法 (1)定義法：證明對任意正整數n都有an＋1－an等于同一個常數. (2)等差中項法：證明對任意正整數n都有2an＋1＝an＋an＋2. (3)通項公式法：得出an＝pn＋q后，再根據定義判定數列{an}為等差數列. (4)前n項和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，再使用定義法證明數列{an}為等差數列.

10、 已知數列{an}滿足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n. (1)求a2，a3； (2)證明數列是等差數列，并求{an}的通項公式． [解]　(1)由已知，得a2－2a1＝4， 則a2＝2a1＋4，又a1＝1，所以a2＝6. 由2a3－3a2＝12， 得2a3＝12＋3a2，所以a3＝15. (2)由已知nan＋1－(n＋1)an＝2n(n＋1)， 得＝2，即－＝2， 所以數列是首項＝1，公差d＝2的等差數列． 則＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以an＝2n2－n. 等差數列的性質及應用 【例2】　(1)設數列{an}，{bn}都是等差數列，且a1

11、＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，則a37＋b37等于(　　) A．0　　　 B．37　　　C．100　　　 D．－37 (2)(2019·商洛模擬)等差數列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，則2a9－a10的值是(　　) A．20 B．22 C．24 D．8 (3)設等差數列{an}的前n項和為Sn，若S3＝9，S6＝36，則a7＋a8＋a9等于(　　) A．63 B．45 C．36 D．27 (1)C　(2)C　(3)B　[(1)設{an}，{bn}的公差分別為d1，d2，則(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1

12、－bn)＝d1＋d2，所以{an＋bn}為等差數列．又a1＋b1＝a2＋b2＝100，所以{an＋bn}為常數列，所以a37＋b37＝100. (2)因為a1＋3a8＋a15＝5a8＝120， 所以a8＝24，所以2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24. (3)由{an}是等差數列，得S3，S6－S3，S9－S6為等差數列． 即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)， 得到S9－S6＝2S6－3S3＝45.] [規(guī)律方法]　等差數列的常用性質和結論 (1)在等差數列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，則am＋an＝ap＋aq＝2ak. (2

13、)在等差數列{an}中，數列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差數列. (1)已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若m＞1，且am－1＋am＋1－a－1＝0，S2m－1＝39，則m等于(　　) A．39 B．20 C．19 D．10 (2)設等差數列{an}，{bn}的前n項和分別為Sn，Tn，若對任意的n∈N*，都有＝，則＋的值為(　　) A. B. C. D. (1)B　(2)C　[(1)數列{an}為等差數列，則am－1＋am＋1＝2am，則am－1＋am＋1－a－1＝0可化為2am－a－1＝0，解得am＝1.又S2m－1＝(2m－1)am＝39，則m

14、＝20.故選B. (2)由題意可知b3＋b13＝b5＋b11＝b1＋b15＝2b8， ∴＋＝＝＝＝＝＝.故選C.] 等差數列前n項和的最值問題 【例3】　在等差數列{an}中，已知a1＝20，前n項和為Sn，且S10＝S15，求當n取何值時，Sn取得最大值，并求出它的最大值． [解]　∵a1＝20，S10＝S15， ∴10×20＋d＝15×20＋d， ∴d＝－. 法一：由an＝20＋(n－1)×＝－n＋， 得a13＝0. 即當n≤12時，an＞0， 當n≥14時，an＜0. ∴當n＝12或n＝13時，Sn取得最大值， 且最大值為S12＝S13＝12×20＋×＝

15、130. 法二：Sn＝20n＋·＝－n2＋n ＝－2＋. ∵n∈N*，∴當n＝12或n＝13時，Sn有最大值，且最大值為S12＝S13＝130. 法三：由S10＝S15，得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0. ∴5a13＝0，即a13＝0. ∴當n＝12或n＝13時，Sn有最大值，且最大值為S12＝S13＝130. [規(guī)律方法]　求等差數列前n項和Sn最值的兩種方法 (1)函數法：利用等差數列前n項和的函數表達式Sn＝an2＋bn，通過配方或借助圖象求二次函數最值的方法求解. (2)鄰項變號法. ①當a1>0，d<0時，滿足的項數m使得Sn取得最大值為Sm； ②當

16、a1<0，d>0時，滿足的項數m使得Sn取得最小值為Sm. 易錯警示：易忽視n∈N＋. (1)設數列{an}是公差d＜0的等差數列，Sn為其前n項和，若S6＝5a1＋10d，則Sn取最大值時，n的值為(　　) A．5 B．6 C．5或6 D．11 (2)已知等差數列{an}的首項a1＝20，公差d＝－2，則前n項和Sn的最大值為________． (1)C　(2)110　[(1)由題意得S6＝6a1＋15d＝5a1＋10d，化簡得a1＝－5d，所以a6＝0，故當n＝5或6時，Sn最大． (2)因為等差數列{an}的首項a1＝20，公差d＝－2， Sn＝na1＋d＝20

17、n－×2 ＝－n2＋21n＝－2＋2， 又因為n∈N*，所以n＝10或n＝11時，Sn取得最大值，最大值為110.] 1．(2018·全國卷Ⅰ)記Sn為等差數列{an}的前n項和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，則a5＝(　　) A．－12　　　 B．－10　　　C．10　　　 D．12 B　[設等差數列{an}的公差為d，∵3S3＝S2＋S4，∴3＝2a1＋d＋4a1＋d，解得d＝－a1，∵a1＝2，∴d＝－3， ∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.故選B.] 2．(2017·全國卷Ⅲ)等差數列{an}的首項為1，公差不為0.若a2，a3，a6成等比數列，則{

18、an}前6項的和為(　　) A．－24 B．－3 C．3 D．8 A　[由已知條件可得a1＝1，d≠0， 由a＝a2a6可得(1＋2d)2＝(1＋d)(1＋5d)，解得d＝－2. 所以S6＝6×1＋＝－24. 故選A.] 3．(2016·全國卷Ⅰ)已知等差數列{an}前9項的和為27，a10＝8，則a100＝(　　) A．100 B．99 C．98 D．97 C　[∵{an}是等差數列，設其公差為d， ∴S9＝9a5＝27，∴a5＝3. 又∵a10＝8，∴∴ ∴a100＝a1＋99d＝－1＋99×1＝98.故選C.] 4．(2018·全國卷Ⅱ)記Sn為等差數列{an}的前n項和，已知a1＝－7，S3＝－15. (1)求{an}的通項公式； (2)求Sn，并求Sn的最小值． [解]　(1)設{an}的公差為d，由題意得3a1＋3d＝－15. 由a1＝－7得d＝2.所以{an}的通項公式為an＝2n－9. (2)由(1)得Sn＝n2－8n＝(n－4)2－16. 所以當n＝4時，Sn取得最小值，最小值為－16. - 8 -