《2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第二章 等式與不等式 2.2 不等式 2.2.4 均值不等式及其應(yīng)用學(xué)案 新人教B版必修第一冊(cè)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第二章 等式與不等式 2.2 不等式 2.2.4 均值不等式及其應(yīng)用學(xué)案 新人教B版必修第一冊(cè)（13頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、2.2.4　均值不等式及其應(yīng)用 (教師獨(dú)具內(nèi)容) 課程標(biāo)準(zhǔn)：1.理解均值不等式的內(nèi)容及其證明過程.2.能熟練地運(yùn)用均值不等式來比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小.3.能初步運(yùn)用均值不等式來證明簡(jiǎn)單的不等式.4.熟練掌握均值不等式及變形的應(yīng)用.5.會(huì)用均值不等式解決簡(jiǎn)單的最大(小)值問題． 教學(xué)重點(diǎn)：1.均值不等式的內(nèi)容及其證明過程.2.運(yùn)用均值不等式來比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小及進(jìn)行簡(jiǎn)單的證明.3.運(yùn)用均值不等式解決簡(jiǎn)單的最大值或最小值問題． 教學(xué)難點(diǎn)：均值不等式條件的創(chuàng)造. 【情境導(dǎo)學(xué)】(教師獨(dú)具內(nèi)容) 如圖，要設(shè)計(jì)一張矩形廣告牌，該廣告牌含有大小相等的左右兩個(gè)矩形欄目(如圖中陰影部分)，這兩欄

2、的面積之和為18000 cm2，四周空白的寬度為10 cm，兩欄之間的中縫空白的寬度為5 cm.怎樣確定廣告牌的高與寬的尺寸(單位：cm)，能使矩形廣告牌面積最?。? 【知識(shí)導(dǎo)學(xué)】 知識(shí)點(diǎn)一　數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式和中點(diǎn)坐標(biāo)公式 (1)一般地，如果A(a)，B(b)，則線段AB的長為AB＝|a－b|，這是數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式． (2)如果線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為x.若a

3、稱為a，b的算術(shù)平均值；數(shù)稱為a，b的幾何平均值． 知識(shí)點(diǎn)三 均值不等式 如果a，b都是正數(shù)，那么≥，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．我們把這個(gè)不等式稱為均值不等式． 均值不等式也稱為基本不等式，其實(shí)質(zhì)是：兩個(gè)正實(shí)數(shù)的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值． 知識(shí)點(diǎn)四 均值不等式與最大(小)值 當(dāng)x，y均為正數(shù)時(shí)，下面的命題均成立： (1)若x＋y＝s(s為定值)，則當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，xy取得最大值(簡(jiǎn)記：和定積有最大值)． (2)若xy＝p(p為定值)，則當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x＋y取得最小值2(簡(jiǎn)記：積定和有最小值)． 【新知拓展】 1．由均值不等式變形得到的常見的結(jié)論 (1)ab≤

4、2≤(a，b∈R)； (2)≤≤ (a，b均為正實(shí)數(shù))； (3)＋≥2(a，b同號(hào))； (4)(a＋b)≥4(a，b同號(hào))； (5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)． 2．利用均值不等式證明不等式時(shí)應(yīng)注意的問題 (1)注意均值不等式成立的條件； (2)多次使用均值不等式，要注意等號(hào)能否成立； (3)對(duì)不能直接使用均值不等式證明的可重新組合，形成均值不等式模型，再使用． 3．利用均值不等式的解題技巧與易錯(cuò)點(diǎn) (1)利用均值不等式求最值常用構(gòu)造定值的技巧 ①加項(xiàng)變換； ②拆項(xiàng)變換； ③統(tǒng)一換元； ④平方后再用均值不等式． (2)易錯(cuò)點(diǎn) ①易忘“正

5、”，忽略了各項(xiàng)均為正實(shí)數(shù)； ②易忘“定”，用均值不等式時(shí)，和或積為定值； ③易忘“等”，用均值不等式要驗(yàn)證等號(hào)是否可以取到； ④易忘“同”，多次使用均值不等式時(shí)，等號(hào)成立的條件應(yīng)相同． 1．判一判(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)≥對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b都成立．(　　) (2)若a>0，b>0，且a≠b，則a＋b>2.(　　) (3)當(dāng)x>1時(shí)，函數(shù)y＝x＋≥2，所以函數(shù)y的最小值是2.(　　) (4)式子x＋的最小值為2.(　　) (5)若x∈R，則x2＋2＋的最小值為2.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)× 2．做一做(請(qǐng)把正確的答

6、案寫在橫線上) (1)不等式m2＋1≥2m等號(hào)成立的條件是________． (2)＋≥2成立的條件是________． (3)x＞1，則x＋的最小值為________． (4)若a>0，b>0，且a＋b＝2，則＋的最小值為________． 答案　(1)m＝1　(2)a與b同號(hào)　(3)3　(4)2 題型一 對(duì)均值不等式的理解 例1　給出下面三個(gè)推導(dǎo)過程： ①因?yàn)閍，b∈(0，＋∞)，所以＋≥2 ＝2； ②因?yàn)閍∈R，a≠0，所以＋a≥2 ＝4； ③因?yàn)閤，y∈R，xy<0，所以＋＝－≤－2 ＝－2. 其中正確的推導(dǎo)過程為(　　) A．①② B．②③

7、 C．② D．①③ [解析]　從均值不等式成立的條件考慮． ①因?yàn)閍，b∈(0，＋∞)，所以，∈(0，＋∞)，符合均值不等式成立的條件，故正確； ②因?yàn)閍∈R，a≠0不符合均值不等式成立的條件，所以＋a≥2＝4是錯(cuò)誤的； ③由xy<0得，均為負(fù)數(shù)，但在推導(dǎo)過程中將＋看成一個(gè)整體提出負(fù)號(hào)后，，均變?yōu)檎龜?shù)，符合均值不等式成立的條件，故正確． [答案]　D 金版點(diǎn)睛 均值不等式≥(a≥0，b≥0)的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn) (1)不等式成立的條件：a，b都是非負(fù)實(shí)數(shù)． (2)“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義： ①當(dāng)a＝b時(shí)，≥的等號(hào)成立， 即a＝b?＝； ②僅當(dāng)a＝b時(shí)，≥的等號(hào)成立， 即＝?

8、a＝b. 　下列命題中正確的是(　　) A．當(dāng)a，b∈R時(shí)，＋≥2 ＝2 B．當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，(a＋b)≥4 C．當(dāng)a＞4時(shí)，a＋的最小值是6 D．當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，≥ 答案　B 解析　A中，可能＜0，所以不正確；B中，因?yàn)閍＋b≥2＞0，＋≥2＞0，相乘得(a＋b)≥4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立，所以正確；C中，a＋≥2 ＝6中的等號(hào)不成立，所以不正確；D中，由均值不等式知，≤(a＞0，b＞0)，所以不正確． 題型二 利用均值不等式比較大小 例2　已知a＞1，則，，三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系是(　　) A.＜＜ B.＜＜ C.＜＜ D.＜≤ [解析]　當(dāng)a，

9、b是正數(shù)時(shí)， ≤≤≤ (a，b∈R＋)， 令b＝1，得≤≤. 又a＞1，即a≠b，故上式不能取等號(hào)，選C. [答案]　C [題型探究]　對(duì)一切正數(shù)m，不等式n＜＋2m恒成立，求常數(shù)n的取值范圍． 解　當(dāng)m∈(0，＋∞)時(shí)，由均值不等式，得＋2m≥2＝4，且當(dāng)m＝時(shí)，等號(hào)成立，故n的取值范圍為n＜4. 金版點(diǎn)睛 利用均值不等式比較大小 在利用均值不等式比較大小時(shí)，應(yīng)創(chuàng)設(shè)應(yīng)用均值不等式的使用條件，合理地拆項(xiàng)、配湊或變形．在拆項(xiàng)、配湊或變形的過程中，首先要考慮均值不等式使用的條件，其次要明確均值不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”或者將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能．

10、 　已知：a，b∈(0，＋∞)且a＋b＝1，試比較＋，，4的大?。? 解　∵a＞0，b＞0，a＋b≥2，∴ab≤. ∴＋＝＝≥4， ＝＝－ab≥－＝， 即≤4. ∴＋≥4≥. 題型三 利用均值不等式求代數(shù)式的最值 例3　(1)已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值； (2)已知正實(shí)數(shù)x，y滿足2x＋y＋6＝xy，求xy的最小值； (3)已知實(shí)數(shù)x，y滿足x2＋y2＋xy＝1，求x＋y的最大值． [解]　(1)∵x>0，y>0，＋＝1， ∴x＋y＝(x＋y)＝＋＋10≥6＋10＝16， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，＋＝1， 即x＝4，y＝12時(shí)，上式取等號(hào)． 故當(dāng)x＝4，y＝

11、12時(shí)，(x＋y)min＝16. (2)∵2x＋y＋6＝xy， ∴y＝，x＞1，xy＝＝＝＝2＝2≥2×＝18. 當(dāng)且僅當(dāng)x＝3時(shí)，等號(hào)成立，∴xy的最小值為18. (3)因?yàn)?＝x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy≥(x＋y)2－2，所以(x＋y)2≤， 即x＋y≤，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＞0，且x2＋y2＋xy＝1， 即x＝y(tǒng)＝時(shí)，等號(hào)成立，∴x＋y的最大值為. [結(jié)論探究]　若本例(1)中的條件不變，如何求xy的最小值？ 解?。健荩剑?， 又因?yàn)椋?，所以≤1，≥6，xy≥36， 當(dāng)且僅當(dāng)y＝9x，即x＝2，y＝18時(shí)，等號(hào)成立． 所以(xy)min＝36. 金版點(diǎn)睛

12、 利用均值不等式求代數(shù)式的最值 (1)利用均值不等式求代數(shù)式的最值，要通過恒等變形以及配湊，使“和”或“積”為定值，從而求得代數(shù)式的最大值或最小值． (2)若是求和式的最小值，通?；?或利用)積為定值；若是求積的最大值，通常化(或利用)和為定值，解答技巧都是恰當(dāng)變形，合理拆分項(xiàng)或配湊因式． 　(1)已知正數(shù)x，y滿足x＋2y＝1，求＋的最小值； (2)已知x>0，y>0，且滿足＋＝1，求xy的最大值． 解　(1)∵x，y為正數(shù)，且x＋2y＝1， ∴＋＝(x＋2y)＝3＋＋≥3＋2，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即當(dāng)x＝－1，y＝1－時(shí)等號(hào)成立． ∴＋的最小值為3＋2. (2)∵＋＝1，∴

13、1＝＋≥2＝. ∴≤ ，當(dāng)且僅當(dāng)＝＝，即x＝，y＝2時(shí)等號(hào)成立． ∴xy≤3，即xy的最大值為3. 題型四 利用均值不等式求函數(shù)的最值 例4　(1)求y＝＋x(x>3)的最小值； (2)已知03，∴x－3>0，>0， ∴y≥2＋3＝5. 當(dāng)且僅當(dāng)＝x－3，即x＝4時(shí)，y取得最小值5. (2)∵00， y＝x(1－3x)＝·3x·(1－3x) ≤2＝. 當(dāng)且僅當(dāng)3x＝1－3x，即x＝時(shí)，取等號(hào)， ∴當(dāng)x＝時(shí)，函數(shù)取

14、得最大值. (3)∵x>－1，∴x＋1＞0， y＝＝ ＝x＋1＋＋1≥2＋1， 當(dāng)且僅當(dāng)x＋1＝， 即x＝－1時(shí)，函數(shù)y取得最小值2＋1. [條件探究]　在本例(1)中把“x>3”改為“x<3”，y＝＋x的最值又如何？ 解　∵x<3，∴x－3<0， ∴y＝＋x＝－－(3－x)＋3 ＝－＋3≤－2＋3 ＝－2＋3＝1. 當(dāng)且僅當(dāng)＝3－x，即x＝2時(shí)，取等號(hào)． 故函數(shù)y＝＋x(x<3)有最大值1，沒有最小值． 金版點(diǎn)睛 利用均值不等式求函數(shù)的最值 (1)利用均值不等式求函數(shù)最值的關(guān)鍵是獲得定值條件，解題時(shí)應(yīng)對(duì)照已知和欲求的式子運(yùn)用適當(dāng)?shù)摹安痦?xiàng)、添項(xiàng)、配湊、變形”等方法

15、創(chuàng)設(shè)應(yīng)用均值不等式的條件． (2)等號(hào)取不到時(shí)，注意利用求函數(shù)最值的其他方法． 　(1)已知x<，則y＝4x－2＋的最大值為________； (2)若x>1，則y＝的最小值為________． 答案　(1)1　(2)4 解析　(1)∵x<，∴5－4x>0. ∴y＝4x－2＋＝－＋3 ≤－2＋3＝－2＋3＝1， 當(dāng)且僅當(dāng)5－4x＝， 即x＝1時(shí)，上式等號(hào)成立． 故當(dāng)x＝1時(shí)，y的最大值為1. (2)∵x>1，∴y＝＝＝x＋1＋ ＝x－1＋＋2≥2＋2＝4， 當(dāng)且僅當(dāng)＝x－1，即(x－1)2＝1時(shí)，等號(hào)成立， ∴當(dāng)x＝2時(shí)，y的最小值為4. 題型五 利

16、用均值不等式證明不等式 例5　已知a，b，c是不全相等的三個(gè)正數(shù)， 求證：＋＋＞3. [證明]　＋＋ ＝＋＋＋＋＋－3 ＝＋＋－3. ∵a，b，c都是正數(shù)， ∴＋≥2 ＝2， 同理＋≥2，＋≥2， ∵a，b，c不全相等，上述三式不能同時(shí)取等號(hào)， ∴＋＋＞6， ∴＋＋＞3. 金版點(diǎn)睛 利用均值不等式證明不等式 (1)利用均值不等式證明不等式時(shí)，可依據(jù)求證式兩端的式子結(jié)構(gòu)，合理選擇均值不等式及其變形不等式來證，如a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，可變形為ab≤；≥(a>0，b>0)可變形為ab≤2等．同時(shí)要從整體上把握均值不等式，如a4＋b4≥2a2b2，a2b2＋b2

17、c2≥2(ab)(bc)，都是對(duì)“a2＋b2≥2ab，a，b∈R”的靈活應(yīng)用． (2)在證明條件不等式時(shí)，要注意“1”的代換，另外要特別注意等號(hào)成立的條件． 　已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1. 求證：＋＋≥10. 證明?。? ＝＋＋ ＝4＋＋＋≥4＋2＋2＋2＝10，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時(shí)取等號(hào)， ∴＋＋≥10. 1．a(chǎn)＞b＞0，則下列不等式中總成立的是(　　) A.＜＜ B.≥≥ C.＞＞ D.<＜ 答案　C 解析　＜＝＜. 2．已知x＞0，y＞0，x≠y，則下列四個(gè)式子中值最小的是(　　) A. B. C. D

18、. 答案　C 解析　解法一：∵x＋y＞2， ∴＜，排除D； ∵＝＝＞＝， ∴排除B； ∵(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy＜2(x2＋y2)， ∴＞，排除A，故選C. 解法二：取x＝1，y＝2. 則＝；＝； ＝；＝＝. 其中最小，故選C. 3．若a＞0，則代數(shù)式a＋(　　) A．有最小值10 B．有最大值10 C．有最大值沒有最小值 D．既沒有最大值也沒有最小值 答案　A 解析　利用均值不等式得a＋≥2＝10，當(dāng)且僅當(dāng)a＝，即a＝5時(shí)，取得最小值10. 4．已知x，y均為正數(shù)，且x＋4y＝1，則xy的最大值為(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　∵x＞0，y＞0. ∴4xy≤2＝2＝.∴xy≤. 當(dāng)且僅當(dāng)x＝4y，即x＝，y＝時(shí)取等號(hào)． 5．已知a>b，ab＝1，求證：a2＋b2≥2(a－b)． 證明　∵a>b，∴a－b>0，又ab＝1， ∴＝＝＝a－b＋≥2＝2，即≥2，即a2＋b2≥2(a－b)，當(dāng)且僅當(dāng)a－b＝，即a－b＝時(shí)取等號(hào)． 13