《2019年高考數學一輪復習 第2章 函數、導數及其應用 第4節(jié) 二次函數與冪函數學案 文 北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2019年高考數學一輪復習 第2章 函數、導數及其應用 第4節(jié) 二次函數與冪函數學案 文 北師大版（7頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 第四節(jié)　二次函數與冪函數 [考綱傳真]　1.(1)了解冪函數的概念；(2)結合函數y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝的圖像，了解它們的變化情況.2.理解二次函數的圖像和性質，能用二次函數、方程、不等式之間的關系解決簡單問題． (對應學生用書第14頁) [基礎知識填充] 1．二次函數 (1)二次函數解析式的三種形式 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； 頂點式：f(x)＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，頂點坐標為(－h(huán)，k)； 零點式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2為f(x)的零點． (2)二次函數的圖像與性質 函

2、數 y＝ax2＋bx＋c(a＞0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0) 圖像 定義域 R 值域 單調性 在上是減少的， 在上是增加的 在上是增加的， 在上是減少的 對稱性 函數的圖像關于x＝－對稱 2. 冪函數 (1)定義：形如y＝xα(α∈R)的函數稱為冪函數，其中x是自變量，α是常數． (2)五種常見冪函數的圖像與性質 函數 特征 性質 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 圖像 定義域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0

3、} {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 單調性 增 (－∞，0)減， (0，＋∞)增 增 增 (－∞，0)和 (0，＋∞)減 公共點 (1,1) [知識拓展] 1．一元二次不等式恒成立的條件 (1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的充要條件是 (2)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的充要條件是 (3)ax2＋bx＋c＞0(a＜0)在區(qū)間[a，b]恒成立的充要條件是 (4)ax2＋bx＋c＜0(a＞0)在區(qū)間[a，b]恒成立的充要條件是 2．冪函數y＝xα(α∈R)的圖像特征 (1)α＞0時，圖像過原點和(1,1)

4、，在第一象限的圖像上升． (2)α＜0時，圖像不過原點，在第一象限的圖像下降． [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)二次函數y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函數．(　　) (2)二次函數y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.(　　) (3)冪函數的圖像一定經過點(1,1)和點(0,0)．(　　) (4)當n＞0時，冪函數y＝xn在(0，＋∞)上是增函數．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(教材改編)已知冪函數f(x)＝xα的圖像過點(4,2)，若f(m)＝

5、3，則實數m的值為(　　) A．　　　　　 B．± C．± D．9 D　[由題意可知4α＝22α＝2，所以α＝. 所以f(x)＝x＝， 故f(m)＝＝3?m＝9.] 3．已知函數f(x)＝ax2＋x＋5的圖像在x軸上方，則a的取值范圍是(　　) A． B． C． D． C　[由題意知即得a＞.] 4．(2017·貴陽適應性考試(二))二次函數f(x)＝2x2＋bx－3(b∈R)零點的個數是 (　　) A．0　　　　 B．1 C．2　　　　 D．4 C　[因為判別式Δ＝b2＋24＞0，所以原二次函數有2個零點，故選C．] 5．若二次函數

6、y＝ax2＋bx＋c的圖像與x軸交于A(－2,0)，B(4,0)且函數的最大值為9，則這個二次函數的表達式是________． y＝－x2＋2x＋8　[設y＝a(x＋2)(x－4)，對稱軸為x＝1， 當x＝1時，ymax＝－9a＝9，∴a＝－1， ∴y＝－(x＋2)(x－4)＝－x2＋2x＋8.] (對應學生用書第15頁) 求二次函數的解析式 　已知二次函數f(x)滿足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，試確定此二次函數的解析式． [解]　法一(利用一般式)： 設f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 由題意得 解

7、得∴所求二次函數為f(x)＝－4x2＋4x＋7. 法二(利用頂點式)： 設f(x)＝a(x－m)2＋n. ∵f(2)＝f(－1)， ∴拋物線的圖像的對稱軸為x＝＝. ∴m＝.又根據題意函數有最大值8，∴n＝8. ∴y＝f(x)＝a2＋8. ∵f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1，解得a＝－4， ∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7. 法三(利用零點式)： 由已知f(x)＋1＝0的兩根為x1＝2，x2＝－1， 故可設f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)， 即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函數的最大值是8，即＝8，解得a＝－4， ∴

8、所求函數的解析式為f(x)＝－4x2＋4x＋7. [規(guī)律方法]　用待定系數法求二次函數的解析式，關鍵是靈活選取二次函數解析式的形式，選法如下： [變式訓練1]　已知二次函數f(x)的圖像經過點(4,3)，它在x軸上截得的線段長為2，并且對任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式． [解]　∵f(2－x)＝f(2＋x)對x∈R恒成立， ∴f(x)的對稱軸為x＝2. 又∵f(x)的圖像被x軸截得的線段長為2， ∴f(x)＝0的兩根為1和3. 設f(x)的解析式為f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)． 又∵f(x)的圖像過點(4,3)，

9、 ∴3a＝3，a＝1. ∴所求f(x)的解析式為f(x)＝(x－1)(x－3)， 即f(x)＝x2－4x＋3. 二次函數的圖像與性質 角度1　二次函數的最值問題 　(1)(2017·廣西一模)若xlog52≥－1，則函數f(x)＝4x－2x＋1－3的最小值為(　　) A．－4　　　　 B．－3　　　　 C．－1　　　　 D．0 (2)(2017·安徽皖北第一次聯(lián)考)已知函數f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在區(qū)間[0,1]上的最大值為2，則a的值為(　　) A．2 B．－1或－3 C．2或－3 D．－1或2 (1)A　(2)D　[(1)xlog52≥

10、－1?log52x≥log55－1?2x≥， 令t＝2x，則有y＝t2－2t－3＝(t－1)2－4， 當t＝1≥，即x＝0時，f(x)取得最小值－4.故選A． (2)函數f(x)＝－(x－a)2＋a2－a＋1圖像的對稱軸為x＝a，且開口向下，分三種情況討論如下： ①當a≤0時，函數f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在區(qū)間[0,1]上是減少的， ∴f(x)max＝f(0)＝1－a，由1－a＝2，得a＝－1. ②當0＜a≤1時，函數f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在區(qū)間[0，a]上是增加的，在[a,1]上是減少的， ∴f(x)max＝f(a)＝－a2＋2a2＋1－a＝a2

11、－a＋1， 由a2－a＋1＝2，解得a＝或a＝.∵0＜a≤1，∴兩個值都不滿足，舍去． ③當a＞1時，函數f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在區(qū)間[0,1]上是增加的， ∴f(x)max＝f(1)＝－1＋2a＋1－a＝2，∴a＝2. 綜上可知，a＝－1或a＝2.] 角度2　二次函數中的恒成立問題 　(1)已知函數f(x)＝x2＋mx－1，若對于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，則實數m的取值范圍是________. 【導學號：00090025】 (2)已知a是實數，函數f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，則實數a的取值范圍為______

12、__． (1)　(2)　[(1)作出二次函數f(x)的圖像，對于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0， 則有 即解得－＜m＜0. (2)由題意知2ax2＋2x－3＜0在[－1,1]上恒成立． 當x＝0時，適合； 當x≠0時，a＜2－. 因為∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，當x＝1時，右邊取最小值，所以a＜. 綜上，實數a的取值范圍是.] [規(guī)律方法]　1.二次函數最值問題應抓住“三點一軸”數形結合求解，三點是指區(qū)間兩個端點和中點，一軸指的是對稱軸，結合配方法，用函數的單調性及分類討論的思想即可完成． 2．由不等式恒成立求參數的取值范圍，常用分離參

13、數法，轉化為求函數最值問題，其依據是a≥f(x)?a≥f(x)max，a≤f(x)?a≤f(x)min. 冪函數的圖像與性質 　(1)(2018·蘭州模擬)已知冪函數f(x)＝k·xα的圖像過點，則k＋α等于(　　) A． B．1 C． D．2 (2)若(2m＋1)＞(m2＋m－1)，則實數m的取值范圍是(　　) A． B． C．(－1,2) D． (1)C　(2)D　[(1)由冪函數的定義知k＝1.又f＝， 所以α＝，解得α＝，從而k＋α＝. (2)因為函數y＝x的定義域為[0，＋∞)， 且在定義域內為增函數， 所以不等式等價于 解

14、2m＋1≥0，得m≥－； 解m2＋m－1≥0，得m≤或m≥； 解2m＋1＞m2＋m－1，得－1＜m＜2， 綜上所述，m的取值范圍是≤m＜2.] [規(guī)律方法]　1.冪函數的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一個參數α，因此只需一個條件即可確定其解析式． 2．在區(qū)間(0,1)上，冪函數中指數越大，函數圖像越靠近x軸(簡記為“指大圖低”)，在區(qū)間(1，＋∞)上，冪函數中指數越大，函數圖像越遠離x軸． [變式訓練2]　(1)設a＝0.5，b＝0.9，c＝log50.3，則a，b，c的大小關系是(　　) A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．b＞a＞c (2)若(a＋1) ＜(3－2a)，則實數a的取值范圍是________． (1)D　(2)　[(1)a＝0.5＝0.25，b＝0.9，所以根據冪函數的性質知b＞a＞0，而c＝log50.3＜0，所以b＞a＞C． (2)易知函數y＝x的定義域為[0，＋∞)，在定義域內為增函數，所以解得－1≤a＜.] 7