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2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第10章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 第5節(jié) n次獨立重復(fù)試驗與二項分布教學(xué)案 理(含解析)新人教A版

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1、第五節(jié) n次獨立重復(fù)試驗與二項分布 [考綱傳真] 1.了解條件概率的概念,了解兩個事件相互獨立的概念.2.理解n次獨立重復(fù)試驗的模型及二項分布,并能解決一些簡單問題. 1.條件概率 條件概率的定義 條件概率的性質(zhì) 設(shè)A,B為兩個事件,且P(A)>0,稱P(B|A)=為在事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的條件概率 (1)0≤P(B|A)≤1; (2)如果B和C是兩個互斥事件,則P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A) 2.事件的相互獨立性 (1)定義:設(shè)A,B為兩個事件,如果P(AB)=P(A)·P(B),則稱事件A與事件B相互獨立. (2)性質(zhì):①若事件A與B相互獨立

2、,則P(B|A)=P(B),P(A|B)=P(A). ②如果事件A與B相互獨立,那么A與,與B,與也相互獨立. 3.獨立重復(fù)試驗與二項分布 (1)獨立重復(fù)試驗 在相同條件下重復(fù)做的n次試驗稱為n次獨立重復(fù)試驗,其中Ai(i=1,2,…,n)是第i次試驗結(jié)果,則 P(A1A2A3…An)=P(A1)P(A2)P(A3)…P(An). (2)二項分布 在n次獨立重復(fù)試驗中,用X表示事件A發(fā)生的次數(shù),設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p,則P(X=k)=Cpk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n),此時稱隨機變量X服從二項分布,記作X~B(n,p),并稱p為成功概率. [基礎(chǔ)自測]

3、 1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”) (1)相互獨立事件就是互斥事件.(  ) (2)若事件A,B相互獨立,則P(B|A)=P(B).(  ) (3)公式P(AB)=P(A)P(B)對任意兩個事件都成立.(  ) (4)二項分布是一個概率分布列,是一個用公式P(X=k)=Cpk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n表示的概率分布列,它表示了n次獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)的概率分布.(  ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2.設(shè)隨機變量X~B,則P(X=3)等于(  ) A.  B.  C.  D. A [∵X~B,∴

4、P(X=3)=C6=.故選A.] 3.已知P(B|A)=,P(AB)=,則P(A)等于(  ) A. B. C. D. C [由P(AB)=P(A)P(B|A),得=P(A), ∴P(A)=.] 4.某人射擊,一次擊中目標(biāo)的概率為0.6,經(jīng)過3次射擊,此人至少有兩次擊中目標(biāo)的概率為________.  [P=C0.620.4+C0.63=.] 5.天氣預(yù)報,在元旦假期甲地降雨概率是0.2,乙地降雨概率是0.3.假設(shè)在這段時間內(nèi)兩地是否降雨相互之間沒有影響,則這兩地中恰有一個地方降雨的概率為________. 0.38 [設(shè)甲地降雨為事件A,乙地降雨為事件B,則兩地恰有一地

5、降雨為A+B, ∴P(A+B)=P(A)+P(B) =P(A)P()+P()P(B) =0.2×0.7+0.8×0.3=0.38.] 條件概率 1.從1,2,3,4,5中任取2個不同的數(shù),事件A=“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”,事件B=“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”,則P(B|A)=(  ) A.  B.  C.  D. B [法一:P(A)===,P(AB)==.由條件概率計算公式,得P(B|A)===. 法二:事件A包括的基本事件:(1,3),(1,5),(3,5),(2,4)共4個. 事件AB發(fā)生的結(jié)果只有(2,4)一種情形,即n(AB)=1. 故由古典概型概率P(

6、B|A)==.] 2.某校組織由5名學(xué)生參加的演講比賽,采用抽簽法決定演講順序,在“學(xué)生A和B都不是第一個出場,B不是最后一個出場”的前提下,學(xué)生C第一個出場的概率為(  ) A. B. C. D. A [因為“A和B都不是第一個出場,B不是最后一個出場”的安排方法中,另外3人中任何一個第一個出場的概率相等,故“C第一個出場”的概率是.] 3.(2019·運城模擬)有一批種子的發(fā)芽率為0.9,出芽后的幼苗成活率為0.8,在這批種子中,隨機抽取一粒,則這粒種子能成長為幼苗的概率為________. 0.72 [設(shè)“種子發(fā)芽”為事件A,“種子成長為幼苗”為事件AB(發(fā)芽,又成活為幼

7、苗).出芽后的幼苗成活率為P(B|A)=0.8,P(A)=0.9,根據(jù)條件概率公式得P(AB)=P(B|A)·P(A)=0.8×0.9=0.72,即這粒種子能成長為幼苗的概率為0.72.] [規(guī)律方法] (1)利用定義,分別求P(A)和P(AB),得P(B|A)=,這是求條件概率的通法. (2)借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A),再求事件A與事件B的交事件中包含的基本事件數(shù)n(AB),得P(B|A)=. 相互獨立事件的概率 【例1】 某乒乓球俱樂部派甲、乙、丙三名運動員參加某運動會的單打資格選拔賽,本次選拔賽只有出線和未出線兩種情況.規(guī)定一名運動員出線記1

8、分,未出線記0分.假設(shè)甲、乙、丙出線的概率分別為,,,他們出線與未出線是相互獨立的. (1)求在這次選拔賽中,這三名運動員至少有一名出線的概率; (2)記在這次選拔賽中,甲、乙、丙三名運動員的得分之和為隨機變量ξ,求隨機變量ξ的分布列. [解] (1)記“甲出線”為事件A,“乙出線”為事件B,“丙出線”為事件C,“甲、乙、丙至少有一名出線”為事件D, 則P(D)=1-P( )=1-××=. (2)由題意可得,ξ的所有可能取值為0,1,2,3, 則P(ξ=0)=P( )=××=; P(ξ=1)=P( )+P( )+P( )=××+××+××=; P(ξ=2)=P(AB)

9、+P(AC)+P(BC)=××+××+××=; P(ξ=3)=P(ABC)=××=. 所以ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P [規(guī)律方法] 1.求復(fù)雜事件的概率,要正確分析復(fù)雜事件的構(gòu)成,先將復(fù)雜事件轉(zhuǎn)化為幾個彼此互斥的事件的和事件或轉(zhuǎn)化為幾個相互獨立事件同時發(fā)生的積事件,再求概率. 2.求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的方法: (1)利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解. (2)直接計算較煩瑣或難以入手時,可從其對立事件入手計算. 設(shè)某人有5發(fā)子彈,他向某一目標(biāo)射擊時,每發(fā)子彈命中目標(biāo)的概率為.若他連續(xù)兩發(fā)命中或連續(xù)兩發(fā)不中則停止射擊,否則將子

10、彈打完. (1)求他前兩發(fā)子彈只命中一發(fā)的概率; (2)求他所耗用的子彈數(shù)X的分布列. [解] 記“第k發(fā)子彈命中目標(biāo)”為事件Ak(k=1,2,3,4,5),則A1,A2,A3,A4,A5相互獨立,且P(Ak)=,P()=. (1)法一:他前兩發(fā)子彈只命中一發(fā)的概率為 P(A1)+P(A2)=P(A1)P()+P()P(A2)=×+×=. 法二:由獨立重復(fù)試驗的概率計算公式知,他前兩發(fā)子彈只命中一發(fā)的概率為P=C××=. (2)X的所有可能取值為2,3,4,5. P(X=2)=P(A1A2)+P( )=×+×=, P(X=3)=P(A1 )+P(A2A3)=×2+×2=,

11、P(X=4)=P(A1A3A4)+P(A2 )=3×+3×=, P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)=. 綜上,X的分布列為 X 2 3 4 5 P 獨立重復(fù)試驗與二項分布 【例2】 (2019·佛山模擬)某企業(yè)對新擴(kuò)建的廠區(qū)進(jìn)行綠化,移栽了銀杏、垂柳兩種大樹各2株.假定銀杏移栽的成活率為,垂柳移栽的成活率為,且各株大樹是否成活互不影響. (1)求兩種大樹各成活1株的概率; (2)設(shè)ξ為兩種大樹成活的株數(shù)之和,求隨機變量ξ的分布列. [解] (1)記“銀杏大樹成活1株”為事件A,“垂柳大樹成活1株”為事件B,則“兩種大樹各

12、成活1株”為事件AB. 由題可知P(A)=C··=,P(B)=C··=, 由于事件A與B相互獨立, 所以P(AB)=P(A)·P(B)=. (2)由題意知ξ的所有可能取值為0,1,2,3,4. P(ξ=0)=2·2=; P(ξ=1)=C···2+C···2=; P(ξ=2)=+2·2+2·2=; P(ξ=3)=C···2+C···2=; P(ξ=4)=2·2=. 所以ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 4 P [規(guī)律方法] 獨立重復(fù)試驗與二項分布問題的常見類型及解題策略 (1)在求n次獨立重復(fù)試驗中事件恰好發(fā)生k次的概率時,首先要確定

13、好n和k的值,再準(zhǔn)確利用公式求概率. (2)在根據(jù)獨立重復(fù)試驗求二項分布的有關(guān)問題時,關(guān)鍵是理清事件與事件之間的關(guān)系,確定二項分布的試驗次數(shù)n和變量的概率,求得概率. 某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況,隨機抽取該流水線上的40件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的質(zhì)量(單位:克),質(zhì)量的分組區(qū)間為(490,495],(495,500],…,(510,515].由此得到樣本的頻率分布直方圖如圖. (1)根據(jù)頻率分布直方圖,求質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量; (2)在上述抽取的40件產(chǎn)品中任取2件,設(shè)X為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量,求X的分布列; (3)從該流水線上任取2件產(chǎn)品,設(shè)Y為質(zhì)

14、量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量,求Y的分布列. [解] (1)質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品的頻率為5×0.05+5×0.01=0.3, 所以質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為40×0.3=12(件). (2)重量超過505的產(chǎn)品數(shù)量為12件,則重量未超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為28件,X的取值為0,1,2, X服從超幾何分布. P(X=0)==, P(X=1)==, P(X=2)==, ∴X的分布列為 X 0 1 2 P (3)根據(jù)樣本估計總體的思想,取一件產(chǎn)品,該產(chǎn)品的質(zhì)量超過505克的概率為=. 從流水線上任取2件產(chǎn)品互不影響,該問題可看成2次獨立重復(fù)試驗,質(zhì)量超過50

15、5克的件數(shù)Y的可能取值為0,1,2,且Y~B, P(X=k)=C2-kk, 所以P(Y=0)=C·2=, P(Y=1)=C··=, P(Y=2)=C·2=. ∴Y的分布列為 Y 0 1 2 P 1.(2015·全國卷Ⅰ)投籃測試中,每人投3次,至少投中2次才能通過測試.已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6,且各次投籃是否投中相互獨立,則該同學(xué)通過測試的概率為(  ) A.0.648    B.0.432 C.0.36    D.0.312 A [3次投籃投中2次的概率為P(k=2)=C×0.62×(1-0.6),投中3次的概率為P(k=3)=0.63,所以通過測試的概率為P(k=2)+P(k=3)=C×0.62×(1-0.6)+0.63=0.648.故選A.] 2.(2014·全國卷Ⅱ)某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明,一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75,連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6,已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良,則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是(  ) A.0.8    B.0.75 C.0.6    D.0.45 A [已知連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6,那么在前一天空氣質(zhì)量為優(yōu)良的前提下,要求隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率,可根據(jù)條件概率公式,得P==0.8.] - 8 -

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