《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第9章 算法初步、統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 第4節(jié) 變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計案例教學(xué)案 文（含解析）北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第9章 算法初步、統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 第4節(jié) 變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計案例教學(xué)案 文（含解析）北師大版（12頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第四節(jié)　變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計案例 [考綱傳真]　1.會作兩個相關(guān)變量的數(shù)據(jù)的散點圖，會利用散點圖認(rèn)識變量間的相關(guān)關(guān)系.2.了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程.3.了解獨立性檢驗的基本思想、方法及其初步應(yīng)用.4.了解回歸分析的基本思想、方法及簡單應(yīng)用． 1．相關(guān)性 (1)線性相關(guān) 若兩個變量x和y的散點圖中，所有點看上去都在一條直線附近波動，則稱變量間是線性相關(guān)的． (2)非線性相關(guān) 若所有點看上去都在某條曲線(不是一條直線)附近波動，則稱此相關(guān)為非線性相關(guān)的． (3)不相關(guān) 如果所有的點在散點圖中沒有顯示任何關(guān)系，則稱變量間是不相關(guān)的．

2、 2．最小二乘估計 (1)最小二乘法 如果有n個點(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)可以用下面的表達(dá)式來刻畫這些點與直線y＝a＋bx的接近程度：[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[yn－(a＋bxn)]2. 使得上式達(dá)到最小值的直線y＝a＋bx就是我們所要求的直線，這種方法稱為最小二乘法． (2)線性回歸方程 方程y＝bx＋a是兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的線性回歸方程，其中a，b是待定參數(shù)． 3．回歸分析 (1)定義：對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進(jìn)行統(tǒng)計分析的一種常用方法．

3、(2)樣本點的中心 對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中，(，)稱為樣本點的中心． (3)相關(guān)系數(shù)r ①r＝； ②當(dāng)r>0時，稱兩個變量正相關(guān)． 當(dāng)r<0時，稱兩個變量負(fù)相關(guān)． 當(dāng)r＝0時，稱兩個變量線性不相關(guān)． 4．獨立性檢驗 若一個2×2列聯(lián)表為： 　　　　B　 A　　　　 B1 B2 總計 A1 a b a＋b A2 c d c＋d 總計 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d 則統(tǒng)計量χ2為： χ2＝. (1)當(dāng)χ2≤2.706時，可以認(rèn)為變量A，B是沒有關(guān)聯(lián)的； (2)當(dāng)χ2>2.70

4、6時，有90%的把握判定變量A，B有關(guān)聯(lián)； (3)當(dāng)χ2>3.841時，有95%的把握判定變量A，B有關(guān)聯(lián)； (4)當(dāng)χ2>6.635時，有99%的把握判定變量A，B有關(guān)聯(lián)． 1．線性回歸方程y＝bx＋a一定過樣本點的中心(，)． 2．由回歸直線求出的數(shù)據(jù)是估算值，不是精確值． [基礎(chǔ)自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)“名師出高徒”可以解釋為教師的教學(xué)水平與學(xué)生的水平成正相關(guān)關(guān)系． (　　) (2)某同學(xué)研究賣出的熱飲杯數(shù)y與氣溫x(℃)之間的關(guān)系，得回歸方程y＝－2.352x＋147.767，則氣溫為2℃時，一定可賣出1

5、43杯熱飲． (　　) (3)因為由任何一組觀測值都可以求得一個線性回歸方程，所以沒有必要進(jìn)行相關(guān)性檢驗． (　　) (4)若事件A，B關(guān)系越密切，則由觀測數(shù)據(jù)計算得到的χ2的值越小． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2.(教材改編)為調(diào)查中學(xué)生近視情況，測得某校男生150名中有80名近視，在140名女生中有70名近視．在檢驗這些學(xué)生眼睛近視是否與性別有關(guān)時，用下列哪種方法最有說服力(　　) A．回歸分析　　　 B．均值與方差 C．獨立性檢驗 D．概率 C　[“近視”與“性別”是兩類變量，其是否有關(guān)，應(yīng)用獨立性檢驗判斷．] 3．(教材改編)已知變量x

6、與y正相關(guān)，且由觀測數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)＝3，＝3.5，則由該觀測數(shù)據(jù)算得的線性回歸方程可能是(　　) A．y＝0.4x＋2.3 B．y＝2x－2.4 C．y＝－2x＋9.5 D．y＝－0.3x＋4.4 A　[因為變量x和y正相關(guān)，排除選項C，D．又樣本中心(3,3.5) 在回歸直線上，排除B，選項A滿足．] 4．下面是2×2列聯(lián)表：則表中a，b的值分別為(　　) y1 y2 合計 x1 a 21 73 x2 22 25 47 合計 b 46 120 A．94,72 B．52,50 C．52,74 D．74,52 C　[∵a＋21＝73，∴a＝52

7、.又a＋22＝b，∴b＝74.] 5．某校為了研究學(xué)生的性別和對待某一活動的態(tài)度(支持和不支持兩種態(tài)度)的關(guān)系，運用2×2列聯(lián)表進(jìn)行獨立性檢驗，經(jīng)計算χ2＝7.069，則所得到的統(tǒng)計學(xué)結(jié)論是：有多少的把握認(rèn)為“學(xué)生性別與支持該活動有關(guān)系”． (　　) 附： P(χ2≥x0) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 x0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 A．0.1%　　　B．1% C．99%　　　D．99.9% C　[因為7.069與附表中的6.635最接近，所以得到的統(tǒng)計學(xué)結(jié)論是：有1－0.010＝0.99＝9

8、9%的把握認(rèn)為“學(xué)生性別與支持該活動有關(guān)系”．] 相關(guān)關(guān)系的判斷 1．已知變量x和y滿足關(guān)系y＝－0.1x＋1，變量y與z正相關(guān)．下列結(jié)論中正確的是(　　) A．x與y正相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān) B．x與y正相關(guān)，x與z正相關(guān) C．x與y負(fù)相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān) D．x與y負(fù)相關(guān)，x與z正相關(guān) C　[因為y＝－0.1x＋1的斜率小于0，故x與y負(fù)相關(guān)．因為y與z正相關(guān)，可設(shè)z＝by＋a，b＞0，則z＝by＋a＝－0.1bx＋b＋a，故x與z負(fù)相關(guān)．] 2．(2019·廣州模擬)根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國二氧化硫排放量(單位：萬噸)的條形統(tǒng)計圖. 以下結(jié)論不正確的是

9、(　　) A．逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著 B．2007年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效 C．2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢 D．2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關(guān) D　[從2006年，將每年的二氧化硫排放量與前一年作差比較，得到2008年二氧化硫排放量與2007年排放量的差最大，A選項正確； 2007年二氧化硫排放量較2006年降低了很多，B選項正確； 雖然2011年二氧化硫排放量較2010年多一些，但自2006年以來，整體呈遞減趨勢，C選項正確； 自2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份負(fù)相關(guān)，D選項錯

10、誤， 故選D．] 3．(2019·日照模擬)變量X與Y相對應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)，變量U與V相對應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r1表示變量Y與X之間的線性相關(guān)系數(shù)，r2表示變量V與U之間的線性相關(guān)系數(shù)，則(　　) 參考公式：線性相關(guān)系數(shù)r＝ A．r2＜r1＜0　　 B．0＜r2＜r1 C．r2＜0＜r1 D．r1＝r2 C　[由己知中的數(shù)據(jù)可知： 第一組數(shù)據(jù)正相關(guān)，則相關(guān)系數(shù)大于零， 第二組數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)，則相關(guān)系數(shù)小于零，故選C．] [規(guī)律方

11、法]　判定兩個變量正、負(fù)相關(guān)性的方法 (1)畫散點圖：點的分布從左下角到右上角，兩個變量正相關(guān)；點的分布從左上角到右下角，兩個變量負(fù)相關(guān)． (2)相關(guān)系數(shù)：r>0時，正相關(guān)；r＜0時，負(fù)相關(guān)． (3)線性回歸方程中：b>0時，正相關(guān)；b<0時，負(fù)相關(guān)． 線性回歸分析及應(yīng)用 【例1】　(2018·全國卷Ⅱ)如圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y(單位：億元)的折線圖． 為了預(yù)測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了y與時間變量t的兩個線性回歸模型．根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1,2，…，17)建立模型①：y＝－30.

12、4＋13.5t；根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1,2，…，7)建立模型②：y＝99＋17.5t. (1)分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值； (2)你認(rèn)為用哪個模型得到的預(yù)測值更可靠？并說明理由． [解]　(1)利用模型①，可得該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為y＝－30.4＋13.5×19＝226.1(億元)． 利用模型②，可得該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為 y＝99＋17.5×9＝256.5(億元)． (2)利用模型②得到的預(yù)測值更可靠． 理由如下： (i)從折線圖可以看出，2000年至20

13、16年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點沒有隨機(jī)散布在直線y＝－30.4＋13.5t上下，這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢，2010年相對2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加，2010年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點位于一條直線的附近，這說明從2010年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢，利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型y＝99＋17.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢，因此利用模型②得到的預(yù)測值更可靠． (ⅱ)從計算結(jié)果看，相對于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元，由模型①得到的預(yù)測值2

14、26.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預(yù)測值的增幅比較合理，說明利用模型②得到的預(yù)測值更可靠． [規(guī)律方法]　線性回歸分析問題的類型及解題方法 (1)求線性回歸方程： ①利用公式，求出回歸系數(shù)b，a. ②待定系數(shù)法：利用回歸直線過樣本點中心求系數(shù)． (2)利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測： 把回歸直線方程看作一次函數(shù)，求函數(shù)值． (3)利用回歸直線判斷正、負(fù)相關(guān)： 決定正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)的是系數(shù)b. (2016·全國卷Ⅲ)如圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量(單位：億噸)的折線圖． 注：年份代碼1～7分別對應(yīng)年份2008～2014 (1)由折線圖看出，可用

15、線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明； (2)建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01)，預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量． 附注： 參考數(shù)據(jù)：yi＝9.32，tiyi＝40.17，＝0.55，≈2.646. 參考公式：相關(guān)系數(shù)r＝， 回歸方程y＝a＋bt中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：b＝，a＝－b. [解]　(1)由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得 ＝4， (ti－)2＝28，＝0.55， (ti－)(yi－)＝tiyi－yi＝40.17－4×9.32＝2.89， r≈≈0.99. 因為y與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，說明y與t的線性相關(guān)程度

16、相當(dāng)高，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系． (2)由＝≈1.331及(1)得 b＝＝≈0.103， a＝－b≈1.331－0.103×4≈0.92. 所以，y關(guān)于t的回歸方程為y＝0.92＋0.10t. 將2016年對應(yīng)的t＝9代入回歸方程得 y＝0.92＋0.10×9＝1.82. 所以預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量將約為1.82億噸． 獨立性檢驗及應(yīng)用 【例2】　(2017·全國卷Ⅱ)海水養(yǎng)殖場進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比，收獲時各隨機(jī)抽取了100個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：kg)，其頻率分布直方圖如下：

17、(1)記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg”，估計A的概率； (2)填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)； 箱產(chǎn)量＜50 kg 箱產(chǎn)量≥50 kg 舊養(yǎng)殖法 新養(yǎng)殖法 (3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，對這兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進(jìn)行比較． 附： P(χ2≥x0) 0.050 0.010 0.001 x0 3.841 6.635 10.828， χ2＝. [解]　(1)舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg的頻率為 (0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62. 因此，事件

18、A的概率估計值為0.62. (2)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表 箱產(chǎn)量<50 kg 箱產(chǎn)量≥50 kg 舊養(yǎng)殖法 62 38 新養(yǎng)殖法 34 66 則χ2＝≈15.705. 由于15.705＞6.635，故有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)． (3)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖表明：新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量平均值(或中位數(shù))在50 kg到55 kg之間，舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量平均值(或中位數(shù))在45 kg到50 kg之間，且新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程度較舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程度高，因此，可以認(rèn)為新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量較高且穩(wěn)定，從而新養(yǎng)殖法優(yōu)于舊養(yǎng)殖法． [規(guī)律方法]　獨立性

19、檢驗的一般步驟 (1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表； (2)根據(jù)公式χ2＝，計算χ2的值； (3)查表比較χ2與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計判斷． (2019·合肥質(zhì)檢)某校在高一年級學(xué)生中，對自然科學(xué)類、社會科學(xué)類校本選修課程的選課意向進(jìn)行調(diào)查．現(xiàn)從高一年級學(xué)生中隨機(jī)抽取180名學(xué)生，其中男生105名；在這180名學(xué)生中選擇社會科學(xué)類的男生、女生均為45名． (1)試問：從高一年級學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，抽到男生的概率約為多少？ (2)根據(jù)抽取的180名學(xué)生的調(diào)查結(jié)果，完成下面的2×2列聯(lián)表．并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為科類的選擇與性別有關(guān)？ 選擇自然科學(xué)

20、類 選擇社會科學(xué)類 合計 男生 女生 合計 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. P(χ2 ≥x0) 0.500 0.400 0.250 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 x0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 [解]　(1)從高一年級學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，抽到男生的概率約為＝. (2)根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，可得2×2列聯(lián)表如下： 選擇自然科學(xué)類 選擇社會

21、科學(xué)類 合計 男生 60 45 105 女生 30 45 75 合計 90 90 180 則χ2＝＝≈5.142 9＞5.024， 所以能在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為科類的選擇與性別有關(guān). (2018·全國卷Ⅲ)某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動，提出了完成某項生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式．為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20人，第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式．根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時間(單位：min)繪制了如下莖葉圖： (1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明

22、理由； (2)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)m，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間超過m和不超過m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表： 超過m 不超過m 第一種生產(chǎn)方式 第二種生產(chǎn)方式 (3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？ 附：χ2＝， P(χ2≥x0) 0.050 0.010 0.001 x0 3.841 6.635 10.828 [解]　(1)第二種生產(chǎn)方式的效率更高． 理由如下： (ⅰ)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間至少80分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人中，有7

23、5%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間至多79分鐘．因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高． (ⅱ)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)為85.5分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)為73.5分鐘．因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高． (ⅲ)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時間高于80分鐘；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時間低于80分鐘．因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高． (ⅳ)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布在莖8上的最多，關(guān)于莖8大致呈對稱分布；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布在莖7上的最多，關(guān)于莖7大致呈對稱分布．又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布的區(qū)間相同，故可以認(rèn)為用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時間更少．因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高． (以上給出了4種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分．) (2)由莖葉圖知m＝＝80. 列聯(lián)表如下： 超過m 不超過m 第一種生產(chǎn)方式 15 5 第二種生產(chǎn)方式 5 15 (3)由于χ2＝＝10>6.635，所以有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異． - 12 -