《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第7章 立體幾何初步 第1節(jié) 空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖教學(xué)案 文（含解析）北師大版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第7章 立體幾何初步 第1節(jié) 空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖教學(xué)案 文（含解析）北師大版（12頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第一節(jié)　空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖 [考綱傳真]　1.認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu).2.能畫(huà)出簡(jiǎn)單空間圖形(長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡(jiǎn)易組合)的三視圖，能識(shí)別上述三視圖所表示的立體模型，會(huì)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出它們的直觀圖.3.會(huì)用平行投影方法畫(huà)出簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式． 1．旋轉(zhuǎn)體的形成 幾何體 旋轉(zhuǎn)圖形 旋轉(zhuǎn)軸 圓柱 矩形 任一邊所在的直線 圓錐 直角三角形 任一直角邊所在的直線 圓臺(tái) 直角梯形 垂直于底邊的腰所在的直線 球 半圓 直徑所在的直線

2、2.多面體的結(jié)構(gòu)特征 3．直觀圖 (1)畫(huà)法：常用斜二測(cè)畫(huà)法． (2)規(guī)則： ①在已知圖形中建立直角坐標(biāo)系xOy，畫(huà)直觀圖時(shí)，它們分別對(duì)應(yīng)x′軸和y′軸，兩軸交于點(diǎn)O′，使∠x(chóng)′O′y′＝45°，它們確定的平面表示水平平面； ②已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫(huà)成平行于x′軸和y′軸的線段； ③已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變；平行于y軸的線段，長(zhǎng)度為原來(lái)的. 4．三視圖 (1)三視圖的畫(huà)法規(guī)則： 主、俯視圖長(zhǎng)對(duì)正，主、左視圖高平齊；俯、左視圖寬相等，前后對(duì)應(yīng)． (2)畫(huà)簡(jiǎn)單組合體的三視圖應(yīng)注意的兩個(gè)問(wèn)題： ①首先，確定主視、

3、俯視、左視的方向，同一物體放置的位置不同，所畫(huà)的三視圖可能不同． ②其次，簡(jiǎn)單組合體是由哪幾個(gè)基本幾何體組成的，并注意它們的組成方式，特別是它們的交線位置． 1．按照斜二測(cè)畫(huà)法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形面積的關(guān)系如下． S直觀圖＝S原圖形，S原圖形＝2S直觀圖． 2．常見(jiàn)旋轉(zhuǎn)體的三視圖 (1)球的三視圖都是半徑相等的圓． (2)水平放置的圓錐的正視圖和側(cè)視圖均為全等的等腰三角形． (3)水平放置的圓臺(tái)的正視圖和側(cè)視圖均為全等的等腰梯形． (4)水平放置的圓柱的正視圖和側(cè)視圖均為全等的矩形． 3．正棱柱、正棱錐的結(jié)構(gòu)特征 (1)正棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做

4、直棱柱，底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多邊形，側(cè)棱垂直于底面，側(cè)面是矩形． (2)正棱錐：底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面正多邊形的中心的棱錐叫做正棱錐．特別地，各棱均相等的正三棱錐叫正四面體． [基礎(chǔ)自測(cè)] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱． (　　) (2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐． (　　) (3)夾在兩個(gè)平行的平面之間，其余的面都是梯形，這樣的幾何體一定是棱臺(tái)． (　　) (4)正方體、球、圓錐各自的三視圖中，三視圖均相

5、同． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．(教材改編)如圖所示，長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′，則剩下的幾何體是(　　) A．棱臺(tái)　　　 B．四棱柱 C．五棱柱 D．簡(jiǎn)單組合體 C　[由幾何體的結(jié)構(gòu)特征，剩下的幾何體為五棱柱．] 3．下列說(shuō)法正確的是(　　) A．相等的角在直觀圖中仍然相等 B．相等的線段在直觀圖中仍然相等 C．正方形的直觀圖是正方形 D．若兩條線段平行，則在直觀圖中對(duì)應(yīng)的兩條線段仍然平行 D　[根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則知，A，B，C均不正確，故選D．] 2．某空間幾何體的正視圖是三角形，則

6、該幾何體不可能是(　　) A．圓柱　　　　　　　 B．圓錐 C．四面體 D．三棱柱 A　[由三視圖知識(shí)知圓錐、四面體、三棱柱(放倒看)都能使其正視圖為三角形，而圓柱的正視圖不可能為三角形．] 5．以邊長(zhǎng)為1的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該正方形旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱的側(cè)面積等于________． 2π　[由題意得圓柱的底面半徑r＝1，母線l＝1， 所以圓柱的側(cè)面積S＝2πrl＝2π.] 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征 1．給出下列命題： (1)棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形； (2)若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則其三個(gè)側(cè)面也兩兩垂直； (3)在四棱柱中，若兩個(gè)

7、過(guò)相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱； (4)存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體； (5)棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后交于一點(diǎn)． 其中正確命題的個(gè)數(shù)為(　　) A．2　　 B．3　　　　C．4　　　　D．5 C　[(1)不正確，根據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，但不一定全等；(2)正確，若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則三個(gè)側(cè)面構(gòu)成的三個(gè)平面的二面角都是直二面角；(3)正確，因?yàn)閮蓚€(gè)過(guò)相對(duì)側(cè)棱的截面的交線平行于側(cè)棱，又垂直于底面；(4)正確，如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中的三棱錐C1-ABC，四個(gè)面都是直角三角形；(5)正確，由棱臺(tái)的概念可知．] 2．以下

8、命題： (1)以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐； (2)以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)； (3)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓； (4)一個(gè)平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)． 其中正確命題的個(gè)數(shù)為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 B　[命題(1)錯(cuò)，因?yàn)檫@條邊若是直角三角形的斜邊，則得不到圓錐；命題(2)錯(cuò)，因?yàn)檫@條腰必須是垂直于兩底的腰；命題(3)對(duì)；命題(4)錯(cuò)，必須用平行于圓錐底面的平面截圓錐才可以．] 3．下列結(jié)論正確的是 (　　) A．各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐 B．以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸

9、，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐 C．棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)相等，則此棱錐可能是六棱錐 D．圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任意一點(diǎn)的連線都是母線 D　[A錯(cuò)誤．如圖①所示，由兩個(gè)結(jié)構(gòu)相同的三棱錐疊放在一起構(gòu)成的幾何體，各面都是三角形，但它不是棱錐． 圖①　　　　圖② B錯(cuò)誤．如圖2，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊所在直線，所得的幾何體都不是圓錐． C錯(cuò)誤．由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，側(cè)棱長(zhǎng)必然要大于底面邊長(zhǎng)．D正確．] [規(guī)律方法]　解決與空間幾何體結(jié)構(gòu)特征有關(guān)問(wèn)題的技巧 (1)關(guān)于空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征辨析關(guān)鍵是緊扣各種空間幾

10、何體的概念，要善于通過(guò)舉反例對(duì)概念進(jìn)行辨析，即要說(shuō)明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的，只需舉一個(gè)反例即可． (2)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的有關(guān)元素都集中在軸截面上，解題時(shí)要注意用好軸截面中各元素的關(guān)系． (3)棱(圓)臺(tái)是由棱(圓)錐截得的，所以在解決棱(圓)臺(tái)問(wèn)題時(shí)，要注意“還臺(tái)為錐”的解題策略． 空間幾何體的三視圖 ?考法1　已知幾何體，識(shí)別三視圖 【例1】　(1)(2018·全國(guó)卷Ⅲ)中國(guó)古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來(lái)．構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是(　　)

11、 (2)一個(gè)三棱錐的主視圖和俯視圖如圖所示，則該三棱錐的側(cè)視圖可能為(　　) (1)A　(2)D　[(1)由題意可知，咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件如圖所示，其俯視圖為選項(xiàng)A中的圖形． (2)由題圖可知，該幾何體為如圖所示的三棱錐，其中平面ACD⊥平面BCD，故選D．] ?考法2　已知三視圖，判斷幾何體 【例2】　(1)(2018·北京高考)某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為(　　) A．1　　 B．2　　　　C．3　　　　D．4 (2)(2019·鄭州模擬)某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)為_(kāi)_

12、______． (1)C　(2)2　[(1)在正方體中作出該幾何體的直觀圖，記為四棱錐P-ABCD，如圖，由圖可知在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為3，故選C． (2)由三視圖可知該三棱錐的底面是斜邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，有一條長(zhǎng)度為2的側(cè)棱垂直于底面，所以三條側(cè)棱長(zhǎng)分別是2，，2.故該三棱錐中最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)為2.] ?考法3　已知三視圖中的兩個(gè)視圖，判斷另一個(gè)視圖 【例3】　(1)一個(gè)長(zhǎng)方體去掉一個(gè)小長(zhǎng)方體，所得幾何體的主視圖與左視圖分別如圖所示，則該幾何體的俯視圖為(　　) (2)(2018·衡水模擬)如圖，某幾何體的主視圖與左視圖都是邊長(zhǎng)為1的正方形，且體

13、積為，則該幾何體的俯視圖可以是 (　　) (1)C　(2)C　[(1)由三視圖中的主、左視圖得到幾何體的直觀圖如圖所示，所以該幾何體的俯視圖為C． (2)由該幾何體的主視圖和左視圖可知該幾何體是柱體，且其高為1，由其體積是，可知該幾何體的底面積是，由圖知A的面積是1，B的面積是，C的面積是，D的面積是，故選C．] [規(guī)律方法]　1.已知幾何體，識(shí)別三視圖的技巧 已知幾何體畫(huà)三視圖時(shí)，可先找出各個(gè)頂點(diǎn)在投影面上的投影，然后再確定線在投影面上的實(shí)虛． 2．已知三視圖，判斷幾何體的技巧 (1)對(duì)柱、錐、臺(tái)、球的三視圖要熟悉． (2)明確三視圖的形成原理，“直角本由垂線生，虛線皆

14、因遮擋起”，并能結(jié)合空間想象將三視圖還原為直觀圖． (3)遵循“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”的原則． (4)對(duì)于簡(jiǎn)單組合體的三視圖，應(yīng)注意它們的交線的位置，區(qū)分好實(shí)線和虛線的不同． (1)某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐最長(zhǎng)棱棱長(zhǎng)為(　　) A．1　　　　B．　　　　C．　　　　D．2 (2)如圖，三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)均為2，且側(cè)棱AA1⊥底面ABC，其主視圖是邊長(zhǎng)為2的正方形，則此三棱柱左視圖的面積為 (　　) A． B．2 C．2 D．4 (1)C　(2)B　[(1)由三視圖可知AD＝BC＝CD＝DE＝EB＝1，AE＝A

15、C＝，AB＝.所以最長(zhǎng)棱棱長(zhǎng)為. (2)其左視圖為一矩形，其寬為三棱柱底面正三角形的高．所以面積S＝2.] 空間幾何體的直觀圖 【例4】　(1)已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a，那么△ABC的平面直觀圖△A′B′C′的面積為(　　) A．a(chǎn)2 B．a(chǎn)2 C．a(chǎn)2 D．a(chǎn)2 (2)如圖，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，則原圖形是(　　) A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．一般的平行四邊形 (1)D　(2)C　[(1)如圖①②所示的實(shí)際圖形和直觀圖， 由圖②可知，A′B′＝AB＝a，O′

16、C′＝OC＝a， 在圖②中作C′D′⊥A′B′于D′，則C′D′＝O′C′＝a， 所以S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×a×a＝a2，故選D． (2)如圖，在原圖形OABC中，應(yīng)有OD＝2O′D′＝2×2＝4(cm)，CD＝C′D′＝2 cm. 所以O(shè)C＝＝＝6(cm)， 所以O(shè)A＝OC，故四邊形OABC是菱形，故選C．] [規(guī)律方法]　1.用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)直觀圖的技巧 在原圖形中與x軸或y軸平行的線段在直觀圖中與x′軸或y′軸平行，原圖中不與坐標(biāo)軸平行的直線段可以先畫(huà)出線段的端點(diǎn)再連線，原圖中的曲線段可以通過(guò)取一些關(guān)鍵點(diǎn)，作出在直觀圖中的相應(yīng)點(diǎn)后，用平滑的曲線連接而畫(huà)出

17、． 2．平面圖形直觀圖與原圖形面積間的關(guān)系 對(duì)于幾何體的直觀圖，除掌握斜二測(cè)畫(huà)法外，記住原圖形面積S與直觀圖面積S′之間的關(guān)系S′＝S，能更快捷地進(jìn)行相關(guān)問(wèn)題的計(jì)算． (1)(2018·襄陽(yáng)模擬)如圖所示，直觀圖四邊形A′B′C′D′是一個(gè)底角為45°，腰和上底均為1的等腰梯形，那么原平面圖形的面積是________． (2)如圖正方形OABC的邊長(zhǎng)為1 cm，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長(zhǎng)是________cm. (1)2＋　(2)8　[(1)把直觀圖還原為平面圖形得： 在直角梯形ABCD中，AB＝2，BC＝＋1，AD＝1， 所以面積為(2

18、＋)×2＝2＋. (2)由題意知正方形OABC的邊長(zhǎng)為1，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，所以O(shè)B＝ cm，對(duì)應(yīng)原圖形平行四邊形的高為2 cm，所以原圖形中，OA＝BC＝1 cm，AB＝OC＝＝3 cm，故原圖形的周長(zhǎng)為2×(1＋3)＝8 cm.] 1．(2018·全國(guó)卷Ⅰ)某圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16，其三視圖如圖．圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為(　　) A．2　　　　 B．2 C．3 D．2 B　[設(shè)過(guò)點(diǎn)M的高與圓柱的下底面交于點(diǎn)O，將圓柱沿MO

19、剪開(kāi)，則M，N的位置如圖所示，連接MN，易知OM＝2，ON＝4，則從M到N的最短路徑為＝＝2.] 2．(2017·全國(guó)卷Ⅰ)某多面體的三視圖如圖所示，其中正(主)視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長(zhǎng)為2，俯視圖為等腰直角三角形．該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為(　　) A．10　 B．12　　　C．14　　　D．16 B　[觀察三視圖可知該多面體是由直三棱柱和三棱錐組合而成的，且直三棱柱的底面是直角邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為2.三棱錐的底面是直角邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，高為2，如圖所示．因此該多面體各個(gè)面中有2個(gè)梯形，且這兩個(gè)梯形全等，梯形的上底長(zhǎng)為2，下底長(zhǎng)為4，高為2，故這些梯形的面積之和為2××(2＋4)×2＝12.故選B．] - 12 -