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2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 圓錐曲線與方程章末復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教B版選修1-1

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1、第2章 圓錐曲線與方程 圓錐曲線定義的應(yīng)用 【例1】 (1)已知F是雙曲線-=1的左焦點(diǎn),點(diǎn)A(1,4),P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn),則|PF|+|PA|的最小值為(  ) A.9 B.5 C.8 D.4 (2)若點(diǎn)M(1,2),點(diǎn)C是橢圓+=1的右焦點(diǎn),點(diǎn)A是橢圓的動(dòng)點(diǎn),則|AM|+|AC|的最小值是________. (1)A (2)8-2 [(1)設(shè)右焦點(diǎn)為F′,則F′(4,0),依題意,有|PF|=|PF′|+4,∴|PF|+|PA|=|PF′|+|PA|+4≥|AF′|+4=5+4=9. (2)設(shè)點(diǎn)B為橢圓的左焦點(diǎn),則B(-3,0),點(diǎn)M(1,2)

2、在橢圓內(nèi),那么|BM|+|AM|+|AC|≥|AB|+|AC|=2a, 所以|AM|+|AC|≥2a-|BM|, 而a=4,|BM|==2, 所以(|AM|+|AC|)min=8-2.] 研究有關(guān)點(diǎn)間的距離的最值問題時(shí),常用定義把曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到另一焦點(diǎn)的距離或利用定義把曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離,再結(jié)合幾何圖形利用幾何意義去解決有關(guān)的最值問題. 提醒:應(yīng)用定義解決問題時(shí),需緊扣其內(nèi)涵,注意限制條件是否成立,然后得到相應(yīng)的結(jié)論. 1.以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A,B兩點(diǎn),交C的準(zhǔn)線于D,E兩點(diǎn).已知|AB|=4,|DE|=2,則

3、C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為(  ) A.2   B.4   C.6  D.8 B [設(shè)拋物線的方程為y2=2px(p>0),圓的方程為x2+y2=r2. ∵|AB|=4,|DE|=2, 拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-, ∴不妨設(shè)A,D. ∵點(diǎn)A,D在圓x2+y2=r2上, ∴∴+8=+5,∴p=4(負(fù)值舍去). ∴C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4.] 圓錐曲線性質(zhì)的應(yīng)用 【例2】 (1)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),F(xiàn)是橢圓C:+=1(a>b>0)的左焦點(diǎn),A,B分別為C的左、右頂點(diǎn).P為C上一點(diǎn),且PF⊥x軸.過點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M,與y軸交于點(diǎn)E.若直線BM經(jīng)過OE的中點(diǎn),則C的離

4、心率為(  ) A. B. C. D. (2)已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的離心率e=,點(diǎn)A(0,1)與雙曲線上的點(diǎn)的最小距離是,求雙曲線方程. (1)A [如圖所示,由題意得A(-a,0),B(a,0),F(xiàn)(-c,0). 由PF⊥x軸得P. 設(shè)E(0,m),又PF∥OE,得=, 則|MF|=. ① 又由OE∥MF,得=, 則|MF|=. ② 由①②得a-c=(a+c),即a=3c, ∴e==. 故選A.] (2)∵e==,∴=,∴a2=4b2,設(shè)雙曲線-=1上一點(diǎn)B(x,y),則|AB|2=x2+(y-1)2=4b2+4y2+(y-1)2=5y2-

5、2y+4b2+1=5+4b2+.當(dāng)y=時(shí),|AB|取得最小值,為,即=,∴b2=1,雙曲線方程為-y2=1. 圓錐曲線的性質(zhì)綜合性強(qiáng),需弄清每個(gè)性質(zhì)的真正內(nèi)涵,然后正確地應(yīng)用到解題中去. 2.若橢圓+=1(a>b>0)上存在一點(diǎn)M,使得∠F1MF2=90°(F1,F(xiàn)2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)),求橢圓的離心率e的取值范圍. [解] 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(x0,y0),則 消去y0,得x=. 因?yàn)?≤x≤a2,所以 由①,得c2≥b2,即c2≥a2-c2, 所以a2≤2c2,所以e2=≥. 又0

6、的離心率e的取值范圍是. 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題 【例3】 已知直線l:x=my+1(m≠0)恒過橢圓C:+=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)F,且交橢圓C于A,B兩點(diǎn). (1)若拋物線x2=4y的焦點(diǎn)為橢圓C的上頂點(diǎn),求橢圓C的方程; (2)對(duì)于(1)中的橢圓C,若直線l交y軸于點(diǎn)M,且=λ1,=λ2, 當(dāng)m變化時(shí),求λ1+λ2的值. [解] (1)根據(jù)題意,直線l:x=my+1(m≠0)過橢圓C:+=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)F, ∴F(1,0),∴c=1, 又∵拋物線x2=4y的焦點(diǎn)為橢圓C的上頂點(diǎn), ∴b=,∴b2=3.∴a2=b2+c2=4, ∴橢圓C的方程為+

7、=1. (2)∵直線l與y軸交于M, 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由 得(3m2+4)y2+6my-9=0,Δ=144(m2+1)>0, ∴y1+y2=-,y1y2=-, ∴+=(*), 又由=λ1,∴=λ1(1-x1,-y1), ∴λ1=-1-, 同理λ2=-1-, ∴λ1+λ2=-2-=-2-=-, ∴λ1+λ2=-. 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,主要涉及判定直線與圓錐曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)、求弦長(zhǎng)、最值等問題,它是圓錐曲線的定義、性質(zhì)與直線的基礎(chǔ)知識(shí)的綜合應(yīng)用,涉及數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系主要有:(1)有關(guān)直線與圓錐

8、曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題,應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合;(2)有關(guān)弦長(zhǎng)問題,應(yīng)注意運(yùn)用弦長(zhǎng)公式及根與系數(shù)的關(guān)系;(3)有關(guān)垂直問題,要注意運(yùn)用斜率關(guān)系及根與系數(shù)的關(guān)系,設(shè)而不求,簡(jiǎn)化運(yùn)算. 3.如圖所示,在直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P到拋物線C:y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線的距離為.點(diǎn)M(t,1)是C上的定點(diǎn),A,B是C上的兩動(dòng)點(diǎn),且線段AB的中點(diǎn)Q(m,n)在直線OM上. (1)求曲線C的方程及t的值; (2)記d=,求d的最大值. [解] (1)y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線為x=-, ∴1-=,p=, ∴拋物線C的方程為y2=x. 又點(diǎn)M(t,1)在曲線C上,∴t=1. (2)由

9、(1)知,點(diǎn)M(1,1),從而n=m,即點(diǎn)Q(m,m), 依題意,直線AB的斜率存在,且不為0,設(shè)直線AB的斜率為k(k≠0), 且A(x1,y1),B(x2,y2), 由得(y1-y2)(y1+y2)=x1-x2, 故k·2m=1, ∴直線AB的方程為y-m=(x-m), 即x-2my+2m2-m=0. 由消去x, 整理得y2-2my+2m2-m=0, ∴Δ=4m-4m2>0,y1+y2=2m,y1y2=2m2-m. 從而|AB|=·|y1-y2| =· =2. ∴d==2≤m+(1-m)=1, 當(dāng)且僅當(dāng)m=1-m,即m=時(shí),上式等號(hào)成立, 又m=滿足Δ=4m-

10、4m2>0. ∴d的最大值為1. 數(shù)學(xué)思想在圓錐曲線中的應(yīng)用 【例4】 已知定點(diǎn)F(0,1)和直線l1:y=-1,過定點(diǎn)F與直線l1相切的動(dòng)圓的圓心為點(diǎn)C. (1)求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程; (2)過點(diǎn)F的直線l2交軌跡于兩點(diǎn)P,Q,交直線l1于點(diǎn)R,求·的最小值. [解] (1)由題設(shè)知點(diǎn)C到點(diǎn)F的距離等于它到l1的距離, ∴點(diǎn)C的軌跡是以F為焦點(diǎn),l1為準(zhǔn)線的拋物線, ∴動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程為x2=4y. (2)由題意知,直線l2的方程可設(shè)為y=kx+1(k≠0), 與拋物線方程聯(lián)立消去y,得x2-4kx-4=0. 設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則x1+x2=4k

11、,x1x2=-4. 又易得點(diǎn)R的坐標(biāo)為, ∴· =· =+(kx1+2)(kx2+2) =(1+k2)x1x2+(x1+x2)++4 =-4(1+k2)+4k++4 =4+8. ∵k2+≥2,當(dāng)且僅當(dāng)k2=1時(shí)取等號(hào), ∴·≥4×2+8=16,即·的最小值為16. 函數(shù)與方程思想、分類討論思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想及數(shù)形結(jié)合思想在圓錐曲線的綜合問題中應(yīng)用廣泛,主要涉及最值、范圍、探索問題及曲線方程的求法等問題. 4.設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A,直線l過點(diǎn)B(1,0)且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點(diǎn),過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E. (1)求證|

12、EA|+|EB|為定值,并寫出點(diǎn)E的軌跡方程; (2)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1,直線l交C1于M,N兩點(diǎn),過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點(diǎn),求四邊形MPNQ面積的取值范圍. [解] (1)證明:因?yàn)閨AD|=|AC|,EB∥AC, 所以∠EBD=∠ACD=∠ADC, 所以|EB|=|ED|, 故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|. 又圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+y2=16,從而|AD|=4,所以|EA|+|EB|=4. 由題設(shè)得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2, 由橢圓定義可得點(diǎn)E的軌跡方程為+=1(y≠0). (2)當(dāng)l與x軸不垂直時(shí),設(shè)l的

13、方程為y=k(x-1)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2). 由得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0. 則x1+x2=,x1x2=. 所以|MN|=|x1-x2|=. 過點(diǎn)B(1,0)且與l垂直的直線m的方程為y=-(x-1),點(diǎn)A到直線m的距離為, 所以|PQ|=2=4, 故四邊形MPNQ的面積S=|MN|·|PQ|=12. 可得當(dāng)l與x軸不垂直時(shí),四邊形MPNQ面積的取值范圍為(12,8). 當(dāng)l與x軸垂直時(shí),其方程為x=1,|MN|=3,|PQ|=8,四邊形MPNQ的面積為12. 綜上,四邊形MPNQ面積的取值范圍為[12,8). - 9 -

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