《2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第3章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.4 函數(shù)的應(yīng)用（一）教學(xué)案 新人教A版必修第一冊(cè)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第3章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.4 函數(shù)的應(yīng)用（一）教學(xué)案 新人教A版必修第一冊(cè)（9頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、3.4 函數(shù)的應(yīng)用（一） (教師獨(dú)具內(nèi)容) 課程標(biāo)準(zhǔn)：1.理解函數(shù)模型是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的重要數(shù)學(xué)語(yǔ)言和工具.2.在實(shí)際情境中，能夠運(yùn)用已經(jīng)學(xué)過的一次函數(shù)、二次函數(shù)、分段函數(shù)及冪函數(shù)建立模型，解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，體會(huì)這些函數(shù)在解決實(shí)際問題中的作用． 教學(xué)重點(diǎn)：用函數(shù)模型來解決實(shí)際問題． 教學(xué)難點(diǎn)：建立函數(shù)模型. 【知識(shí)導(dǎo)學(xué)】 知識(shí)點(diǎn)　用函數(shù)模型解決實(shí)際問題的一般步驟 (1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，用函數(shù)刻畫實(shí)際問題，初步選擇模型． (2)建模：將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型． (3)求模：求解數(shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)

2、結(jié)論． (4)還原：利用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法得出的結(jié)論還原到實(shí)際問題中． 可將這些步驟用框圖表示如下： 【新知拓展】 常見的函數(shù)模型 (1)一次函數(shù)模型：即直線模型，其特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值勻速增大或減小．現(xiàn)實(shí)生活中很多事例可以用該模型來表示，例如：勻速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和位移的關(guān)系，彈簧的伸長(zhǎng)量與拉力的關(guān)系等． (2)二次函數(shù)模型：二次函數(shù)為生活中最常見的一種數(shù)學(xué)模型，因二次函數(shù)可求其最大值(或最小值)，故最優(yōu)、最省等問題常常是二次函數(shù)的模型． (3)分段函數(shù)模型：由于分段函數(shù)在不同的區(qū)間中具有不同的解析式，因此分段函數(shù)在研究條件變化的實(shí)際問題，或者在某一特定條件下的實(shí)際問題

3、中具有廣泛的應(yīng)用． 1．判一判(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)在用函數(shù)模型解決實(shí)際問題時(shí)，得到的數(shù)學(xué)問題的解就是實(shí)際問題的解．(　　) (2)現(xiàn)實(shí)生活中有很多問題都可以用分段函數(shù)來描述，如出租車計(jì)費(fèi)，個(gè)人所得稅等．(　　) (3)一根蠟燭長(zhǎng)20 cm，點(diǎn)燃后每小時(shí)燃燒5 cm，燃燒時(shí)剩下的高度h(cm)與燃燒時(shí)間t(h)的函數(shù)關(guān)系可以用一次函數(shù)模型來刻畫．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√ 2．做一做(請(qǐng)把正確的答案寫在橫線上) (1)某人從A地出發(fā)，開汽車以80千米/小時(shí)的速度經(jīng)2小時(shí)到達(dá)B地，在B地停留2小時(shí)，則汽車離開A地的距離y(單位：千米)是時(shí)間

4、t(單位：小時(shí))的函數(shù)，該函數(shù)的解析式是________． (2)有200 m長(zhǎng)的籬笆材料，如果利用已有的一面墻(假設(shè)長(zhǎng)度夠用)作為一邊，圍成一塊矩形菜地，那么矩形的長(zhǎng)為________ m，寬為________ m時(shí)，這塊菜地的面積最大． 答案　(1)y＝　(2)100　50 題型一 一次函數(shù)模型解決實(shí)際問題 例1　某服裝廠每天生產(chǎn)童裝200套或西服50套，已知每生產(chǎn)一套童裝需成本40元，可獲得利潤(rùn)22元，每生產(chǎn)一套西服需成本150元，可獲得利潤(rùn)80元．由于資金有限，該廠每月成本支出不超過23萬(wàn)元，為使贏利最大，若按每月30天計(jì)算，應(yīng)安排生產(chǎn)童裝和西服各多少天(天數(shù)為整數(shù))

5、？并求出最大利潤(rùn)． [解]　設(shè)生產(chǎn)童裝的天數(shù)為x，則生產(chǎn)西服的天數(shù)為(30－x)，每月生產(chǎn)童裝和西服的套數(shù)分別為200x和50(30－x)，每月生產(chǎn)童裝和西服的成本分別為40×200x元和150×50×(30－x)元，每月生產(chǎn)童裝和西服的利潤(rùn)分別為22×200x元和80×50×(30－x)元，則總利潤(rùn)為y＝22×200x＋80×50×(30－x)，化簡(jiǎn)得y＝400x＋120000. 注意到每月成本不超過23萬(wàn)元，則40×200x＋150×50×(30－x)≤230000，從而求出x的取值范圍是0≤x≤10，且x為整數(shù)．顯然當(dāng)x＝10時(shí)，贏利最大，最大利潤(rùn)是124000元． 金版點(diǎn)睛

6、 用一次函數(shù)模型解決實(shí)際問題的解題方法 (1)建立一次函數(shù)模型時(shí)應(yīng)先求出自變量的取值范圍； (2)根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系建立一次函數(shù)模型； (3)利用一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行求解、檢驗(yàn)． 　某列火車從北京西站開往石家莊，全程277 km.火車出發(fā)10 min開出13 km后，以120 km/h勻速行駛．試寫出火車行駛的總路程s與勻速行駛的時(shí)間t之間的關(guān)系，并求離開北京2 h時(shí)火車行駛的路程． 解　因?yàn)榛疖噭蛩龠\(yùn)動(dòng)的時(shí)間為(277－13)÷120＝(h)，所以0≤t≤.因?yàn)榛疖噭蛩傩旭倀 h所行駛路程為120t，所以，火車行駛總路程s與勻速行駛時(shí)間t之間的關(guān)系是s＝13＋12

7、0t.離開北京2 h時(shí)火車行駛的路程s＝13＋120×＝233(km). 題型二 二次函數(shù)模型解決實(shí)際問題 例2　某化工廠引進(jìn)一條先進(jìn)生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本y(萬(wàn)元)與年產(chǎn)量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系式可以近似地表示為y＝－48x＋8000，已知此生產(chǎn)線年產(chǎn)量最大為210噸．若每噸產(chǎn)品平均出廠價(jià)為40萬(wàn)元，那么當(dāng)年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，可以獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？ [解]　設(shè)可獲得總利潤(rùn)為R(x)萬(wàn)元， 則R(x)＝40x－y ＝40x－＋48x－8000 ＝－＋88x－8000 ＝－(x－220)2＋1680(0≤x≤210)． ∵R(x)在[0,210]上單調(diào)

8、遞增， ∴x＝210時(shí)， R(x)max＝－(210－220)2＋1680＝1660(萬(wàn)元)． ∴年產(chǎn)量為210噸時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)1660萬(wàn)元． 金版點(diǎn)睛 用二次函數(shù)模型解題的策略 (1)根據(jù)實(shí)際問題建立函數(shù)解析式(即二次函數(shù)關(guān)系式)． (2)利用配方法、判別式法、換元法、函數(shù)的單調(diào)性等方法求函數(shù)的最值，從而解決實(shí)際問題中的最值問題． (3)解答二次函數(shù)最值問題最好結(jié)合二次函數(shù)的圖象． 　有甲、乙兩種商品，經(jīng)營(yíng)銷售這兩種商品所獲得的利潤(rùn)依次為Q1萬(wàn)元和Q2萬(wàn)元，它們與投入的資金x萬(wàn)元的關(guān)系是Q1＝x，Q2＝.現(xiàn)有3萬(wàn)元資金投入使用，則對(duì)甲、乙兩種商品如何

9、投資才能獲得最大利潤(rùn)？ 解　設(shè)對(duì)甲種商品投資x萬(wàn)元，則對(duì)乙種商品投資(3－x)萬(wàn)元，總利潤(rùn)為y萬(wàn)元． 所以Q1＝x，Q2＝. 所以y＝x＋(0≤x≤3)， 令t＝(0≤t≤)，則x＝3－t2. 所以y＝(3－t2)＋t＝－2＋. 當(dāng)t＝時(shí)，ymax＝＝1.05(萬(wàn)元)， 即x＝＝0.75(萬(wàn)元)，所以3－x＝2.25(萬(wàn)元)． 由此可知，為獲得最大利潤(rùn)，對(duì)甲、乙兩種商品的資金投入分別為0.75萬(wàn)元和2.25萬(wàn)元，共獲得利潤(rùn)1.05萬(wàn)元. 題型三 分段函數(shù)模型解決實(shí)際問題 例3　某廠生產(chǎn)某種零件，每個(gè)零件的成本為40元，出廠單價(jià)定為60元，該廠為鼓勵(lì)銷售商訂購(gòu)，決定當(dāng)一次訂

10、購(gòu)量超過100個(gè)時(shí)，每多訂購(gòu)1個(gè)，訂購(gòu)的全部零件的出廠單價(jià)就降低0.02元，但實(shí)際出廠單價(jià)不能低于51元． (1)當(dāng)一次訂購(gòu)量為多少個(gè)時(shí)，零件的實(shí)際出廠單價(jià)恰降為51元？ (2)設(shè)一次訂購(gòu)量為x個(gè)，零件的實(shí)際出廠單價(jià)為P元，寫出函數(shù)P＝f(x)的表達(dá)式； (3)當(dāng)銷售商一次訂購(gòu)500個(gè)零件時(shí)，該廠獲得的利潤(rùn)是多少元？如果訂購(gòu)1000個(gè)，利潤(rùn)又是多少元？ (工廠售出一個(gè)零件的利潤(rùn)＝實(shí)際出廠單價(jià)－成本) [解]　(1)設(shè)每個(gè)零件的實(shí)際出廠價(jià)恰好降為51元時(shí)，一次訂購(gòu)量為x0個(gè)，則x0＝100＋＝550(個(gè))．因此，當(dāng)一次訂購(gòu)量為550個(gè)時(shí)，每個(gè)零件的實(shí)際出廠價(jià)恰好降為51元． (2)當(dāng)

11、0550時(shí)，P＝51. ∴P＝f(x)＝(x∈N)． (3)設(shè)銷售商一次訂購(gòu)量為x個(gè)時(shí)，工廠獲得的利潤(rùn)為L(zhǎng)元， 則L＝(P－40)x＝(x∈N)． 當(dāng)x＝500時(shí)，L＝6000；當(dāng)x＝1000時(shí)，L＝11000. 因此，當(dāng)銷售商一次訂購(gòu)500個(gè)零件時(shí)，該廠獲得的利潤(rùn)是6000元；如果訂購(gòu)1000個(gè)，利潤(rùn)是11000元． 金版點(diǎn)睛 用分段函數(shù)模型解決實(shí)際問題的解法 分段函數(shù)主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其當(dāng)作幾個(gè)問題，將各段的變化規(guī)律分別找出來，再將其合到一

12、起，要注意各段變量的范圍，特別是端點(diǎn)值． 　有一新款服裝在4月份(共30天)投放某專賣店銷售，日銷售量y(單位：件)關(guān)于時(shí)間n(1≤n≤30，n∈N*)(單位：天)的函數(shù)圖象如圖所示，其中函數(shù)y＝f(n)的圖象中的點(diǎn)位于斜率為5和－3的兩條直線上，兩直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，且第m天日銷售量最大． (1)求f(n)的表達(dá)式，及前m天的銷售總量； (2)按規(guī)律，當(dāng)該服裝的銷售總量超過400件時(shí)，社會(huì)上流行該服裝，而日銷售量連續(xù)下降并低于30件時(shí)，該服裝的流行會(huì)消失．試問該服裝在社會(huì)上流行的天數(shù)是否會(huì)超過10天？并說明理由． 解　(1)由圖象知，當(dāng)1≤n≤m且n∈N*時(shí)，設(shè)f

13、(n)＝5n＋b，將點(diǎn)(1,2)代入，得5＋b＝2， 解得b＝－3，則f(n)＝5n－3. 由f(m)＝57，即5m－3＝57，得m＝12. 當(dāng)12400， ∴從第14天開始銷售總量超過400件，即該服裝開始流行． 設(shè)第n天的日銷售量開始低于30件(12

14、，即f(n)＝－3n＋93<30，解得n>21. ∴從第22天開始日銷售量低于30件，即流行時(shí)間為14號(hào)至21號(hào)． ∴該服裝在社會(huì)上流行的天數(shù)不超過10天. 題型四 綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題 例4　某商品每件成本價(jià)為80元，售價(jià)為100元，每天售出100件．若售價(jià)降低x成(1成＝10%)，售出商品數(shù)量就增加x成．要求售價(jià)不能低于成本價(jià)． (1)設(shè)該商店一天的營(yíng)業(yè)額為y，試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f(x)，并寫出定義域； (2)若要求該商品一天營(yíng)業(yè)額至少為10260元，求x的取值范圍． [解]　(1)由題意得y＝100·100. 因?yàn)槭蹆r(jià)不能低于成本價(jià)，所以100－80

15、≥0，得x≤2.所以y＝f(x)＝20(10－x)(50＋8x)，定義域?yàn)閇0,2]． (2)由題意得20(10－x)(50＋8x)≥10260，化簡(jiǎn)得8x2－30x＋13≤0.解得≤x≤.所以x的取值范圍是. 金版點(diǎn)睛 對(duì)于此類實(shí)際應(yīng)用問題，應(yīng)先根據(jù)題意建立函數(shù)關(guān)系式，再解決數(shù)學(xué)問題，最后結(jié)合問題的實(shí)際意義作出回答.建立函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵. 　甲廠以x千克/小時(shí)的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品(生產(chǎn)條件要求1≤x≤10)，每小時(shí)可獲得的利潤(rùn)是100元． (1)要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時(shí)獲得的利潤(rùn)不低于3000元，求x的取值范圍； (2)要使生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤(rùn)最大，問

16、：甲廠應(yīng)該選取何種生產(chǎn)速度？并求最大利潤(rùn)． 解　(1)根據(jù)題意，得 200≥3000， 整理得5x－14－≥0，即5x2－14x－3≥0， 又1≤x≤10，可解得3≤x≤10. 即要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時(shí)獲得的利潤(rùn)不低于3000元，x的取值范圍是[3,10]． (2)設(shè)利潤(rùn)為y元，則 y＝·100＝9×104 ＝9×104， 故當(dāng)x＝6時(shí)，ymax＝457500元． 即甲廠以6千克/小時(shí)的生產(chǎn)速度生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品時(shí)獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為457500元． 1．設(shè)甲、乙兩地的距離為a(a>0)米，小王騎自行車勻速?gòu)募椎氐揭业赜昧?0分鐘，在乙地休息10分鐘后，他又

17、勻速?gòu)囊业胤祷氐郊椎赜昧?0分鐘，則小王從出發(fā)到返回原地所走過的路程y(米)和其所用的時(shí)間x(分)的函數(shù)圖象為(如下圖所示)(　　) 答案　D 解析　注意到y(tǒng)表示“小王從出發(fā)到返回原地所走過的路程”，而不是位移．故選D. 2．某學(xué)校要召開學(xué)生代表大會(huì)，規(guī)定各班每10人推選一名代表，當(dāng)各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時(shí)再增選一名代表．那么，各班可推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù)y＝[x]([x]表示不大于x的最大整數(shù))可以表示為(　　) A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 答案　B 解析　根據(jù)規(guī)定可知，當(dāng)各班人數(shù)除以10的余數(shù)分別為7,8,9時(shí)可以

18、增選一名代表，所以最小應(yīng)該加3，因此利用取整函數(shù)可表示為y＝. 3．生產(chǎn)一定數(shù)量的商品的全部費(fèi)用稱為生產(chǎn)成本，某企業(yè)一個(gè)月生產(chǎn)某種商品x萬(wàn)件時(shí)的生產(chǎn)成本為C(x)＝x2＋2x＋20(萬(wàn)元).1萬(wàn)件售價(jià)是20萬(wàn)元，若該企業(yè)生產(chǎn)的這種商品能夠全部售出，那么為獲取最大利潤(rùn)，該企業(yè)一個(gè)月應(yīng)生產(chǎn)該商品的數(shù)量為(　　) A．18萬(wàn)件 B．20萬(wàn)件 C．16萬(wàn)件 D．8萬(wàn)件 答案　A 解析　利潤(rùn)L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，當(dāng)x＝18時(shí)，L(x)有最大值．故選A. 4．某同學(xué)將父母給的零用錢按每月相等的數(shù)額存放在儲(chǔ)蓄盒內(nèi)，準(zhǔn)備捐給希望工程，盒內(nèi)原有60元，2個(gè)月后盒內(nèi)

19、有80元．則盒內(nèi)錢數(shù)y(元)與存錢月數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式為________． 答案　y＝10x＋60(x≥0) 解析　設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx＋b.因?yàn)楫?dāng)x＝0時(shí)，y＝60；當(dāng)x＝2時(shí)，y＝80，所以解得所以y＝10x＋60(x≥0)． 5．心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)概念的接受能力y與提出概念所用的時(shí)間x(單位：分)之間滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝－0.1x2＋2.6x＋43(0≤x≤30)，y值越大，表示接受能力越強(qiáng)． (1)x在什么范圍內(nèi)，學(xué)生的接受能力逐步增強(qiáng)？x在什么范圍內(nèi)，學(xué)生的接受能力逐步降低？ (2)第10分鐘時(shí)，學(xué)生的接受能力是多少？ (3)第幾分鐘時(shí)，學(xué)生的接受能力最強(qiáng)？ 解　(1)因?yàn)閥＝－0.1x2＋2.6x＋43＝－0.1(x－13)2＋59.9. 所以，當(dāng)0≤x≤13時(shí)，學(xué)生的接受能力逐步增強(qiáng)； 當(dāng)13≤x≤30時(shí)，學(xué)生的接受能力逐步下降． (2)當(dāng)x＝10時(shí)，y＝－0.1×(10－13)2＋59.9＝59， 即第10分鐘時(shí)，學(xué)生的接受能力為59. (3)當(dāng)x＝13時(shí)，y取最大值． 所以，在第13分鐘時(shí)，學(xué)生的接受能力最強(qiáng)． - 9 -