《2020版高考數(shù)學一輪復習 第2章 函數(shù)、導數(shù)及其應用 第1節(jié) 函數(shù)及其表示教學案 文（含解析）北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學一輪復習 第2章 函數(shù)、導數(shù)及其應用 第1節(jié) 函數(shù)及其表示教學案 文（含解析）北師大版（9頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第一節(jié)　函數(shù)及其表示 [考綱傳真]　1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域；了解映射的概念.2.在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒?如圖像法、列表法、解析法)表示函數(shù).3.了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應用(函數(shù)分段不超過三段)． 1．函數(shù)與映射的概念 函數(shù) 映射 兩集合A，B 設A，B是兩個非空的數(shù)集 設A，B是兩個非空的集合 對應關(guān)系f：A→B 如果按照某個對應關(guān)系f，對于集合A中任何一個數(shù)x，在集合B中都存在唯一確定的數(shù)f(x)與之對應 如果按某一個確定的對應關(guān)系f，使對于集合A中的每一個元素x，B中總有唯一一個元素y與之對應 名稱

2、 稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù) 稱f：A→B為從集合A到集合B的一個映射 記法 函數(shù)y＝f(x)，x∈A 映射：f：A→B 2.函數(shù)的有關(guān)概念 (1)函數(shù)的定義域、值域 在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，自變量x的取值范圍(數(shù)集A)叫做函數(shù)的定義域；函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域． (2)函數(shù)的三要素：定義域、對應關(guān)系和值域． (3)相等函數(shù)：如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應關(guān)系完全一致，則這兩個函數(shù)為相等函數(shù)． (4)函數(shù)的表示法 表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖像法和列表法． 3．分段函數(shù) (1)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)P(guān)系不同

3、而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)． (2)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集，分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù)． 求函數(shù)定義域的依據(jù) (1)整式函數(shù)的定義域為R； (2)分式的分母不為零； (3)偶次根式的被開方數(shù)不小于零； (4)對數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零； (5)正切函數(shù)y＝tan x的定義域為； (6)x0中x≠0； (7)實際問題中除要考慮函數(shù)解析式有意義外，還應考慮實際問題本身的要求． [基礎自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)函數(shù)是特殊

4、的映射． (　　) (2)函數(shù)y＝1與y＝x0是同一個函數(shù)． (　　) (3)與x軸垂直的直線和一個函數(shù)的圖像至多有一個交點． (　　) (4)分段函數(shù)是兩個或多個函數(shù)． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2．(教材改編)函數(shù)y＝＋的定義域為(　　) A．　　　　 B．(－∞，3)∪(3，＋∞) C．∪(3，＋∞) D．(3，＋∞) C　[由題意知解得x≥且x≠3.] 3．設函數(shù)f(x)＝則f(f(3))等于(　　) A．　 B．3 C．　 D． D　[f(3)＝，f(f(3))＝f ＝＋1＝，故選D.] 4．下列函數(shù)中，與函數(shù)y＝x＋1是相

5、等函數(shù)的是(　　) A．y＝()2 B．y＝＋1 C．y＝＋1 D．y＝＋1 B　[y＝＋1＝x＋1，且函數(shù)定義域為R，故選B．] 5．已知函數(shù)f(x)＝，若f(a)＝5，則實數(shù)a的值為________． 12　[由f(a)＝5得＝5，解得a＝12.] 求函數(shù)的定義域 【例】　(1)(2019·黃山模擬)函數(shù)y＝的定義域為(　　) A．(－2,1)　　　　 B．[－2,1] C．(0,1) D．(0,1] (2)若函數(shù)y＝f(x)的定義域為[0,2]，則函數(shù)g(x)＝的定義域是________． (3)已知函數(shù)y＝f(x2－1)的定義域為[－，]，則函數(shù)y＝f

6、(x)的定義域為________． (1)C　(2)[0,1)　(3)[－1,2]　[(1)由題意得，解得0＜x＜1，故選C． (2)由0≤2x≤2，得0≤x≤1，又x－1≠0，即x≠1， 所以0≤x<1，即g(x)的定義域為[0,1)． (3)由函數(shù)y＝f(x2－1)的定義域為[－，]得 －1≤x2－1≤2，即函數(shù)y＝f(x)的定義域為[－1,2]．] [規(guī)律方法]　常見函數(shù)定義域的類型及求解策略 (1)已知函數(shù)解析式，構(gòu)造使解析式有意義的不等式(組)求解． (2)實際問題：由實際意義及使解析式有意義構(gòu)成的不等式(組)求解． (3)抽象函數(shù)： ①若已知函數(shù)f(x)的定義域

7、為[a，b]，其復合函數(shù)f(g(x))的定義域由不等式a≤g(x)≤b求出； ②若已知函數(shù)f(g(x))的定義域為[a，b]，則f(x)的定義域為g(x)在x∈[a，b]時的值域； ③已知f[φ(x)]定義域為[m，n]，求f[h(x)]定義域，先求φ(x)值域[a，b]，令a≤h(x)≤b，解出x即可． 易錯警示：求定義域時，對解析式不要化簡，求出定義域后一定要將其寫成集合或區(qū)間形式． (1)函數(shù)f(x)＝＋lg(3x＋1)的定義域是(　　) A．　　　　 B． C． D． (2)已知函數(shù)f(2x)的定義域為[－1,1]，則f(x)的定義域為________． (1)A　(

8、2)　[(1)由題意可知解得∴－＜x＜1，故選A． (2)∵f(2x)的定義域為[－1,1]， ∴≤2x≤2，即f(x)的定義域為.] 求函數(shù)的解析式 【例2】　(1)已知f(x)是二次函數(shù)且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，則f(x)＝________. (2)已知f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，則f(x)＝________. (3)已知f(x)＋2f＝x(x≠0)，則f(x)＝________. (1)x2－x＋2　(2)x2－5x＋9　(3)－　[(1)設f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2，f(x＋1)－f(x)＝a(x

9、＋1)2＋b(x＋1)－ax2－bx＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1， ∴即∴f(x)＝x2－x＋2. (2)法一(配湊法) f(2x＋1)＝4x2－6x＋5＝(2x＋1)2－10x＋4 ＝(2x＋1)2－5(2x＋1)＋9， ∴f(x)＝x2－5x＋9. 法二(換元法) 令2x＋1＝t(t∈R)，則x＝， 所以f(t)＝4－6×＋5＝t2－5t＋9， 所以f(x)＝x2－5x＋9. (3)∵f(x)＋2f ＝x，∴f ＋2f(x)＝. 聯(lián)立方程組 解得f(x)＝－(x≠0)．] [規(guī)律方法]　求函數(shù)解析式的常用方法 (1)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型，可用待定系

10、數(shù)法； (2)換元法：已知復合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍； (3)消去法：已知關(guān)于f(x)與f 或f(－x)的表達式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個等式，通過解方程組求出f(x)； (4)配湊法：由已知條件f(g(x))＝F(x)，可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達式，然后以x替代g(x)，即得f(x)的表達式． (1)已知f(＋1)＝x＋2，則f(x)＝________. (2)已知f(x)是一次函數(shù)，且2f(x－1)＋f(x＋1)＝6x，則f(x)＝________. (3)已知函數(shù)f(x)滿足f(－x)＋2f(x)＝2x，則f(x)＝

11、________. (1)x2－1(x≥1)　(2)2x＋　(3)　[(1)(換元法)設＋1＝t(t≥1)，則＝t－1，所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，所以f(x)＝x2－1(x≥1)． (配湊法)f(＋1)＝x＋2＝(＋1)2－1， 又＋1≥1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)． (2)∵f(x)是一次函數(shù)， ∴設f(x)＝kx＋b(k≠0)， 由2f(x－1)＋f(x＋1)＝6x，得 2[k(x－1)＋b]＋k(x＋1)＋b＝6x，即3kx－k＋3b＝6x， ∴ ∴k＝2，b＝，即f(x)＝2x＋. (3)由f(－x)＋2f(x)＝2x　　　

12、　 ①， 得f(x)＋2f(－x)＝2－x ②， ①×2－②，得3f(x)＝2x＋1－2－x. 即f(x)＝. ∴f(x)的解析式為f(x)＝.] 分段函數(shù) ?考法1　求分段函數(shù)的函數(shù)值 【例3】　(1)若f(x)＝，則f ＝(　　) A．－2　 B．－3　　　 C．9　 D．－9 (2)已知函數(shù)f(x)＝，則f 的值為(　　) A．－1 B．1 C． D． (1)C　(2)B　[(1)f ＝log3＝－2， 則f ＝f(－2)＝－2＝9. (2)f ＝f ＋1＝f ＋1＋1＝2cos－π＋2＝2×＋2＝1，故選B．] ?考法2　求參數(shù)或自變量的值

13、 【例4】　(1)已知f(x)＝若f(a)＝2，則實數(shù)a的值為(　　) A．2 B．－1或2 C．±1或2 D．1或2 (2)設函數(shù)f(x)＝若f ＝4，則b＝(　　) A．1 B． C． D． (1)B　(2)D　[(1)由f(a)＝2得 或 解得a＝2或a＝－1，故選B． (2)f ＝f ＝f . 當－b＜1，即b＞時，3×－b＝4，解得b＝(舍去)．當－b≥1，即b≤時，2－b＝4，解得b＝.故選D.] ?考法3　解與分段函數(shù)有關(guān)的方程或不等式 【例5】　(1)(2019·青島模擬)設f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，則f＝(　　) A．2 B．4 C

14、．6 D．8 (2)(2017·全國卷Ⅲ)設函數(shù)f(x)＝則滿足f(x)＋f ＞1的x的取值范圍是________． (1)C　(2)　[(1)法一：當0＜a＜1時，a＋1＞1， ∴f(a)＝，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a. 由f(a)＝f(a＋1)得＝2a，∴a＝. 此時f ＝f(4)＝2×(4－1)＝6. 當a≥1時，a＋1＞1， ∴f(a)＝2(a－1)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a. 由f(a)＝f(a＋1)得2(a－1)＝2a，無解． 綜上，f ＝6，故選C． 法二：∵當0＜x＜1時，f(x)＝，為增函數(shù)， 當x≥1時，f(x)＝2(x－1)，為

15、增函數(shù)， 又f(a)＝f(a＋1)， ∴＝2(a＋1－1)， ∴a＝. ∴f＝f(4)＝6. (2)當x≤0時，原不等式為x＋1＋x＋>1，解得x>－， ∴－1，顯然成立． 當x>時，原不等式為2x＋2x－>1，顯然成立． 綜上可知，x的取值范圍是.] [規(guī)律方法]　1.求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于定義域的哪一個子集，然后代入該段的解析式求值，當出現(xiàn)f(f(a))的形式時，應從內(nèi)到外依次求值． 2．已知函數(shù)值或函數(shù)值范圍求自變量的值或范圍時，應根據(jù)每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗所求自變量的值或范圍是否

16、符合相應段的自變量的取值范圍． 易錯警示：當分段函數(shù)自變量的范圍不確定時，應分類討論． (1)設函數(shù)f(x)＝則f(－2)＋f(log212)＝(　　) A．3 B．6 C．9 D．12 (2)已知函數(shù)f(x)＝若f(f(－1))＝2，則實數(shù)m的值為(　　) A．1 B．1或－1 C． D．或－ (3)設函數(shù)f(x)＝則使得f(x)≤2成立的x的取值范圍是________． (1)C　(2)D　(3)(－∞，8]　[(1)∵－2<1， ∴f(－2)＝1＋log2(2＋2)＝1＋log24＝1＋2＝3. ∵log212>1，∴f(log212)＝2log212－1＝＝6.

17、 ∴f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9.故選C． (2)f(f(－1))＝f(1＋m2)＝log2(1＋m2)＝2，m2＝3，解得m＝±，故選D. (3)當x<1時，x－1<0，ex－10，所以2a－1＝－1無解； ②若a>1，則－log2(a＋1)＝－3， 解得a＋1＝8，a＝7， 所以f(6－a)＝f(－1)＝2－1－1－2＝－. 綜上所述，f(6－a)＝－.故選A．] 2．(2015·全國卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)＝ax3－2x的圖像過點(－1,4)，則a＝________. －2　[將已知點代入函數(shù)解析式即可求得a的值． ∵f(x)＝ax3－2x的圖像過點(－1,4)， ∴4＝a×(－1)3－2×(－1)，解得a＝－2.] - 9 -