《2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第2章 等式與不等式 2.2.4 均值不等式及其應(yīng)用（第2課時(shí)）均值不等式的應(yīng)用學(xué)案 新人教B版必修第一冊(cè)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第2章 等式與不等式 2.2.4 均值不等式及其應(yīng)用（第2課時(shí)）均值不等式的應(yīng)用學(xué)案 新人教B版必修第一冊(cè)（8頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第2課時(shí)　均值不等式的應(yīng)用 學(xué) 習(xí) 目 標(biāo) 核 心 素 養(yǎng) 1.熟練掌握利用均值不等式求函數(shù)的最值問(wèn)題．(重點(diǎn)) 2．會(huì)用均值不等式求解實(shí)際應(yīng)用題．(難點(diǎn)) 1.通過(guò)均值不等式求最值，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)． 2．借助均值不等式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng). 已知x，y都是正數(shù)． (1)若x＋y＝S(和為定值)，則當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，積xy取得最大值. (2)若xy＝p(積為定值)，則當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y取得最小值2. 上述命題可歸納為口訣：積定和最小，和定積最大． 1．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，則y＝＋的最小值是(　　) A.　　　　B．4　　　　C.　

2、　　　D．5 C　[∵a＋b＝2，∴＝1. ∴＋＝ ＝＋≥＋2＝ . 故y＝＋的最小值為.] 2．若x>0，則x＋的最小值是________． 2　[x＋≥2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝時(shí)，等號(hào)成立．] 3．設(shè)x，y∈N*滿足x＋y＝20，則xy的最大值為_(kāi)_______． 100　[∵x，y∈N*， ∴20＝x＋y≥2， ∴xy≤100.] 利用均值不等式求最值 【例1】　(1)已知x<，求y＝4x－2＋的最大值； (2)已知0

3、x)的最值，需要出現(xiàn)和為定值． [解]　(1)∵x<，∴5－4x>0， ∴y＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1， 當(dāng)且僅當(dāng)5－4x＝，即x＝1時(shí)，上式等號(hào)成立， 故當(dāng)x＝1時(shí)，ymax＝1. (2)∵00， ∴y＝×2x(1－2x)≤×2＝×＝. ∴當(dāng)且僅當(dāng)2x＝1－2x，即x＝時(shí)，ymax＝. 利用均值不等式求最值的關(guān)鍵是獲得滿足均值不等式成立條件，即“一正、二定、三相等”.解題時(shí)應(yīng)對(duì)照已知和欲求的式子運(yùn)用適當(dāng)?shù)摹安痦?xiàng)、添項(xiàng)、配湊、變形”等方法創(chuàng)設(shè)應(yīng)用均值不等式的條件.具體可歸納為三句話：若不正，用其相反數(shù)，改變不等號(hào)方向；若不定，應(yīng)湊出定和或定積

4、；若不等，一般用后面第三章函數(shù)的基本性質(zhì)的知識(shí)解決. 1．(1)已知x>0，求函數(shù)y＝的最小值； (2)已知00)的最小值為9. (2)法一：∵00. ∴y＝x(1－3x)＝·3x(1－3x) ≤＝. 當(dāng)且僅當(dāng)3x＝1－3x，即x＝時(shí)，等號(hào)成立． ∴當(dāng)x＝時(shí)，函數(shù)取得最大值. 法二：∵00. ∴y＝x(1－3x)＝3·x≤3· ＝，當(dāng)且僅當(dāng)x＝－x，即x＝時(shí)，等號(hào)成立． ∴當(dāng)x＝時(shí)，函數(shù)

5、取得最大值. 利用均值不等式求條件最值 【例2】　已知x＞0，y＞0，且滿足＋＝1.求x＋2y的最小值． [解]　∵x＞0，y＞0，＋＝1， ∴x＋2y＝(x＋2y)＝10＋＋ ≥10＋2＝18， 當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立， 故當(dāng)x＝12，y＝3時(shí)，(x＋2y)min＝18. 若把“＋＝1”改為“x＋2y＝1”，其他條件不變，求＋的最小值． [解]　∵x，y∈R＋， ∴＋＝(x＋2y) ＝8＋＋＋2＝10＋＋≥10＋2＝18. 當(dāng)且僅當(dāng)＝時(shí)取等號(hào)， 結(jié)合x＋2y＝1，得x＝，y＝， ∴當(dāng)x＝，y＝時(shí)，＋取到最小值18. 1．本題給出的方法，用到了均值不等

6、式，并且對(duì)式子進(jìn)行了變形，配湊出滿足均值不等式的條件，這是經(jīng)常使用的方法，要學(xué)會(huì)觀察、學(xué)會(huì)變形． 2．常見(jiàn)的變形技巧有：(1)配湊系數(shù)；(2)變符號(hào)；(3)拆補(bǔ)項(xiàng)．常見(jiàn)形式有y＝ax＋型和y＝ax(b－ax)型． 2．已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，求＋的最小值． [解]　法一：＋＝·1 ＝·(a＋2b) ＝1＋＋＋2＝3＋＋≥3＋2 ＝3＋2， 當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立． ∴＋的最小值為3＋2. 法二：＋＝＋＝1＋＋＋2 ＝3＋＋≥3＋2， 當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立， ∴＋的最小值為3＋2. 利用均值不等式解決實(shí)際問(wèn)題 【例3】　如圖，動(dòng)物園要圍成相同面積的

7、長(zhǎng)方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成．現(xiàn)有36 m長(zhǎng)的鋼筋網(wǎng)材料，每間虎籠的長(zhǎng)、寬分別設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使每間虎籠面積最大？ [解]　設(shè)每間虎籠長(zhǎng)x m，寬y m， 則由條件知，4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18. 設(shè)每間虎籠面積為S，則S＝xy. 法一：由于2x＋3y≥2＝2， 所以2≤18，得xy≤， 即Smax＝，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝3y時(shí)，等號(hào)成立． 由解得 故每間虎籠長(zhǎng)為4.5 m，寬為3 m時(shí)，可使每間虎籠面積最大． 法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－y. ∵x>0，∴00.

8、 ∴S≤2＝. 當(dāng)且僅當(dāng)6－y＝y(tǒng)，即y＝3時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)x＝4.5. 故每間虎籠長(zhǎng)為4.5 m，寬為3 m時(shí)，可使每間虎籠面積最大． 在應(yīng)用均值不等式解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意如下思路和方法： (1)先理解題意，設(shè)出變量，一般把要求最值的量定為函數(shù)； (2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，把實(shí)際問(wèn)題抽象成函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題； (3)在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值； (4)正確寫出答案． 3．某單位用2 160萬(wàn)元購(gòu)得一塊空地，計(jì)劃在該地塊上建造一棟至少10層，每層2 000平方米的樓房．經(jīng)測(cè)算，如果將樓房建為x(x≥10)層，則每平方米的平均建筑費(fèi)用為560＋48

9、x(單位：元)．為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？注：平均綜合費(fèi)用＝平均建筑費(fèi)用＋平均購(gòu)地費(fèi)用，平均購(gòu)地費(fèi)用＝ [解]　設(shè)將樓房建為x層，則每平方米的平均購(gòu)地費(fèi)用為＝. ∴每平方米的平均綜合費(fèi)用 y＝560＋48x＋＝560＋48. 當(dāng)x＋取最小值時(shí)，y有最小值． ∵x>0，∴x＋≥2＝30. 當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝15時(shí)，上式等號(hào)成立． ∴當(dāng)x＝15時(shí)，y有最小值2 000元． 因此該樓房建為15層時(shí)，每平方米的平均綜合費(fèi)用最少． 1．利用均值不等式求最值，要注意使用的條件“一正、二定、三相等”，三個(gè)條件缺一不可，解題時(shí)，有時(shí)為了達(dá)到使用均值不等式

10、的三個(gè)條件，需要通過(guò)配湊、裂項(xiàng)、轉(zhuǎn)化、分離常數(shù)等變形手段，創(chuàng)設(shè)一個(gè)適合應(yīng)用均值不等式的情境． 2．不等式的應(yīng)用題大都與函數(shù)相關(guān)聯(lián)，在求最值時(shí)，均值不等式是經(jīng)常使用的工具，但若對(duì)自變量有限制，一定要注意等號(hào)能否取到. 1．思考辨析 (1)兩個(gè)正數(shù)的積為定值，一定存在兩數(shù)相等時(shí)，它們的和有最小值．(　　) (2)若a>0，b>0且a＋b＝4，則ab≤4.(　　) (3)當(dāng)x>1時(shí)，函數(shù)y＝x＋≥2，所以函數(shù)y的最小值是2.(　　) [提示]　(1)由a＋b≥2可知正確． (2)由ab≤2＝4可知正確． (3)不是常數(shù)，故錯(cuò)誤． [答案]　(1)√　(2)√　(3)× 2．若實(shí)數(shù)a，b滿足a＋b＝2，則ab的最大值為(　　) A．1　　　　B．2　　　　C．2　　　　D．4 A　[由均值不等式得，ab≤2＝1.] 3．已知00， 則x(3－3x)＝3[x(1－x)]≤3×2＝， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝1－x，即x＝時(shí)取等號(hào)．] 4．已知x>0，求y＝的最大值． [解]　y＝＝. ∵x>0，∴x＋≥2＝2， ∴y≤＝1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝1時(shí)等號(hào)成立． - 8 -